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浙江省宁波镇海区蛟川书院2025-2026学年下学期八年级学科大比拼数学试卷
1．下列计算中，正确的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、原式 故D不符合题意.
B、原式 故B不符合题意.
C、原式 故C不符合题意.
D、原式 故A符合题意.
故选： D.
【分析】根据二次根式的加减运算、乘除运算法则即可求出答案.
2．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应假设（　　）
A．四边形中所有角都是锐角
B．四边形中至多有一个角是钝角或直角
C．四边形中没有一个角是锐角
D．四边形中所有角都是钝角或直角
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中每个角都是锐角.
故答案为：A.
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.
3．将一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线 那么平移前抛物线的解析式是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线
∴平移前抛物线的解析式是：
故选： A.
【分析】直接利用二次函数平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
4．如图，商用手扶梯AB的坡比为1： ，已知扶梯的长AB 为12米，则小明乘坐扶梯从B 处到A处上升的高度AC为 (　　)
A．6米 B． C．12米 D．米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵商用手扶梯AB的坡比1： 设AC=x米，则 米， 解得：x=6，
米，
故选： A.
【分析】根据坡比的定义可知，设AC=x，则 由勾股定理求出AB=2x=12，得出x=6即可.
5．北仑某酒店第2季度的总营业额为240万元，其中4月份的营业额是100万元，设5、6月份的平均月增长率为x，可列方程为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意，得：
故选： D.【分析】根据4月份的销售额及第2季度的总销售额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
6．已知抛物线 经过点A(3，m)和点B(-2，n)，且函数y有最大值，则m和n的大小关系为(　　)
A．m>n B．m【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数y有最大值，
的对称轴为直线
∴当x>-1，y值随x值的增大而减小.
∴点B(-2，n)关于对称轴的对称点是(0，n)，且0<3，
故选： B.
【分析】由题意可知a<0，求得对称轴，利用二次函数的对称性和增减性，即可得到结论.
7．对于实数a、b定义新运算“*”如下：，如(-5)*2=-5×2-2=-12，3*2=2×3+2=8，若一元二次方程的两根为x1、x2(x1A．- 3 B．- 6 C．- 8 D．2
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程 变形得((x+3)(x-2)=0，
解得
故选： C.
【分析】求出已知方程的解得到 与 的值，利用题中新定义计算即可得到结果.
8．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND，
∴AD=AB=8，BN=ND，
∵M是△ABC的边BC的中点，
∴DC=2MN=4，
∴AC=AD+CD=12，
故选：A．
【分析】延长BN交AC于D，根据两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形对应边相等，以及三角形中位线等于第三边的一半，计算即可．
9．如图，在一块长为 ，宽为 的矩形 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路.四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为 .设道路宽为 ，则以下方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4x m，
依题意，得：x（20+4x+12+4x）=40，
即32x+8x2=40.
故答案为：B.
【分析】设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4x m，根据道路占地总面积为40m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
10． 如图，正方形ABCD的边长为4， E， F ， G分别是边AB， BC， AD上的动点，且AE=BF，将△BEF沿EF向内翻折至△B'EF，连结BB'， B'G， GC，则当BB'最大时， B'G+GC的最小值为(　　)
A． B．5.6 C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND
中，
∴△ANB≌△AND(ASA)，
∴AD=AB=8， BN=ND，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴DC=2MN=4，
∴AC=AD+CD=8+4=12，
故选： A.
【分析】延长BN交AC于D，证明 根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可.
11．化简：　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质化简即可求出答案.
12．一组数据3，5，a，4，3的平均数是4，这组数据的方差为 　 　.
【答案】0.8
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】∵3，5，a，4，3的平均数是4，
∴（3+5+a+4+3）÷5=4，
解得：a=5，
则这组数据的方差S2=[（3﹣4）2+（5﹣4）2+（5﹣4）2+（4﹣4）2+（3﹣4）2]=0.8，
故答案为0.8．
【分析】根据平均数的计算公式先求出a的值，再根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，代数计算即可．
13．已知α、β是一元二次方程 的两根，则 　 　.
