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吉林省长春外国语学校2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题
1．下列汽车图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的汽车图标不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B 、此选项中的汽车图标不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C 、此选项中的汽车图标不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D 、此选项中的汽车图标是轴对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变，，两边同时加，∴，故此选项中的不等式一定成立，符合题意；
B、∵不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变，，两边同时除以，∴， 故此选项中的不等式一定不成立，不符合题意；
C、当，时，满足，但， 故此选项中的不等式不一定成立，不符合题意；
D、∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，，两边同时乘，∴， 故此选项中的不等式一定不成立， 不符合题意.
故答案为：A.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断得出答案.
3．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵，不满足三角形三边关系，∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能首尾连接摆成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，不满足三角形三边关系，∴长度为4cm，6cm，10cm的三条线段不能首尾连接摆成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，不满足三角形三边关系，∴长度为5cm，6cm，11cm的三条线段不能首尾连接摆成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，满足三角形三边关系，∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能首尾连接摆成三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】三条线段的长度满足： 较小两条的长度和大于最大一条的长度，这三条线段就能构成三角形，反之不能，据此逐一判断得出答案.
4．用同一种下列形状的图形地砖不能进行平面镶嵌的是 （ ）
A．正三角形 B．长方形 C．正八边形 D．正六边形
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A．正三角形的每个内角是，能整除，能密铺，故A不符合题意；
B．长方形的每个内角是，能整除，能密铺，故B不符合题意；
C．正八边形的每个内角为：，不能整除，不能密铺，故C符合题意；
D．正六边形的每个内角为度，能整除，能密铺，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合每个内角的整数倍等于，即可求出答案．
5．的正整数解有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：方程可化为，
∵均为正整数，
∴，且是的倍数，
，且为奇数，
则当时，，
当时，，
即方程的正整数解为，，共有2组，
故选：B．
【分析】先将用x表示y得，再根据均为正整数，可得，且为奇数，进行分析即可得．
6．对于方程，去分母后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵原方程分母为3和2，最小公倍数为6．
∴给方程两边同时乘以6，得
化简后得．
故答案为：D.
【分析】方程两边同时乘以各个分母的最简公分母6(左边的整式-2也要乘以6，不能漏乘)约去各个分母，要注意分数线具有括号的作用，故需要准确添加括号，据此解答即可.
7．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（　　）
A．14 B．15 C．17 D．23
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长为，
故答案为：C.
【分析】由尺规作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等BD=CD，然后根据三角形周长计算方法、等量代换及线段和差将△ABD的周长转化为AB+AC，从而代值计算可得答案.
8．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解： 两个方程组的解相同
联立不含、的方程得 ，
得，解得．
把代入得，解得．
将，代入含、的方程得，
方程④两边同除以得．
．
故答案为：C.
【分析】根据方程组解的定义“组成方程组的两个方程的公共解就是方程组的解”，由两个方程组的解相同，说明这个解是四个方程的公共解，因此先联立两个不含a、b的方程求出公共解x、y，再将解代入含a、b的方程，即可计算得到2a+b的值．
9．“的倍与的差大于”列出的不等式是　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：x的2倍可表示为2x，x的2倍与3的差可表示为2x-3，
根据“差大于8”，可列出不等式：2x-3＞8．
故答案为：2x-3＞8.
【分析】根据描述将文字关系转化为代数式，再结合给出的不等关系列出不等式即可.
10．多边形内角和是，则它的边数为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为，
∵多边形内角和是，
∴，
解得：．
∴它的边数为．
故答案为：7.
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和公式该多边形内角和可表示为(n-2)×180°，结合该多边形内角和是900°列出方程，求解即可．
11．《孙子算经》第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？现设兽有x个，鸟有y只，则可列方程组为　 　．
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵共有76个头，
∴6x+4y=76.
∵共有46只脚，
∴4x+2y=46，
联立可得方程组.
故答案为：.
【分析】根据共有76个头可得6x+4y=76；根据共有46只脚可得4x+2y=46，联立即可得到方程组.
