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吉林长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年九年级下学期数学作业六
1．下列实数中，比小的数是（　　）
A． B． C．0 D．
2．下列长方体、圆柱体和圆锥体木料，切开后截面形状与其他三个不同的是（　　）．
A． B．
C． D．
3．截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示在数轴上为（　　）
A． B．
C． D．
5．伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，一张锐角三角形纸片，点，分别在边，上，，，沿将剪开，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于B，C两点，点D是上一点，点A与点D分别在的两侧，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．无法确定
8．已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（　　）
A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大
B．当时，甲醛检测仪会报警
C．当时，的阻值为
D．当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于
9．计算： =　 　．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是 　 　 ．
11．如图，六个正九边形的中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中　 　度．
12．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为，则　 　．
13．如图，是两条切线，切点分别为点，点，若，的半径为2，则的长度为　 　．
14．如图，有一张矩形纸片，点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③当点重合时，；④的面积的最小值为1．上述结论中正确的序号是　 　．
15．先化简，再求值：，其中．
16．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C、D，卡片除正面图案不同外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．请用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
17．随着2025年第九届亚冬会圆满落幕，全国范围内再度掀起一股强劲的冰雪运动热潮．某地举办了青少年冰雪运动会，某校参加比赛的女生比男生多28人，男生全部获奖，女生有获奖，男、女生获奖共有42人．该校参加比赛的男、女生各有多少人？
18．如图，点，在以为直径的上，平分，交的延长线于点．求证：是的切线．
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图：
（1）如图①，在上画一点E，连结，使；
（2）如图②，在上画一点F，连结，使；
（3）如图③，在上画一点M，连结，使．
20．泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息：
“星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．
“拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94．
“星星人”和“拉布布”得分统计表
平均数 中位数 众数
星星人 92 93 a
拉布布 92 b 97
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）；
（3）据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？
21．大运河畔有一条笔直的健身步道，小明、小亮分别从相距1500米的M、N两点同时出发，相向而行．两人离M点的距离s关于时间t的函数关系如图中折线所示．小明跑了一段路之后与小亮相距250米，休息1分钟之后与小亮相距400米，小明继续跑了4分钟后与小亮同时到达各自终点．
（1）a的值为______；
（2）求图中所对应的函数表达式；
（3）求小明、小亮相遇的时间．
22．【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值．
第一步：如图②，连结圆心C与动点P；
第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似．
第三步：计算的长度，由可得，即．
第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______．
【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明：
∵，
∴
证明过程缺失
∴
∴
请补全缺失的证明过程．
【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______．
23．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为，过点向轴作垂线，垂足为点，连接．以和为边构造．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当时，设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象，若图象上的最高点与最低点的纵坐标之差为5，则的值为_____．
（3）若，求的周长；
（4）当时，连结，若，直接写出的值．
24．如图，在矩形中，，点M为边中点，动点P从点A开始，在折线上以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为直角边，在右侧作等腰直角，使，设点P的运动时间为t秒．
（1）当点P在边上运动不与点D重合时，则的长度为___________；用含t的代数式表示
（2）当点P在边上运动时，求证：点Q到直线的距离始终不变；
（3）当点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍时，求t的值；
（4）连接，当时，直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：A：，，，，故A选项符合题意；
B：，，，，故B选项不符合题意；
C：大于任何负数，，故C选项不符合题意；
D：正数大于负数，，故D选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据实数的大小比较：正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，逐项进行判断，即可得出答案．
2．【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：A、B、C选项中截面形状都是长方形，D选项中截面形状为三角形，故D符合题意．
故选：D．
【分析】根据长方体、圆柱体和圆锥体的截面形状进行判断即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：148亿．
故选：B．
【分析】本题以电影票房数据为背景，考查了科学记数法的表示方法。148亿 = 1.48.
4．【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据题意，知2＜A＜3．
故选C．
【分析】由天平可得 25．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可知，在中，，，米，
∴
故选：C.
【分析】根据题意得出，，米，根据正切的定义得出，即可得出答案．
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设，
，
，
，
，
，
，
故选：B.