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 两根为α， β，
=1-1-1
=-1.
故答案为-1.
【分析】先利用根与系数的关系及根的定义得到( 再对要求的代数式变形，把数值代入求解即可.
14．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．若AE平分∠DAB，∠EAC＝10°，则∠AED＝　 　．
【答案】70°
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠EAD，
∴△ABC≌△DAE（SAS），
∴∠AED=∠BAC，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB=∠B，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=60°+10°=70°，
∴∠AED=70°，
故答案为：70°.
【分析】利用SAS证出△ABC≌△DAE，得出∠AED=∠BAC，再证出△ABE是等边三角形，得出∠BAE=60°，从而得出∠BAC=∠BAE+∠EAC=70°，即可得出∠AED=70°.
15．如图，矩形ABCD中， AB=2， BC=4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连接AF ，则AF 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： 过F作FH⊥ED，
∵正方形CEFG，
∴EF=EC， ∠FEC=∠FED+∠DEC=90°，
∵FH⊥ED，
∴∠FED+∠EFH =90°，
∴∠DEC=∠EFH ， 且EF=EC， ∠FHE=∠EDC=90°，
∴△EFH≌△EDC(AAS)，
∴EH =DC=2， FH =ED，
，
∴当AE=1时， AF 的最小值为 ，
故答案为： .
【分析】过F作FH⊥ED，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出△EFH ΔEDC，进而利用勾股定理解答即可.
16．如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N，∠ACB＝45°，AN＝1，AF＝3，则EF＝　 　.
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E.
∵∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴∠AEC+∠AFC＝180°，
∴A，E，C，F四点共圆，
∴∠AFE＝∠ACE＝45°，
∴∠EFA＝∠EFG＝45°，
∵EH⊥FA，EG⊥FG，
∴EH＝EG，
∵∠ACE＝∠EAC＝45°，
∴AE＝EC，
∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），
∴AH＝CG，
∵EF＝EF，EH＝EG，
∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），
∴FH＝FG，
∵AB∥CD，
∴∠OAN＝∠OCF，
∵∠AON＝∠COF，OA＝OC，
∴△AON≌△COF（ASA），
∴AN＝CF，
∴AN+AF＝FC+AF＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，
∵EF＝ FH，
∴AN+AF＝ EF.
∵AN＝1，AF＝3，
∴EF＝2 ，
故答案为：2 .
【分析】连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E.由Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），推出AH＝CG，由Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），推出FH＝FG，由△AON≌△COF（ASA），推出AN＝CF，推出AN+AF＝FC+AF＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，由EF＝ FH，即可解决问题.
17． 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
(2)先运用二次根式的性质化简、运算二次根式的乘除法，然后合并同类二次根式解答即可.
18．解下列一元二次方程.
（1）
（2） (x-1)(x+3)+5=0.
【答案】（1）解：
（2）解：(x-1)(x+3)+5=0，
将一元二次方程变为一般形式为：
∴原方程无实数解.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可；
(2)先将方程变为一般形式，然后用公式法解一元二次方程即可.
19．在抗击新型冠状病毒疫情期间，某校学生主动发起为武汉加油捐款活动，为了了解学生捐款金额(单位：元)，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图的统计图图甲和图乙.请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为　 　图甲中m的值为　 　；
（2）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数.
【答案】（1）50人；30
（2）解：这组数据的平均数是：20×16%+25×24%+30×30%+35×20%+40×10%=29.2，
因为30在这组数据中出现次数最多，所以众数是30，
将数据排列后，居于中间的两个数都是30，
即中位数是.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：(1)8+12+15+10+5=50(人)，
故答案为：50，30；
【分析】
【分析】(1)根据条形统计图中的数据，可以计算出本次调查的人数，再根据扇形统计图中的数据，可以得到m的值；
(2) 根据条形统计图中的数据，可以得到这组数据的平均数、众数和中位数；
20． 如图，在 ABCD中， 过点D作DE⊥AB于点E， 点F在边CD上，CF=AE，连接AF， BF .