12．如图，将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，若，则的度数为　 　．
【答案】74
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
又∵长方形纸片的对边平行，
∴，
故答案为：．
【分析】根据折叠的性质得出∠CAD=2∠BAC=53°，然后根据二直线平行，同旁内角互补即可求出∠BCA的度数.
13．定义一种法则“”如下：，如：，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；利用合并同类项、移项解一元一次方程；分类讨论
【解析】【解答】解：根据新定义的运算法则，分两种情况讨论：
情况1：当，解不等式得，
根据法则可得 ，
因此列方程得，
解得，满足，符合条件；
情况2：当，解不等式得，
根据法则可得 ，
因此列方程得，
解得，不满足，舍去；
综上，的值为．
故答案为：3.
【分析】根据新定义运算法则，分2m-1＞m+1，即m＞2与2m-1≤m+1，即m≤2两种情况分别列出关于字母m的方程，分别解方程后，验证解是否满足对应情况的条件，舍去不符合的，即可得到答案.
14．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④若则其中所有正确结论的序号有　 　．
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，故①正确；
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵且，
∴，
若，
则∠FCB= ∠EBC，
根据已知条件不能推出∠FCB= ∠EBC，故③不符合题意；
∵且，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①②④.
【分析】 利用等底同高的两个三角形可得三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，据此可判断①；由直角三角形两锐角互余、等角的余角相等及对顶角相等推出∠AFG=∠DGC=∠AGF，从而可判断②； 由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠BAD=∠ACB，若∠BAD=∠ACF+∠EBC，则∠FCB= ∠EBC，根据已知条件不能推出∠FCB= ∠EBC， 据此可判断③；根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD=30°，由三角形内角和定理求出∠AGF=75°，然后根据邻补角可求出∠AGC=105°，据此可判断④.
15．解下列一元一次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项及系数化为1的步骤，求解即可；
（2）先去分母（两边同时乘以6），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
（1）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
16．解下列二元一次方程组
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
得，
解得，
把代入①得，
解得，
∴．
（2）解：，
化简得，
得：，
解得，
把代入②得：，
解得，
∴．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察方程组中未知数项系数的特点，用方程①-②消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，即可得到原方程组的解；
（2）先将方程组中的各个方程去分母整理成一般形式，观察方程组中未知数项系数的特点，用方程②×2+①消去y求出x的值，再将x的值代入er5方程求出y的值，即可得到原方程组的解.
（1）解：，
得，
解得，
把代入①得，
解得，
∴．
（2）解：，
化简得，
得：，
解得，
把代入②得：，
解得，
∴．
17．解下列不等式或不等式组
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：
解不等式①得：；
解不等式②得：；
∴．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据移项、合并同类项及系数化为1的步骤解不等式即可；
（2）根据解不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
（1）解：，
，
；
（2）解：
解不等式①得：；
解不等式②得：；
∴．
18．某航空公司规定：购买经济舱机票的旅客每人最多可免费托运行李，超过部分每千克需按经济舱普通票价的购买行李票．已知一名旅客按照经济舱普通票价购买了一张机票，并托运了行李，机票连同行李票共付了1323元，求该旅客的机票票价．
【答案】解：设该旅客的机票票价为元，由题意，得
解得，
该旅客的机票标价为1080元．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程 然后求解即可.
19．若关于不等式组恰有两个整数解，求的取值范围．
【答案】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
∵不等式组的解集为
∵不等式组恰有两个整数解
∴满足条件的整数解为
∴
解得.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】将m作为常数，根据解不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，最后再根据“恰有两个整数解”确定整数解，进而得到关于m的不等式组，求解即可得到m的取值范围．
20．如图，在中，，，平分，于点，与交于点，求的度数；
【答案】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】首先利用三角形内角和定理求得，再利用角平分线定义求得，由垂直的定义得出∠OEA=90°，最后再利用三角形内角和定理算出∠AOE的度数.