【分析】本题以三角形纸片裁剪为背景，考查了相似三角形的判定及面积比等于相似比的平方。由DE∥BC得△ADE∽△ABC，根据AD=3DB可得相似比，再通过面积比等于相似比的平方求解。
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：连接，，由作图知，是线段的垂直平分线，
所以，，
因为，
所以，
所以和都是等边三角形，
所以，
所以，
故选：B．
【分析】
根据题目的作图步骤可得，是线段的垂直平分线，由此可推出和均为等边三角形，最后结合圆内接四边形的性质即可完成解答.
8．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】A、 由图②可知，甲醛质量浓度越小，的阻值越大，因此空气中甲醛浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大，A说法正确，
B、 由图②可知，时对应，且随增大而减小，故时，但无法确定，此时检测仪不一定报警，B说法错误，
C、 由图②数据可知，与成反比例关系，，当时，，C说法正确，
D、 当时，，因随减小而增大，故时，，D说法正确，
故答案为：B。
【分析】先从图②提取随增大而减小的规律，再通过已知点计算反比例函数表达式，最后结合报警阈值逐一验证各选项。
9．【答案】2
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解： ，
=2 × ，
=2．
故答案为：2．
【分析】本题需先对二次根式进行化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可求出结果．
10．【答案】k＞1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×k＜0，
∴k＞1，
故答案为k＞1．
【分析】根据一元二次方程无实数根的条件△＜0求出k的范围．此题是根的判别式，主要考查了根的判别式，△＞0，一元二次方程有两个不相等的实数根，△=0，一元二次方程由两个相等的实数根，△＜0，一元二次方程无实数根．
11．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正九边形每个内角的度数为，
则，
故填：．
【分析】利用多边形的内角和公式及正多边形的性质求出正九边形每个内角的度数为140°，然后利用周角的定义得出，即可得出答案．
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵，
∴斜面的坡度为，
∴，
故填：．
【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，列出等式，求出m的值，即可得出答案．
13．【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA，OB，如图所示：
∵是两条切线，切点分别为点，点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为2，
则的长度为，
故填：．
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得出，结合得出，再根据弧长公式列式进行计算，即可得出答案．
14．【答案】②③④
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，故②正确；
由得，
∵与的数量关系不确定，无法证明与或全等，
∴不等于，即不等于，故①错误；
如图所示，当点重合时，
∴设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
在中，，
∵，
∴，故③正确；
∵四边形是菱形，
∴，
设，
∴，
如图所示，当点D，点G重合时，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴当时，，故④正确；
故正确的序号是：②③④ ．
【分析】本题以矩形纸片折叠为背景，考查了菱形的判定、勾股定理的应用、折叠的性质以及面积最值问题。根据折叠性质得出线段相等及角相等，进而判断四边形的形状；当点P与A重合时，通过设未知数并结合勾股定理列方程求解；分析面积最小值时，利用二次函数或几何性质确定△PNQ面积的最小值。
15．【答案】解：原式，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算顺序，先计算括号里面的加法，再计算除法，将原式进行化简，再把代入进行计算，即可得出答案．
16．【答案】解：列表如下：
　 A B C D
A 　 （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） 　 （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） 　 （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） 　
共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，D），（D，C），共6种，
∴小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】 通过列表列举出全部等可能情况，统计出抽到含有华罗庚邮票组合的情况数量，代入概率计算公式： P(事件A)= ，算出对应概率 ．
17．【答案】解：设参加比赛的男生有人，则参加比赛的女生有人，
由题意得，，
解得，
，
答：参加比赛的男生有12人，女生有40人．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】设参加比赛的男生有x人，则参加比赛的女生有(28+x)人，则男生获奖的人数为x人，女生获奖的人数为75%(28+x)人，由“男、女生获奖共有42人”列方程，求解得出x的值，进而再求出28+x的值即可.