（1） 求证： 四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB=60°， AF 是∠DAB的平分线，若AD=4，求 ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
且.
∴四边形BFDE是平行四边形，
又
∴平行四边形BFDE是矩形；
（2）解：·
由(1)得：四边形DFBE是矩形，
∵AF平分∠DAB，
的面积

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到DC∥AB，DC=AB，然后根据线段的和差得到DF=BE，进而可得BFDE是平行四边形，再根据∠DEC即可得到平行四边形BFDE是矩形；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得到∠ADE=30°，再根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AE和DE长，再利用角平分线的定义得到∠FAB=30°，进而求出AB长，根据矩形的面积公式计算即可.
21．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1 元，则每个月少买10件(每件售价不能高于 72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润 最大月利润是多少元
【答案】（1）解：设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，则每件商品的利润为：(60-50+x)元，总销量为：(200-10x)件，商品利润为：y=(60-50+x)(200-10x)，=(10+x)(200-10x)，
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，
且x为正整数；
（2）解：，
故当x=5时，最大月利润y=2250元。
这时售价为60+5=65(元).
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
(1)根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式.
(2)根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式，进而得出当x=5时得出y的最大值.
22．如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，直线 与x轴和y轴分别交于C，D两点.
（1）若抛物线经过点D，且A点的坐标是(3，0)，求抛物线的函数解析式；
（2）在(1)的条件下，点P是在直线DC下方二次函数图象上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，△CDP的面积最大，并求出最大面积；
（3）当1≤x≤3时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值.
【答案】（1）解：∵直线与x轴和y轴分别交于C，D两点，
∴C(5，0)，D(0，3)，
∵抛物线经过点D，
解得：t=±2，
∵抛物线经过点A(3，0)，
解得：t=2或4，
故该抛物线的解析式为
（2）解：设+3)，过点P作PH∥y轴，交CD于H，则
∴当时，取得最大值此时，P
（3）解：∵当时，抛物线对应的函数有最小值3，
∴可分三种情况：
①当t<1时，
解得：t=-1或t=3(舍去)；
②当时，该函数的最小值为-1，不符合题意；
③当t>3时，
解得：t=5或t=1(舍去)；
综上所述，t的值为--1或5.
【知识点】二次函数的最值；一次函数图象与坐标轴交点问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；分类讨论
【解析】【分析】(1)先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，将点A、D的坐标分别代入求出t的值，即可求得答案；
(2)设过点P作轴，交CD于H，则得出再利用运用二次函数的最值即可求得答案；
(3)分类讨论：①当t<1时，②当时，该函数的最小值为-1，不符合题意；③当t>3时，分别求出t的值即可.
23．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做“对垂四边形”.
（1）如图1，四边形ABCD为“对垂四边形”.求证：
（2）如图2， E是四边形ABCD内一点，连接AE， BE， CE和DE， AC与BD交于点O.若∠BEC=90°，∠BAC=∠BDC， ∠1+∠2=∠3.求证：四边形ABCD为“对垂四边形”.
（3）如图3，四边形ABCD为“对垂四边形”，AB=AC，∠ADC=120°， AD=3， BC= DC，求CD的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为“对垂四边形”，
由勾股定理得，
（2）证明：
∴四边形ABCD为“对垂四边形”；
（3）解：过点A作，交CD延长线于点H，
设CD=X，则.
∵四边形ABCD为“对垂四边形”，.AD=3，
(舍去)，.
∴CD的长度1.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂美四边形模型
【解析】【分析】(1)由“对垂四边形”的定义得出则，由勾股定理得即可得出结论；
(2)由三角形内角和定理可得.，由角的数量关系可得可得可得结论；
(3)过点A作交CD延长线于点H，设CD=X，则由“对垂四边形”的定义可得由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解.