21．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中画的高．
（2）在图②中在找一点，连接，使得的面积等于的面积．
（3）在图③中是边上一格点，边上找一点，连接、，使取得最小值
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，点即为所求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形的高；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及三角形高线得定义，在BC边上选取合适格点H，连接AH，即可得到满足要求的高；
（2）由等底同高三角形面积相等可得三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形，据此利用方格纸的特点取线段AB的中点E，连接CE，CE就是所求的线；
（3）利用方格纸的特点，确定点D关于直线AC的对称点G，再连接BG，BG与AC的交点即为所求的点F，由轴对称的性质得DF=FG，则DF+BF=GF+BF=BG，根据两点之间线段最短可得此时的点F满足BF+DF最短.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，点即为所求．
22．已知某网店销售甲、乙两款玩偶，乙款玩偶的售价比甲款玩偶的售价少元，购买个甲款玩偶和个乙款玩偶共需元（免运费）．请解答下列问题：
（1）该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？
（2）根据市场需求，该网店计划用不超过元购进甲、乙两款玩偶共个，且甲款数量超过个．已知甲款玩偶每个进价元，乙款玩偶每个进价元，该网店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，该网店采取哪种方案利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设甲款玩偶每个售价元，乙款玩偶每个售价元，
根据题意得：
解得
答：甲款玩偶每个售价60元，乙款玩偶每个售价45元；
（2）解：设购进甲款玩偶个，则购进乙款玩偶个，
根据题意得：
解得，
因为为正整数，
所以可取88，89，90，对应为112，111，110，
答：该网店共有3种进货方案，分别是：购进甲款玩偶88个，乙款玩偶112个；购进甲款玩偶89个，乙款玩偶111个；购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个；
（3）解：设总利润为元， 甲款玩偶每个利润为(元)，乙款玩偶每个利润为(元)，
则，
因为，
所以随的增大而增大，
所以当取最大值90时，取得最大值，最大(元)，
此时乙款玩偶数量为(个)，
答：购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个时利润最大，最大利润是1450元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲款玩偶每个售价x元，乙款玩偶每个售价y元，根据“ 乙款玩偶的售价比甲款玩偶的售价少15元及购买2个甲款玩偶和3个乙款玩偶共需255元 ”列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲款玩偶m个，则购进乙款玩偶(200-m)个，根据单价乘以数量等于总价及购进甲乙两款玩偶的费用不超过8900元列出不等式50m+40(200-m)≤8900；根据购进甲款玩偶数量超过87列出不等式m＞87，联立两不等式求解，结合数量为正整数，得到所有可行的进货方案；
（3）根据单个玩偶的利润乘以销售数量等于总利润及销售m个甲款玩偶的利润+销售(200-m)个乙款玩偶的利润等于总利润建立出W关于m的函数关系式，利用一次函数的增减性求出最大利润及对应方案即可．
（1）解：设甲款玩偶每个售价元，乙款玩偶每个售价元，
根据题意得：
解得
答：甲款玩偶每个售价60元，乙款玩偶每个售价45元；
（2）解：设购进甲款玩偶个，则购进乙款玩偶个，
根据题意得：
解得，
因为为正整数，
所以可取88，89，90，对应为112，111，110，
答：该网店共有3种进货方案，分别是：购进甲款玩偶88个，乙款玩偶112个；购进甲款玩偶89个，乙款玩偶111个；购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个；
（3）解：设总利润为元， 甲款玩偶每个利润为(元)，乙款玩偶每个利润为(元)，
则，
因为，
所以随的增大而增大，
所以当取最大值90时，取得最大值，最大(元)，
此时乙款玩偶数量为(个)，
答：购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个时利润最大，最大利润是1450元．
23．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究：
（1）如图，在中，与的平分线交于点，，则________；
（2）如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数．
（3）如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示）
（4）如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________．
【答案】（1）
（2） 解：，
，即，
的平分线与的平分线交于点，
，，
，
；
（3）
（4）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】（1）解：，
，
与的平分线交于点，
，，
，
；
故答案为：121°；
（3）解：，，，
，
、的平分线交于点，
，，
；
故答案为：；
（4）解：，理由如下：
、的平分线交于点，
同理（1）可得，
的平分线与的平分线的延长线相交于点，
同理（2）可得，
．
故答案为：.