18．【答案】证明：为直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
为半径，
是的切线．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是得出，根据角平分线的定义得出，从而得出，得出，再根据切线的判定定理即可证出是的切线．
19．【答案】（1）解：
（2）解：过点D作的垂线，与相交于点F，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：取格点G，连接，交于点M，由图可得，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；尺规作图-垂线；尺规作图-平行线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据网格线的特点和平行线的性质，作图即可；
（2）根据直角三角形的性质：同角的余角相等，过点D作的垂线与的交点，即为所求；
（3）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及对顶角相等，作图即可．
20．【答案】（1），，；
（2）解：“拉布布”的得分中，中位数和众数均大于“星星人”的得分的中位数和众数，∴消费者更喜欢“拉布布”；
（3）解：在人流量会达到1000人中，
对“拉布布”打分不低于95分的顾客有（人），
有的人会购买“拉布布”，
∴购买“拉布布”的人数为（人）．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：“星星人”的得分中，94分出现次数最多，
∴，
“拉布布”A组的人数：（人），
B组的人数：（人），
C组的人数：6人，
D组的人数：（人），
∴中位数是第10，11人的得分的平均数，即，
∴，即，
故答案为：，，；
【分析】本题以IP受欢迎程度调查为背景，考查了统计中的众数、中位数、扇形统计图百分比计算以及用样本估计总体。
(1) 根据“星星人”得分找出出现次数最多的数确定众数a；根据扇形统计图各组的百分比计算人数，找到“拉布布”得分的中位数b；利用D组人数占比求c。
(2) 从中位数与众数的角度进行比较，判断消费者更喜欢的IP。
(3) 用样本中“会购买”的比例估算总体中购买“拉布布”的人数。
（1）解：“星星人”的得分中，94分出现次数最多，
∴，
“拉布布”A组的人数：（人），
B组的人数：（人），
C组的人数：6人，
D组的人数：（人），
∴中位数是第10，11人的得分的平均数，即，
∴，即，
故答案为：，，；
（2）解：“拉布布”的得分中，中位数和众数均大于“星星人”的得分的中位数和众数，
∴消费者更喜欢“拉布布”；
（3）解：在人流量会达到1000人中，对“拉布布”打分不低于95分的顾客有（人），
有的人会购买“拉布布”，
∴购买“拉布布”的人数为（人）．
21．【答案】（1）10
（2）解：由题意得，段小明的速度为米/分，，，
∴，
设图中所对应的函数表达式为，
把，代入中得：，
∴，
∴图中所对应的函数表达式为；
（3）解：由（2）可知，
∴段小明的速度为米/分，
分，
∴小明、小亮相遇的时间为分．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，小亮的速度为米/分，
∴小亮到达其终点的时间为分，
∴；
【分析】（1）根据题意结合图像，可求出小亮的速度，根据，求出小亮到达终点的时间，即a的值；
（2）先求出段小明的速度，进而求出，，再利用待定系数法将B，C坐标带入，求解即可；
（3）求出点，进而根据得到段小明的速度，再用总路程两人的速度之和得相遇时间．
（1）解：由题意得，小亮的速度为米/分，
∴小亮到达其终点的时间为分，
∴；
（2）解：由题意得，段小明的速度为米/分，
，，
∴，
设图中所对应的函数表达式为，
把，代入中得：，
∴，
∴图中所对应的函数表达式为；
（3）解：由（2）可知，
∴段小明的速度为米/分，
分，
∴小明、小亮相遇的时间为分．
22．【答案】【模型认知】；
【模型探究】证明：∵，
∴
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
【模型应用】13.
【知识点】两点之间线段最短；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
∴，
∴当A、P、M三点共线时最小，如图，
∵，
此时．
故填：；
模型应用：解：延长至点E使，连接，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段，
∴的最小值．
∴的最小值为13．
故填：13．
【分析】模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，利用相似三角形的性质得出，得出，，从而得出，当A、P、M三点共线时最小，利用勾股定理求出AM的长，即可得出答案；
模型探究：利用相似三角形的判定定理证出，即可得出答案；
模型应用：延长至点E使，连接，利用相似三角形的判定与性质得到，从而得出，当点E，P，B在一条直线上时，为线段，利用勾股定理求出BE的长，即可得出答案．
23．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴该抛物线表达式为；
（2）解：；
（3）解：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点A向y轴作垂线，垂足为D，
∴，
∵以和为边构造平行四边形，
∴周长；

（4）解：或或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
∵点A横坐标为，点B横坐标为，且，
∴，，
当时，图象G在上y随x增大而增大，
∴最高点A的纵坐标为，最低点B的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，不合题意舍去，
当时，最低点为顶点，纵坐标为，
∵点A离对称轴较远，
∴最高点为点A，其纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴，
故填：；
（4）∵四边形为平行四边形，
∴且，
∵A、D纵坐标相同，
∴在水平线上，
∴在水平线上，即点C纵坐标与点B相同，
∵，
∴，
∴点C横坐标为，
∴，
∵为在y轴上的底边，
∴，
∴，
设直线解析式为，交y轴于点E，
∵，，
∴，
∴，
∴点E坐标为，
∴，
∵被OE分割为和，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴或（舍去），
∴当时，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴或，
∴m的值为或或．
故答案为：或或.