24．如图1， ABCD绕点A旋转得到 AEFG，当点E落在边CD上时，连接BE.
（1）求证： BE平分∠AEC；
（2）连接GB交AE于点M.
①如图2，若 ABCD为长方形，猜测GM 和BM 之间的等量关系，并说明理由；
②如图3，若∠BEC=60°， AB=5， EC=4，请直接写出△GAB的面积.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠EBA=∠BEC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=CEB，即BE平分∠AEC；
（2）解：①过点B作BT⊥AE于点T，由(1)知，BE平分∠AEC，
∴BT=BC=AG，
∵∠GAM=∠BTM=90°，∠AMG=∠BMT，
∴△AMG≌△TMB(AAS)，
∴MG=MB；
②
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：(2)②作射线DL，
∴为等边三角形，
∴∴
在AE上取EN=ED，连接BN、GN，
∴
∴
∵AB∥CD，
∴∠LDA=∠DAB
由图形的旋转知，∠DAB=∠GAE，∴∠GAE=∠BAN，
∵∠GMA=∠BMN，BN=AG，
∴△AMG≌△NMB(AAS)，
∴∠AGB=∠NBM，
∴GA//BN，
∴四边形ABNC为平行四边形，
∴△GAB的面积=△NAB的面积，
∵AB=5，EC=4，则DE=1=EN，
过点N作NT⊥AB于点T，
在Rt△ANT中，∠NAB=60°，AN=AE-EN=5-1=4，
∴
∴△GAB的面积=△NAB的面积
【分析】(1)AB∥CD，则而AB=AE，则，即可求解；
(2)①证明即可求解；
②证明∠NMB(AAS)，得到四边形ABNC为平行四边形，则的面积：的面积，即可求解.
1 / 1浙江省宁波镇海区蛟川书院2025-2026学年下学期八年级学科大比拼数学试卷
1．下列计算中，正确的是 (　　)
A． B． C． D．
2．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应假设（　　）
A．四边形中所有角都是锐角
B．四边形中至多有一个角是钝角或直角
C．四边形中没有一个角是锐角
D．四边形中所有角都是钝角或直角
3．将一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线 那么平移前抛物线的解析式是 (　　)
A． B． C． D．
4．如图，商用手扶梯AB的坡比为1： ，已知扶梯的长AB 为12米，则小明乘坐扶梯从B 处到A处上升的高度AC为 (　　)
A．6米 B． C．12米 D．米
5．北仑某酒店第2季度的总营业额为240万元，其中4月份的营业额是100万元，设5、6月份的平均月增长率为x，可列方程为 (　　)
A． B．
C． D．
6．已知抛物线 经过点A(3，m)和点B(-2，n)，且函数y有最大值，则m和n的大小关系为(　　)
A．m>n B．m7．对于实数a、b定义新运算“*”如下：，如(-5)*2=-5×2-2=-12，3*2=2×3+2=8，若一元二次方程的两根为x1、x2(x1A．- 3 B．- 6 C．- 8 D．2
8．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
9．如图，在一块长为 ，宽为 的矩形 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路.四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为 .设道路宽为 ，则以下方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
10． 如图，正方形ABCD的边长为4， E， F ， G分别是边AB， BC， AD上的动点，且AE=BF，将△BEF沿EF向内翻折至△B'EF，连结BB'， B'G， GC，则当BB'最大时， B'G+GC的最小值为(　　)
A． B．5.6 C． D．
11．化简：　 　．
12．一组数据3，5，a，4，3的平均数是4，这组数据的方差为 　 　.
13．已知α、β是一元二次方程 的两根，则 　 　.
14．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．若AE平分∠DAB，∠EAC＝10°，则∠AED＝　 　．
15．如图，矩形ABCD中， AB=2， BC=4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连接AF ，则AF 的最小值为　 　.