【分析】（1）由三角形内角和定理得，再根据角平分线的定义得，，然后根据等式性质及整体代入可求出，最后再根据三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数
（2）根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出，由角平分线的定义得，，从而根据等式性质及整体代入可求出，最后再根据三角形外角性质好，由∠BEC=∠EBD-∠ECB可算出答案；
（3）由三角形外角性质得，，由等式性质及三角形内角和得，再根据角平分线的定义得，， 最后根据三角形内角和定理即可得到；
（4）同理（1）和（2）可得，，，则．
（1）解：，
，
与的平分线交于点，
，，
，
；
（2）解：，
，即，
的平分线与的平分线交于点，
，，
，
；
（3）解：，，，
，
、的平分线交于点，
，，
；
（4）解：，理由如下：
、的平分线交于点，
同理（1）可得，
的平分线与的平分线的延长线相交于点，
同理（2）可得，
．
24．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为．
【问题解决】用换元法解决下列问题：
（1）关于，的方程组的解_____；
（2）若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____；
（3）已知关于，的方程组，求，的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：设，，
则原方程组可化为，
解得，
∴，
解得．
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：设，，
则原方程组可化为，
解得，
∴，
解得；
故答案为：；
（2）设，，
则方程组可化为，
∵关于，的方程组的解是，
∴，
解得；
故答案为：；
【分析】（1） 由于原方程组中含有式子和，故可设，，原方程组转化为，解该方程组得，则，根据倒数定义法可得原方程组的解；
（2）观察方程组的结构，设，，则关于a、b的方程组转化为，将其与题干中关于字母x、y的方程组比较，并结合关于字母x、y的方程组的解可得，求解即可；
（3） 由于原方程组中含有式子2m与3n，设，，则原方程组可化为，解该方程组求出p、q的值，再代回，根据有理数乘方运算法则求出m、n的值.
（1）解：设，，
则原方程组可化为，
解得，
∴，
解得；
（2）设，，
则方程组可化为，
∵关于，的方程组的解是，
∴，
解得；
（3）设，，
则原方程组可化为，
解得，
∴，
解得．
1 / 1吉林省长春外国语学校2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题
1．下列汽车图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．用同一种下列形状的图形地砖不能进行平面镶嵌的是 （ ）
A．正三角形 B．长方形 C．正八边形 D．正六边形
5．的正整数解有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组
6．对于方程，去分母后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（　　）
A．14 B．15 C．17 D．23
8．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．“的倍与的差大于”列出的不等式是　 　．
10．多边形内角和是，则它的边数为　 　．
11．《孙子算经》第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？现设兽有x个，鸟有y只，则可列方程组为　 　．
12．如图，将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，若，则的度数为　 　．
13．定义一种法则“”如下：，如：，若，则的值为　 　．
14．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④若则其中所有正确结论的序号有　 　．
15．解下列一元一次方程：
（1）；
（2）．
16．解下列二元一次方程组
（1）
（2）
17．解下列不等式或不等式组
（1）
（2）
18．某航空公司规定：购买经济舱机票的旅客每人最多可免费托运行李，超过部分每千克需按经济舱普通票价的购买行李票．已知一名旅客按照经济舱普通票价购买了一张机票，并托运了行李，机票连同行李票共付了1323元，求该旅客的机票票价．
19．若关于不等式组恰有两个整数解，求的取值范围．
20．如图，在中，，，平分，于点，与交于点，求的度数；
21．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中画的高．
（2）在图②中在找一点，连接，使得的面积等于的面积．
（3）在图③中是边上一格点，边上找一点，连接、，使取得最小值
22．已知某网店销售甲、乙两款玩偶，乙款玩偶的售价比甲款玩偶的售价少元，购买个甲款玩偶和个乙款玩偶共需元（免运费）．请解答下列问题：
（1）该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？
（2）根据市场需求，该网店计划用不超过元购进甲、乙两款玩偶共个，且甲款数量超过个．已知甲款玩偶每个进价元，乙款玩偶每个进价元，该网店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，该网店采取哪种方案利润最大，最大利润是多少？
23．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究：
（1）如图，在中，与的平分线交于点，，则________；
（2）如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数．
（3）如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示）
（4）如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________．
24．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为．
【问题解决】用换元法解决下列问题：
（1）关于，的方程组的解_____；
（2）若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____；
（3）已知关于，的方程组，求，的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的汽车图标不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B 、此选项中的汽车图标不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C 、此选项中的汽车图标不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D 、此选项中的汽车图标是轴对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变，，两边同时加，∴，故此选项中的不等式一定成立，符合题意；
B、∵不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变，，两边同时除以，∴， 故此选项中的不等式一定不成立，不符合题意；
C、当，时，满足，但， 故此选项中的不等式不一定成立，不符合题意；
D、∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，，两边同时乘，∴， 故此选项中的不等式一定不成立， 不符合题意.