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得出答案；
（2）设，，分和两种情况讨论，根据最高点与最低点的纵坐标之差为5列出方程，解方程求出m的值，即可得出答案；
（3）设，，求出，再根据，得出，从而得出，再利用平行四边形的周长公式列式进行计算，即可得出答案；
（4）利用平行四边形的性质求出点C的坐标为，再求出直线与y轴的交点E的坐标为），再利用列出方程，解方程求出m的值，即可得出答案．
（1）解：经过点，
∴，
∴，
∴该抛物线表达式为．
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
∵点A横坐标为，点B横坐标为，且，
∴，，
当时，图象G在上y随x增大而增大，
∴最高点A的纵坐标为，最低点B的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，不合题意舍去，
当时，最低点为顶点，纵坐标为，
∵点A离对称轴较远，
∴最高点为点A，其纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴．
（3）解：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点A向y轴作垂线，垂足为D，
∴，
∵以和为边构造平行四边形，
∴周长．
（4）解：∵四边形为平行四边形，
∴且，
∵A、D纵坐标相同，
∴在水平线上，
∴在水平线上，即点C纵坐标与点B相同，
∵，
∴，
∴点C横坐标为，
∴，
∵为在y轴上的底边，
∴，
∴，
设直线解析式为，交y轴于点E，
∵，，
∴，
∴，
∴点E坐标为，
∴，
∵被OE分割为和，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴或（舍去），
∴当时，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴或，
∴m的值为或或．
24．【答案】（1）
（2）解：如图1，
是的中点，，
，
作于E，
，
，
四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
当点P在边上运动时，点Q到直线的距离为，，始终不变；
（3）解：如图2，
由（2）知，当点P在时，Q到的距离是3，到的距离是1，不符合题意，
∴点P在上，点Q在上方，
作于F，作于E，
点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍，
，
由（2）知，
，
，
，
点运动的路程是，
；
如图，点Q在下方，
作于G，作于E，交延长线于点，
点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍，
，
同理，
，
，
点运动的路程是，
；
综上，或；

（4）解：或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1），由题意，点的运动的路程为，
，
故答案为：.
（4）如图3，当点P在上时，作，交于F，
由知，
，
，
，
，
，
如图4，当点P在上，作于W，作于V，作于G，
由知，
，
，
，
，
，
点P运动的路程是，
，
综上所述：或
故答案为：或.
【分析】（1）已知，点的运动速度为每秒2个单位长度，运动路程为，据此计算得到对应结果；（2）过点作，垂足为E，可证明≌，根据全等三角形对应边相等可得，由此推出最终结果；
（3）先判定此时点P落在边上，过点P作，垂足为F，过点Q作，垂足为E，参照第二问的思路可证≌，得到，进而推出，在此基础上计算得到最终结果；
（4）分两种情况讨论：①当点P落在边AD上时，过点Q作，QE交于点F，计算得到，由此求出的长度，进一步得到，即可得到对应结果；
②当点P落在边上时，过点P作，垂足为W，过点Q作，垂足为V，过点Q作，垂足为G，用和上述一致的方法推得最终结果．
（1）解：，由题意，点的运动的路程为，
，
故答案为：；
（2）如图1，
是的中点，，
，
作于E，
，
，
四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
当点P在边上运动时，点Q到直线的距离始终不变；
（3）解：如图2，
由知，
当点P在时，Q到的距离是3，到的距离是1，不符合题意，
∴点P在上，
作于F，作于E，
点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍，
，
由知，
，
，
，
点运动的路程是，
；
（4）如图3，
当点P在上时，作，交于F，
由知，
，
，
，
，
，
如图4，
当点P在上，作于W，作于V，作于G，
由知，
，
，
，
，
，
点P运动的路程是，
，
综上所述：或
1 / 1吉林长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年九年级下学期数学作业六
1．下列实数中，比小的数是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：A：，，，，故A选项符合题意；
B：，，，，故B选项不符合题意；
C：大于任何负数，，故C选项不符合题意；
D：正数大于负数，，故D选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据实数的大小比较：正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，逐项进行判断，即可得出答案．
2．下列长方体、圆柱体和圆锥体木料，切开后截面形状与其他三个不同的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：A、B、C选项中截面形状都是长方形，D选项中截面形状为三角形，故D符合题意．
故选：D．
【分析】根据长方体、圆柱体和圆锥体的截面形状进行判断即可．
3．截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：148亿．
故选：B．
【分析】本题以电影票房数据为背景，考查了科学记数法的表示方法。148亿 = 1.48.