16．如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N，∠ACB＝45°，AN＝1，AF＝3，则EF＝　 　.
17． 计算：
（1）
（2）
18．解下列一元二次方程.
（1）
（2） (x-1)(x+3)+5=0.
19．在抗击新型冠状病毒疫情期间，某校学生主动发起为武汉加油捐款活动，为了了解学生捐款金额(单位：元)，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图的统计图图甲和图乙.请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为　 　图甲中m的值为　 　；
（2）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数.
20． 如图，在 ABCD中， 过点D作DE⊥AB于点E， 点F在边CD上，CF=AE，连接AF， BF .
（1） 求证： 四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB=60°， AF 是∠DAB的平分线，若AD=4，求 ABCD的面积.
21．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1 元，则每个月少买10件(每件售价不能高于 72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润 最大月利润是多少元
22．如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，直线 与x轴和y轴分别交于C，D两点.
（1）若抛物线经过点D，且A点的坐标是(3，0)，求抛物线的函数解析式；
（2）在(1)的条件下，点P是在直线DC下方二次函数图象上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，△CDP的面积最大，并求出最大面积；
（3）当1≤x≤3时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值.
23．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做“对垂四边形”.
（1）如图1，四边形ABCD为“对垂四边形”.求证：
（2）如图2， E是四边形ABCD内一点，连接AE， BE， CE和DE， AC与BD交于点O.若∠BEC=90°，∠BAC=∠BDC， ∠1+∠2=∠3.求证：四边形ABCD为“对垂四边形”.
（3）如图3，四边形ABCD为“对垂四边形”，AB=AC，∠ADC=120°， AD=3， BC= DC，求CD的长.
24．如图1， ABCD绕点A旋转得到 AEFG，当点E落在边CD上时，连接BE.
（1）求证： BE平分∠AEC；
（2）连接GB交AE于点M.
①如图2，若 ABCD为长方形，猜测GM 和BM 之间的等量关系，并说明理由；
②如图3，若∠BEC=60°， AB=5， EC=4，请直接写出△GAB的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、原式 故D不符合题意.
B、原式 故B不符合题意.
C、原式 故C不符合题意.
D、原式 故A符合题意.
故选： D.
【分析】根据二次根式的加减运算、乘除运算法则即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中每个角都是锐角.
故答案为：A.
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线
∴平移前抛物线的解析式是：
故选： A.
【分析】直接利用二次函数平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵商用手扶梯AB的坡比1： 设AC=x米，则 米， 解得：x=6，
米，
故选： A.
【分析】根据坡比的定义可知，设AC=x，则 由勾股定理求出AB=2x=12，得出x=6即可.
5．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意，得：
故选： D.【分析】根据4月份的销售额及第2季度的总销售额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
6．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数y有最大值，
的对称轴为直线
∴当x>-1，y值随x值的增大而减小.
∴点B(-2，n)关于对称轴的对称点是(0，n)，且0<3，
故选： B.
【分析】由题意可知a<0，求得对称轴，利用二次函数的对称性和增减性，即可得到结论.
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程 变形得((x+3)(x-2)=0，
解得
故选： C.
【分析】求出已知方程的解得到 与 的值，利用题中新定义计算即可得到结果.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND，
∴AD=AB=8，BN=ND，
∵M是△ABC的边BC的中点，
∴DC=2MN=4，
∴AC=AD+CD=12，
故选：A．
【分析】延长BN交AC于D，根据两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形对应边相等，以及三角形中位线等于第三边的一半，计算即可．
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4x m，
依题意，得：x（20+4x+12+4x）=40，
即32x+8x2=40.
故答案为：B.
【分析】设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4x m，根据道路占地总面积为40m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND
中，
∴△ANB≌△AND(ASA)，
∴AD=AB=8， BN=ND，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴DC=2MN=4，
∴AC=AD+CD=8+4=12，
故选： A.
【分析】延长BN交AC于D，证明 根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质化简即可求出答案.