故答案为：A.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵，不满足三角形三边关系，∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能首尾连接摆成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，不满足三角形三边关系，∴长度为4cm，6cm，10cm的三条线段不能首尾连接摆成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，不满足三角形三边关系，∴长度为5cm，6cm，11cm的三条线段不能首尾连接摆成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，满足三角形三边关系，∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能首尾连接摆成三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】三条线段的长度满足： 较小两条的长度和大于最大一条的长度，这三条线段就能构成三角形，反之不能，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A．正三角形的每个内角是，能整除，能密铺，故A不符合题意；
B．长方形的每个内角是，能整除，能密铺，故B不符合题意；
C．正八边形的每个内角为：，不能整除，不能密铺，故C符合题意；
D．正六边形的每个内角为度，能整除，能密铺，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合每个内角的整数倍等于，即可求出答案．
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：方程可化为，
∵均为正整数，
∴，且是的倍数，
，且为奇数，
则当时，，
当时，，
即方程的正整数解为，，共有2组，
故选：B．
【分析】先将用x表示y得，再根据均为正整数，可得，且为奇数，进行分析即可得．
6．【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵原方程分母为3和2，最小公倍数为6．
∴给方程两边同时乘以6，得
化简后得．
故答案为：D.
【分析】方程两边同时乘以各个分母的最简公分母6(左边的整式-2也要乘以6，不能漏乘)约去各个分母，要注意分数线具有括号的作用，故需要准确添加括号，据此解答即可.
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长为，
故答案为：C.
【分析】由尺规作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等BD=CD，然后根据三角形周长计算方法、等量代换及线段和差将△ABD的周长转化为AB+AC，从而代值计算可得答案.
8．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解： 两个方程组的解相同
联立不含、的方程得 ，
得，解得．
把代入得，解得．
将，代入含、的方程得，
方程④两边同除以得．
．
故答案为：C.
【分析】根据方程组解的定义“组成方程组的两个方程的公共解就是方程组的解”，由两个方程组的解相同，说明这个解是四个方程的公共解，因此先联立两个不含a、b的方程求出公共解x、y，再将解代入含a、b的方程，即可计算得到2a+b的值．
9．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：x的2倍可表示为2x，x的2倍与3的差可表示为2x-3，
根据“差大于8”，可列出不等式：2x-3＞8．
故答案为：2x-3＞8.
【分析】根据描述将文字关系转化为代数式，再结合给出的不等关系列出不等式即可.
10．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为，
∵多边形内角和是，
∴，
解得：．
∴它的边数为．
故答案为：7.
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和公式该多边形内角和可表示为(n-2)×180°，结合该多边形内角和是900°列出方程，求解即可．
11．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵共有76个头，
∴6x+4y=76.
∵共有46只脚，
∴4x+2y=46，
联立可得方程组.
故答案为：.
【分析】根据共有76个头可得6x+4y=76；根据共有46只脚可得4x+2y=46，联立即可得到方程组.
12．【答案】74
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
又∵长方形纸片的对边平行，
∴，
故答案为：．
【分析】根据折叠的性质得出∠CAD=2∠BAC=53°，然后根据二直线平行，同旁内角互补即可求出∠BCA的度数.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；利用合并同类项、移项解一元一次方程；分类讨论
【解析】【解答】解：根据新定义的运算法则，分两种情况讨论：
情况1：当，解不等式得，
根据法则可得 ，
因此列方程得，
解得，满足，符合条件；
情况2：当，解不等式得，
根据法则可得 ，
因此列方程得，
解得，不满足，舍去；
综上，的值为．
故答案为：3.