4．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示在数轴上为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据题意，知2＜A＜3．
故选C．
【分析】由天平可得 25．伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可知，在中，，，米，
∴
故选：C.
【分析】根据题意得出，，米，根据正切的定义得出，即可得出答案．
6．如图，一张锐角三角形纸片，点，分别在边，上，，，沿将剪开，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设，
，
，
，
，
，
，
故选：B.
【分析】本题以三角形纸片裁剪为背景，考查了相似三角形的判定及面积比等于相似比的平方。由DE∥BC得△ADE∽△ABC，根据AD=3DB可得相似比，再通过面积比等于相似比的平方求解。
7．如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于B，C两点，点D是上一点，点A与点D分别在的两侧，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：连接，，由作图知，是线段的垂直平分线，
所以，，
因为，
所以，
所以和都是等边三角形，
所以，
所以，
故选：B．
【分析】
根据题目的作图步骤可得，是线段的垂直平分线，由此可推出和均为等边三角形，最后结合圆内接四边形的性质即可完成解答.
8．已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（　　）
A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大
B．当时，甲醛检测仪会报警
C．当时，的阻值为
D．当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】A、 由图②可知，甲醛质量浓度越小，的阻值越大，因此空气中甲醛浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大，A说法正确，
B、 由图②可知，时对应，且随增大而减小，故时，但无法确定，此时检测仪不一定报警，B说法错误，
C、 由图②数据可知，与成反比例关系，，当时，，C说法正确，
D、 当时，，因随减小而增大，故时，，D说法正确，
故答案为：B。
【分析】先从图②提取随增大而减小的规律，再通过已知点计算反比例函数表达式，最后结合报警阈值逐一验证各选项。
9．计算： =　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解： ，
=2 × ，
=2．
故答案为：2．
【分析】本题需先对二次根式进行化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可求出结果．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是 　 　 ．
【答案】k＞1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×k＜0，
∴k＞1，
故答案为k＞1．
【分析】根据一元二次方程无实数根的条件△＜0求出k的范围．此题是根的判别式，主要考查了根的判别式，△＞0，一元二次方程有两个不相等的实数根，△=0，一元二次方程由两个相等的实数根，△＜0，一元二次方程无实数根．
11．如图，六个正九边形的中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中　 　度．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正九边形每个内角的度数为，
则，
故填：．
【分析】利用多边形的内角和公式及正多边形的性质求出正九边形每个内角的度数为140°，然后利用周角的定义得出，即可得出答案．
12．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为，则　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵，
∴斜面的坡度为，
∴，
故填：．
【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，列出等式，求出m的值，即可得出答案．
13．如图，是两条切线，切点分别为点，点，若，的半径为2，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA，OB，如图所示：
∵是两条切线，切点分别为点，点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为2，
则的长度为，
故填：．
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得出，结合得出，再根据弧长公式列式进行计算，即可得出答案．
14．如图，有一张矩形纸片，点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③当点重合时，；④的面积的最小值为1．上述结论中正确的序号是　 　．
【答案】②③④
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，故②正确；
由得，
∵与的数量关系不确定，无法证明与或全等，
∴不等于，即不等于，故①错误；
如图所示，当点重合时，
∴设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
在中，，
∵，
∴，故③正确；
∵四边形是菱形，
∴，
设，
∴，
如图所示，当点D，点G重合时，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴当时，，故④正确；
故正确的序号是：②③④ ．