12．【答案】0.8
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】∵3，5，a，4，3的平均数是4，
∴（3+5+a+4+3）÷5=4，
解得：a=5，
则这组数据的方差S2=[（3﹣4）2+（5﹣4）2+（5﹣4）2+（4﹣4）2+（3﹣4）2]=0.8，
故答案为0.8．
【分析】根据平均数的计算公式先求出a的值，再根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，代数计算即可．
13．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 两根为α， β，
=1-1-1
=-1.
故答案为-1.
【分析】先利用根与系数的关系及根的定义得到( 再对要求的代数式变形，把数值代入求解即可.
14．【答案】70°
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠EAD，
∴△ABC≌△DAE（SAS），
∴∠AED=∠BAC，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB=∠B，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=60°+10°=70°，
∴∠AED=70°，
故答案为：70°.
【分析】利用SAS证出△ABC≌△DAE，得出∠AED=∠BAC，再证出△ABE是等边三角形，得出∠BAE=60°，从而得出∠BAC=∠BAE+∠EAC=70°，即可得出∠AED=70°.
15．【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： 过F作FH⊥ED，
∵正方形CEFG，
∴EF=EC， ∠FEC=∠FED+∠DEC=90°，
∵FH⊥ED，
∴∠FED+∠EFH =90°，
∴∠DEC=∠EFH ， 且EF=EC， ∠FHE=∠EDC=90°，
∴△EFH≌△EDC(AAS)，
∴EH =DC=2， FH =ED，
，
∴当AE=1时， AF 的最小值为 ，
故答案为： .
【分析】过F作FH⊥ED，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出△EFH ΔEDC，进而利用勾股定理解答即可.
16．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E.
∵∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴∠AEC+∠AFC＝180°，
∴A，E，C，F四点共圆，
∴∠AFE＝∠ACE＝45°，
∴∠EFA＝∠EFG＝45°，
∵EH⊥FA，EG⊥FG，
∴EH＝EG，
∵∠ACE＝∠EAC＝45°，
∴AE＝EC，
∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），
∴AH＝CG，
∵EF＝EF，EH＝EG，
∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），
∴FH＝FG，
∵AB∥CD，
∴∠OAN＝∠OCF，
∵∠AON＝∠COF，OA＝OC，
∴△AON≌△COF（ASA），
∴AN＝CF，
∴AN+AF＝FC+AF＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，
∵EF＝ FH，
∴AN+AF＝ EF.
∵AN＝1，AF＝3，
∴EF＝2 ，
故答案为：2 .
【分析】连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E.由Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），推出AH＝CG，由Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），推出FH＝FG，由△AON≌△COF（ASA），推出AN＝CF，推出AN+AF＝FC+AF＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，由EF＝ FH，即可解决问题.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
(2)先运用二次根式的性质化简、运算二次根式的乘除法，然后合并同类二次根式解答即可.
18．【答案】（1）解：
（2）解：(x-1)(x+3)+5=0，
将一元二次方程变为一般形式为：
∴原方程无实数解.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可；
(2)先将方程变为一般形式，然后用公式法解一元二次方程即可.
19．【答案】（1）50人；30
（2）解：这组数据的平均数是：20×16%+25×24%+30×30%+35×20%+40×10%=29.2，
因为30在这组数据中出现次数最多，所以众数是30，
将数据排列后，居于中间的两个数都是30，
即中位数是.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：(1)8+12+15+10+5=50(人)，
故答案为：50，30；
【分析】
【分析】(1)根据条形统计图中的数据，可以计算出本次调查的人数，再根据扇形统计图中的数据，可以得到m的值；
(2) 根据条形统计图中的数据，可以得到这组数据的平均数、众数和中位数；
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
且.