【分析】根据新定义运算法则，分2m-1＞m+1，即m＞2与2m-1≤m+1，即m≤2两种情况分别列出关于字母m的方程，分别解方程后，验证解是否满足对应情况的条件，舍去不符合的，即可得到答案.
14．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，故①正确；
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵且，
∴，
若，
则∠FCB= ∠EBC，
根据已知条件不能推出∠FCB= ∠EBC，故③不符合题意；
∵且，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①②④.
【分析】 利用等底同高的两个三角形可得三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，据此可判断①；由直角三角形两锐角互余、等角的余角相等及对顶角相等推出∠AFG=∠DGC=∠AGF，从而可判断②； 由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠BAD=∠ACB，若∠BAD=∠ACF+∠EBC，则∠FCB= ∠EBC，根据已知条件不能推出∠FCB= ∠EBC， 据此可判断③；根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD=30°，由三角形内角和定理求出∠AGF=75°，然后根据邻补角可求出∠AGC=105°，据此可判断④.
15．【答案】（1）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项及系数化为1的步骤，求解即可；
（2）先去分母（两边同时乘以6），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
（1）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
16．【答案】（1）解：，
得，
解得，
把代入①得，
解得，
∴．
（2）解：，
化简得，
得：，
解得，
把代入②得：，
解得，
∴．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察方程组中未知数项系数的特点，用方程①-②消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，即可得到原方程组的解；
（2）先将方程组中的各个方程去分母整理成一般形式，观察方程组中未知数项系数的特点，用方程②×2+①消去y求出x的值，再将x的值代入er5方程求出y的值，即可得到原方程组的解.
（1）解：，
得，
解得，
把代入①得，
解得，
∴．
（2）解：，
化简得，
得：，
解得，
把代入②得：，
解得，
∴．
17．【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：
解不等式①得：；
解不等式②得：；
∴．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据移项、合并同类项及系数化为1的步骤解不等式即可；
（2）根据解不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
（1）解：，
，
；
（2）解：
解不等式①得：；
解不等式②得：；
∴．
18．【答案】解：设该旅客的机票票价为元，由题意，得
解得，
该旅客的机票标价为1080元．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程 然后求解即可.
19．【答案】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
∵不等式组的解集为
∵不等式组恰有两个整数解
∴满足条件的整数解为
∴
解得.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】将m作为常数，根据解不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，最后再根据“恰有两个整数解”确定整数解，进而得到关于m的不等式组，求解即可得到m的取值范围．
20．【答案】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】首先利用三角形内角和定理求得，再利用角平分线定义求得，由垂直的定义得出∠OEA=90°，最后再利用三角形内角和定理算出∠AOE的度数.
21．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，点即为所求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形的高；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及三角形高线得定义，在BC边上选取合适格点H，连接AH，即可得到满足要求的高；
（2）由等底同高三角形面积相等可得三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形，据此利用方格纸的特点取线段AB的中点E，连接CE，CE就是所求的线；
（3）利用方格纸的特点，确定点D关于直线AC的对称点G，再连接BG，BG与AC的交点即为所求的点F，由轴对称的性质得DF=FG，则DF+BF=GF+BF=BG，根据两点之间线段最短可得此时的点F满足BF+DF最短.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，点即为所求．