【分析】本题以矩形纸片折叠为背景，考查了菱形的判定、勾股定理的应用、折叠的性质以及面积最值问题。根据折叠性质得出线段相等及角相等，进而判断四边形的形状；当点P与A重合时，通过设未知数并结合勾股定理列方程求解；分析面积最小值时，利用二次函数或几何性质确定△PNQ面积的最小值。
15．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算顺序，先计算括号里面的加法，再计算除法，将原式进行化简，再把代入进行计算，即可得出答案．
16．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C、D，卡片除正面图案不同外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．请用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
【答案】解：列表如下：
　 A B C D
A 　 （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） 　 （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） 　 （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） 　
共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，D），（D，C），共6种，
∴小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】 通过列表列举出全部等可能情况，统计出抽到含有华罗庚邮票组合的情况数量，代入概率计算公式： P(事件A)= ，算出对应概率 ．
17．随着2025年第九届亚冬会圆满落幕，全国范围内再度掀起一股强劲的冰雪运动热潮．某地举办了青少年冰雪运动会，某校参加比赛的女生比男生多28人，男生全部获奖，女生有获奖，男、女生获奖共有42人．该校参加比赛的男、女生各有多少人？
【答案】解：设参加比赛的男生有人，则参加比赛的女生有人，
由题意得，，
解得，
，
答：参加比赛的男生有12人，女生有40人．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】设参加比赛的男生有x人，则参加比赛的女生有(28+x)人，则男生获奖的人数为x人，女生获奖的人数为75%(28+x)人，由“男、女生获奖共有42人”列方程，求解得出x的值，进而再求出28+x的值即可.
18．如图，点，在以为直径的上，平分，交的延长线于点．求证：是的切线．
【答案】证明：为直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
为半径，
是的切线．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是得出，根据角平分线的定义得出，从而得出，得出，再根据切线的判定定理即可证出是的切线．
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图：
（1）如图①，在上画一点E，连结，使；
（2）如图②，在上画一点F，连结，使；
（3）如图③，在上画一点M，连结，使．
【答案】（1）解：
（2）解：过点D作的垂线，与相交于点F，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：取格点G，连接，交于点M，由图可得，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；尺规作图-垂线；尺规作图-平行线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据网格线的特点和平行线的性质，作图即可；
（2）根据直角三角形的性质：同角的余角相等，过点D作的垂线与的交点，即为所求；
（3）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及对顶角相等，作图即可．
20．泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息：
“星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．
“拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94．
“星星人”和“拉布布”得分统计表
平均数 中位数 众数
星星人 92 93 a
拉布布 92 b 97
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）；
（3）据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？
【答案】（1），，；
（2）解：“拉布布”的得分中，中位数和众数均大于“星星人”的得分的中位数和众数，∴消费者更喜欢“拉布布”；
（3）解：在人流量会达到1000人中，
对“拉布布”打分不低于95分的顾客有（人），
有的人会购买“拉布布”，
∴购买“拉布布”的人数为（人）．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：“星星人”的得分中，94分出现次数最多，
∴，
“拉布布”A组的人数：（人），
B组的人数：（人），
C组的人数：6人，
D组的人数：（人），
∴中位数是第10，11人的得分的平均数，即，
∴，即，
故答案为：，，；
【分析】本题以IP受欢迎程度调查为背景，考查了统计中的众数、中位数、扇形统计图百分比计算以及用样本估计总体。
(1) 根据“星星人”得分找出出现次数最多的数确定众数a；根据扇形统计图各组的百分比计算人数，找到“拉布布”得分的中位数b；利用D组人数占比求c。
(2) 从中位数与众数的角度进行比较，判断消费者更喜欢的IP。
(3) 用样本中“会购买”的比例估算总体中购买“拉布布”的人数。
（1）解：“星星人”的得分中，94分出现次数最多，
∴，
“拉布布”A组的人数：（人），
B组的人数：（人），
C组的人数：6人，