∴四边形BFDE是平行四边形，
又
∴平行四边形BFDE是矩形；
（2）解：·
由(1)得：四边形DFBE是矩形，
∵AF平分∠DAB，
的面积

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到DC∥AB，DC=AB，然后根据线段的和差得到DF=BE，进而可得BFDE是平行四边形，再根据∠DEC即可得到平行四边形BFDE是矩形；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得到∠ADE=30°，再根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AE和DE长，再利用角平分线的定义得到∠FAB=30°，进而求出AB长，根据矩形的面积公式计算即可.
21．【答案】（1）解：设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，则每件商品的利润为：(60-50+x)元，总销量为：(200-10x)件，商品利润为：y=(60-50+x)(200-10x)，=(10+x)(200-10x)，
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，
且x为正整数；
（2）解：，
故当x=5时，最大月利润y=2250元。
这时售价为60+5=65(元).
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
(1)根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式.
(2)根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式，进而得出当x=5时得出y的最大值.
22．【答案】（1）解：∵直线与x轴和y轴分别交于C，D两点，
∴C(5，0)，D(0，3)，
∵抛物线经过点D，
解得：t=±2，
∵抛物线经过点A(3，0)，
解得：t=2或4，
故该抛物线的解析式为
（2）解：设+3)，过点P作PH∥y轴，交CD于H，则
∴当时，取得最大值此时，P
（3）解：∵当时，抛物线对应的函数有最小值3，
∴可分三种情况：
①当t<1时，
解得：t=-1或t=3(舍去)；
②当时，该函数的最小值为-1，不符合题意；
③当t>3时，
解得：t=5或t=1(舍去)；
综上所述，t的值为--1或5.
【知识点】二次函数的最值；一次函数图象与坐标轴交点问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；分类讨论
【解析】【分析】(1)先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，将点A、D的坐标分别代入求出t的值，即可求得答案；
(2)设过点P作轴，交CD于H，则得出再利用运用二次函数的最值即可求得答案；
(3)分类讨论：①当t<1时，②当时，该函数的最小值为-1，不符合题意；③当t>3时，分别求出t的值即可.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为“对垂四边形”，
由勾股定理得，
（2）证明：
∴四边形ABCD为“对垂四边形”；
（3）解：过点A作，交CD延长线于点H，
设CD=X，则.
∵四边形ABCD为“对垂四边形”，.AD=3，
(舍去)，.
∴CD的长度1.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂美四边形模型
【解析】【分析】(1)由“对垂四边形”的定义得出则，由勾股定理得即可得出结论；
(2)由三角形内角和定理可得.，由角的数量关系可得可得可得结论；
(3)过点A作交CD延长线于点H，设CD=X，则由“对垂四边形”的定义可得由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解.
24．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠EBA=∠BEC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=CEB，即BE平分∠AEC；
（2）解：①过点B作BT⊥AE于点T，由(1)知，BE平分∠AEC，
∴BT=BC=AG，
∵∠GAM=∠BTM=90°，∠AMG=∠BMT，
∴△AMG≌△TMB(AAS)，
∴MG=MB；
②
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：(2)②作射线DL，
∴为等边三角形，
∴∴
在AE上取EN=ED，连接BN、GN，
∴
∴
∵AB∥CD，
∴∠LDA=∠DAB
由图形的旋转知，∠DAB=∠GAE，∴∠GAE=∠BAN，
∵∠GMA=∠BMN，BN=AG，
∴△AMG≌△NMB(AAS)，
∴∠AGB=∠NBM，
∴GA//BN，
∴四边形ABNC为平行四边形，
∴△GAB的面积=△NAB的面积，
∵AB=5，EC=4，则DE=1=EN，
过点N作NT⊥AB于点T，
在Rt△ANT中，∠NAB=60°，AN=AE-EN=5-1=4，
∴
∴△GAB的面积=△NAB的面积
【分析】(1)AB∥CD，则而AB=AE，则，即可求解；
(2)①证明即可求解；
②证明∠NMB(AAS)，得到四边形ABNC为平行四边形，则的面积：的面积，即可求解.
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