22．【答案】（1）解：设甲款玩偶每个售价元，乙款玩偶每个售价元，
根据题意得：
解得
答：甲款玩偶每个售价60元，乙款玩偶每个售价45元；
（2）解：设购进甲款玩偶个，则购进乙款玩偶个，
根据题意得：
解得，
因为为正整数，
所以可取88，89，90，对应为112，111，110，
答：该网店共有3种进货方案，分别是：购进甲款玩偶88个，乙款玩偶112个；购进甲款玩偶89个，乙款玩偶111个；购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个；
（3）解：设总利润为元， 甲款玩偶每个利润为(元)，乙款玩偶每个利润为(元)，
则，
因为，
所以随的增大而增大，
所以当取最大值90时，取得最大值，最大(元)，
此时乙款玩偶数量为(个)，
答：购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个时利润最大，最大利润是1450元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲款玩偶每个售价x元，乙款玩偶每个售价y元，根据“ 乙款玩偶的售价比甲款玩偶的售价少15元及购买2个甲款玩偶和3个乙款玩偶共需255元 ”列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲款玩偶m个，则购进乙款玩偶(200-m)个，根据单价乘以数量等于总价及购进甲乙两款玩偶的费用不超过8900元列出不等式50m+40(200-m)≤8900；根据购进甲款玩偶数量超过87列出不等式m＞87，联立两不等式求解，结合数量为正整数，得到所有可行的进货方案；
（3）根据单个玩偶的利润乘以销售数量等于总利润及销售m个甲款玩偶的利润+销售(200-m)个乙款玩偶的利润等于总利润建立出W关于m的函数关系式，利用一次函数的增减性求出最大利润及对应方案即可．
（1）解：设甲款玩偶每个售价元，乙款玩偶每个售价元，
根据题意得：
解得
答：甲款玩偶每个售价60元，乙款玩偶每个售价45元；
（2）解：设购进甲款玩偶个，则购进乙款玩偶个，
根据题意得：
解得，
因为为正整数，
所以可取88，89，90，对应为112，111，110，
答：该网店共有3种进货方案，分别是：购进甲款玩偶88个，乙款玩偶112个；购进甲款玩偶89个，乙款玩偶111个；购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个；
（3）解：设总利润为元， 甲款玩偶每个利润为(元)，乙款玩偶每个利润为(元)，
则，
因为，
所以随的增大而增大，
所以当取最大值90时，取得最大值，最大(元)，
此时乙款玩偶数量为(个)，
答：购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个时利润最大，最大利润是1450元．
23．【答案】（1）
（2） 解：，
，即，
的平分线与的平分线交于点，
，，
，
；
（3）
（4）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】（1）解：，
，
与的平分线交于点，
，，
，
；
故答案为：121°；
（3）解：，，，
，
、的平分线交于点，
，，
；
故答案为：；
（4）解：，理由如下：
、的平分线交于点，
同理（1）可得，
的平分线与的平分线的延长线相交于点，
同理（2）可得，
．
故答案为：.
【分析】（1）由三角形内角和定理得，再根据角平分线的定义得，，然后根据等式性质及整体代入可求出，最后再根据三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数
（2）根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出，由角平分线的定义得，，从而根据等式性质及整体代入可求出，最后再根据三角形外角性质好，由∠BEC=∠EBD-∠ECB可算出答案；
（3）由三角形外角性质得，，由等式性质及三角形内角和得，再根据角平分线的定义得，， 最后根据三角形内角和定理即可得到；
（4）同理（1）和（2）可得，，，则．
（1）解：，
，
与的平分线交于点，
，，
，
；
（2）解：，
，即，
的平分线与的平分线交于点，
，，
，
；
（3）解：，，，
，
、的平分线交于点，
，，
；
（4）解：，理由如下：
、的平分线交于点，
同理（1）可得，
的平分线与的平分线的延长线相交于点，
同理（2）可得，
．
24．【答案】（1）
（2）
（3）解：设，，
则原方程组可化为，
解得，
∴，
解得．
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：设，，
则原方程组可化为，
解得，
∴，
解得；
故答案为：；
（2）设，，
则方程组可化为，
∵关于，的方程组的解是，
∴，
解得；
故答案为：；
【分析】（1） 由于原方程组中含有式子和，故可设，，原方程组转化为，解该方程组得，则，根据倒数定义法可得原方程组的解；
（2）观察方程组的结构，设，，则关于a、b的方程组转化为，将其与题干中关于字母x、y的方程组比较，并结合关于字母x、y的方程组的解可得，求解即可；
（3） 由于原方程组中含有式子2m与3n，设，，则原方程组可化为，解该方程组求出p、q的值，再代回，根据有理数乘方运算法则求出m、n的值.
（1）解：设，，
则原方程组可化为，
解得，
∴，
解得；
（2）设，，
则方程组可化为，
∵关于，的方程组的解是，
∴，
解得；
（3）设，，
则原方程组可化为，
解得，
∴，
解得．
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