D组的人数：（人），
∴中位数是第10，11人的得分的平均数，即，
∴，即，
故答案为：，，；
（2）解：“拉布布”的得分中，中位数和众数均大于“星星人”的得分的中位数和众数，
∴消费者更喜欢“拉布布”；
（3）解：在人流量会达到1000人中，对“拉布布”打分不低于95分的顾客有（人），
有的人会购买“拉布布”，
∴购买“拉布布”的人数为（人）．
21．大运河畔有一条笔直的健身步道，小明、小亮分别从相距1500米的M、N两点同时出发，相向而行．两人离M点的距离s关于时间t的函数关系如图中折线所示．小明跑了一段路之后与小亮相距250米，休息1分钟之后与小亮相距400米，小明继续跑了4分钟后与小亮同时到达各自终点．
（1）a的值为______；
（2）求图中所对应的函数表达式；
（3）求小明、小亮相遇的时间．
【答案】（1）10
（2）解：由题意得，段小明的速度为米/分，，，
∴，
设图中所对应的函数表达式为，
把，代入中得：，
∴，
∴图中所对应的函数表达式为；
（3）解：由（2）可知，
∴段小明的速度为米/分，
分，
∴小明、小亮相遇的时间为分．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，小亮的速度为米/分，
∴小亮到达其终点的时间为分，
∴；
【分析】（1）根据题意结合图像，可求出小亮的速度，根据，求出小亮到达终点的时间，即a的值；
（2）先求出段小明的速度，进而求出，，再利用待定系数法将B，C坐标带入，求解即可；
（3）求出点，进而根据得到段小明的速度，再用总路程两人的速度之和得相遇时间．
（1）解：由题意得，小亮的速度为米/分，
∴小亮到达其终点的时间为分，
∴；
（2）解：由题意得，段小明的速度为米/分，
，，
∴，
设图中所对应的函数表达式为，
把，代入中得：，
∴，
∴图中所对应的函数表达式为；
（3）解：由（2）可知，
∴段小明的速度为米/分，
分，
∴小明、小亮相遇的时间为分．
22．【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值．
第一步：如图②，连结圆心C与动点P；
第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似．
第三步：计算的长度，由可得，即．
第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______．
【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明：
∵，
∴
证明过程缺失
∴
∴
请补全缺失的证明过程．
【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______．
【答案】【模型认知】；
【模型探究】证明：∵，
∴
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
【模型应用】13.
【知识点】两点之间线段最短；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
∴，
∴当A、P、M三点共线时最小，如图，
∵，
此时．
故填：；
模型应用：解：延长至点E使，连接，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段，
∴的最小值．
∴的最小值为13．
故填：13．
【分析】模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，利用相似三角形的性质得出，得出，，从而得出，当A、P、M三点共线时最小，利用勾股定理求出AM的长，即可得出答案；
模型探究：利用相似三角形的判定定理证出，即可得出答案；
模型应用：延长至点E使，连接，利用相似三角形的判定与性质得到，从而得出，当点E，P，B在一条直线上时，为线段，利用勾股定理求出BE的长，即可得出答案．
23．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为，过点向轴作垂线，垂足为点，连接．以和为边构造．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当时，设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象，若图象上的最高点与最低点的纵坐标之差为5，则的值为_____．
（3）若，求的周长；
（4）当时，连结，若，直接写出的值．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴该抛物线表达式为；
（2）解：；
（3）解：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点A向y轴作垂线，垂足为D，
∴，
∵以和为边构造平行四边形，
∴周长；

（4）解：或或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
∵点A横坐标为，点B横坐标为，且，
∴，，
当时，图象G在上y随x增大而增大，
∴最高点A的纵坐标为，最低点B的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，不合题意舍去，
当时，最低点为顶点，纵坐标为，
∵点A离对称轴较远，
∴最高点为点A，其纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴，
故填：；
（4）∵四边形为平行四边形，
∴且，
∵A、D纵坐标相同，
∴在水平线上，
∴在水平线上，即点C纵坐标与点B相同，
∵，
∴，
∴点C横坐标为，
∴，
∵为在y轴上的底边，
∴，
∴，
设直线解析式为，交y轴于点E，
∵，，
∴，
∴，
∴点E坐标为，
∴，
∵被OE分割为和，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴或（舍去），
∴当时，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴或，
∴m的值为或或．
故答案为：或或.
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得出答案；
（2）设，，分和两种情况讨论，根据最高点与最低点的纵坐标之差为5列出方程，解方程求出m的值，即可得出答案；
（3）设，，求出，再根据，得出，从而得出，再利用平行四边形的周长公式列式进行计算，即可得出答案；
（4）利用平行四边形的性质求出点C的坐标为，再求出直线与y轴的交点E的坐标为），再利用列出方程，解方程求出m的值，即可得出答案．
（1）解：经过点，
∴，
∴，
∴该抛物线表达式为．
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
∵点A横坐标为，点B横坐标为，且，
∴，，
当时，图象G在上y随x增大而增大，
∴最高点A的纵坐标为，最低点B的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，不合题意舍去，
当时，最低点为顶点，纵坐标为，
∵点A离对称轴较远，
∴最高点为点A，其纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴．
（3）解：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点A向y轴作垂线，垂足为D，
∴，
∵以和为边构造平行四边形，
∴周长．
（4）解：∵四边形为平行四边形，
∴且，
∵A、D纵坐标相同，
∴在水平线上，
∴在水平线上，即点C纵坐标与点B相同，
∵，
∴，
∴点C横坐标为，
∴，
∵为在y轴上的底边，
∴，
∴，
设直线解析式为，交y轴于点E，
∵，，
∴，
∴，
∴点E坐标为，
∴，
∵被OE分割为和，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴或（舍去），
∴当时，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴或，
∴m的值为或或．
24．如图，在矩形中，，点M为边中点，动点P从点A开始，在折线上以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为直角边，在右侧作等腰直角，使，设点P的运动时间为t秒．
（1）当点P在边上运动不与点D重合时，则的长度为___________；用含t的代数式表示
（2）当点P在边上运动时，求证：点Q到直线的距离始终不变；
（3）当点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍时，求t的值；
（4）连接，当时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）解：如图1，
是的中点，，
，
作于E，
，
，
四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
当点P在边上运动时，点Q到直线的距离为，，始终不变；
（3）解：如图2，
由（2）知，当点P在时，Q到的距离是3，到的距离是1，不符合题意，
∴点P在上，点Q在上方，
作于F，作于E，
点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍，
，
由（2）知，
，
，
，
点运动的路程是，
；
如图，点Q在下方，
作于G，作于E，交延长线于点，
点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍，
，
同理，
，
，
点运动的路程是，
；
综上，或；

（4）解：或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1），由题意，点的运动的路程为，
，
故答案为：.
（4）如图3，当点P在上时，作，交于F，
由知，
，
，
，
，
，
如图4，当点P在上，作于W，作于V，作于G，
由知，
，
，
，
，
，
点P运动的路程是，
，
综上所述：或
故答案为：或.
【分析】（1）已知，点的运动速度为每秒2个单位长度，运动路程为，据此计算得到对应结果；（2）过点作，垂足为E，可证明≌，根据全等三角形对应边相等可得，由此推出最终结果；
（3）先判定此时点P落在边上，过点P作，垂足为F，过点Q作，垂足为E，参照第二问的思路可证≌，得到，进而推出，在此基础上计算得到最终结果；
（4）分两种情况讨论：①当点P落在边AD上时，过点Q作，QE交于点F，计算得到，由此求出的长度，进一步得到，即可得到对应结果；
②当点P落在边上时，过点P作，垂足为W，过点Q作，垂足为V，过点Q作，垂足为G，用和上述一致的方法推得最终结果．
（1）解：，由题意，点的运动的路程为，
，
故答案为：；
（2）如图1，
是的中点，，
，
作于E，
，
，
四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
当点P在边上运动时，点Q到直线的距离始终不变；
（3）解：如图2，
由知，
当点P在时，Q到的距离是3，到的距离是1，不符合题意，
∴点P在上，
作于F，作于E，
点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍，
，
由知，
，
，
，
点运动的路程是，
；
（4）如图3，
当点P在上时，作，交于F，
由知，
，
，
，
，
，
如图4，
当点P在上，作于W，作于V，作于G，
由知，
，
，
，
，
，
点P运动的路程是，
，
综上所述：或
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