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陕西省咸阳市兴平市2024-2025学年八年下学期期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的．）
1．下列图案中，是中心对称图形的是（　　）．
A． B．
C． D．
2．化简的结果是（　　）．
A． B． C． D．
3．不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（　　）．
A． B． C． D．
5．如图，将沿方向平移到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接．若，则的度数是（　　）．
A． B． C． D．
6．如图，在中，，平分交于点D．若，，则的面积为（　　）．
A．16 B． C． D．
7．端午节是我国四大传统节日之一，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某超市购进咸味粽和甜味粽共盒，已知咸味粽每盒利润为元，甜味粽每盒利润为元．若购进的粽子全部销售完，所得总利润不低于元，则最多能购进咸味粽（　　）．
A．盒 B．盒 C．盒 D．盒
8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，连接．若平行四边形的周长为16，则的周长为（　　）．
A．10 B．9 C．8 D．6
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．因式分解：3x3﹣12x=　 　．
10．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
11．如图，在四边形中，点E，F，G分别是，，的中点，若，，则的度数为　 　．
12．若分式方程有增根，则m的值为　 　．
13．若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是　 　．
三、解答题（共11小题，计81分，解答应写出过程）
14．解不等式组：．
15．解分式方程：
16．如图，在中，请用尺规作图法求作一点M，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
17．计算：．
18．如图，在四边形中，，E是上的一点，且，，求证：．
19．人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科．实验中学为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行50米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，且“领航号”比“致远号”每秒多行驶，求“致远号”的行驶速度．（列分式方程解答）
20．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，．
（1）画出将向右平移5格，再向下平移4格后的图形，记为；
（2）画出将绕点C顺时针旋转的图形，记为；并写出点，的坐标．
21．如图，在中，，延长至点E，过点E作，垂足为F，交边于点D．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，且D为边的中点，求的长．
22．一次函数和的图象交于点C，如图所示，且，．
（1）不等式的解集是______；
（2）若不等式的解集是．
①求点C的坐标；
②写出不等式组时x的取值范围．
23．如图，在中，对角线，交于点O，于点E，于点F，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
24．是等边三角形，点D在边上，连接．
（1）如图1，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，求证： ；
（2）如图2，延长至点F，连接，延长至点M，使，连接，若，，，求的长．（提示：过点D作）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：ACD对应的图形绕某一点旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，B对应的图形绕某一点旋转180°后能与原图形重合，是中心对称图形，
故答案为：B．
【分析】只需要根据中心对称图形的定义，判断各选项即可.
2．【答案】A
【知识点】约分
【解析】【解答】解：，故答案为：A．
【分析】按照分式约分的法则来对给定分式进行化简计算即可.
3．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】 解：∵，
∴，
∴，
∴将该解集表示在数轴上如下图所示：
故答案为：C.
【分析】先求出不等式的解集，然后将其正确表示在数轴上，最终选出对应选项.
4．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据旋转的性质可得旋转角，从而结合得到的度数.
5．【答案】B
【知识点】平移的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】∵将沿方向平移到，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用平移的性质得到对应角相等以及对应线段平行，即，然后根据两直线平行，同旁内角互补，可得的度数.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵，平分交于点，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质得到，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果.
7．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设购进咸味粽盒，则甜味粽为盒，
根据题意，得，
解得：，
∴的最大正整数解为，
∴最多能购进咸味粽盒，
故答案为：A．
【分析】设购进咸味粽盒，则甜味粽为盒，根据所得总利润不低于元可列不等式，解不等式后得到的最大正整数解即可．
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，且周长为16，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长为，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质我们可以得到，，结合已知条件，可以推出垂直平分，然后根据垂直平分线的性质可得，借此我们就可以计算得到的周长.
9．【答案】3x（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3x3﹣12x
=3x（x2﹣4）
=3x（x+2）（x﹣2）
故答案是：3x（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察此多项式的特点：有公因式3x，因此先提取公因式3x，再利用平方差公式分解因式。
10．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵点分别是，，的中点，
，
，
，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据三角形中位线定理推出，然后结合等腰三角形“等边对等角”的性质与三角形内角和定理，即可计算得出结果.
12．【答案】2或
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以，得，
∵方程有增根，
∴，
当时，有，
当时，有，
解得：，
∴的值为2或，
故答案为：2或．
【分析】本题考查分式方程增根相关问题，增根是分式方程化为整式方程后，不满足原分式方程要求的根，们先将分式方程去分母，转化为整式方程，再令分式方程的最简公分母为，得到增根的所有可能取值，最后将增根分别代入转化得到的整式方程，就可以计算出对应的的值.
13．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴该不等式组的解集是：，
∵原不等式组有且只有3个整数解，
∴这三个整数解分别是0，1，2，
∴，
故答案为：.
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再确定它们解集的公共部分得到整个不等式组的解集，最后结合题目中“不等式组有且仅有3个整数解”的限定条件，得到这三个整数解分别是0，1，2，据此就能推导出参数的取值范围.
14．【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集.
15．【答案】解：原分式方程化为，去分母，方程两边同乘以得：
，
解得，，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】解分式方程，根据去分母，去括号，移项，系数化为一，求解并检验即可．
16．【答案】解：如图所示，点即为所求，
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先过点作，再作出线段的垂直平分线，两条线的交点即为所求的点M.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先对括号内的式子进行通分，再将除法运算转化为乘法运算，约分后化为最简形式，最后进行加减计算就能得到结果.
18．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先根据等腰三角形判定得到，然后证明，由此可以得到，最后结合线段的和差关系即可求出最终结果.
19．【答案】解：设“致远号”的行驶速度为每秒x m，则“领航号”的行驶速度为每秒，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合实际，
∴“致远号”的行驶速度为每秒．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设“致远号”的行驶速度为每秒，则“领航号”的行驶速度为每秒，根据当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，且“领航号”比“致远号”每秒多行驶可列出分式方程，求解该方程即可得到结果.
20．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
∴，．
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，找出三角形三个顶点平移后的对应点，再将三个对应点依次连接，即可得到平移后的三角形；
（2）先根据旋转的性质，确定旋转后的对应点，顺次连接对应点即可完成旋转作图，最后直接写出和的坐标即可.
（1）解：如图：即为所求．
（2）解：如图：即为所求；，．
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵为的中点，
∴，
由（1）知是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴在中，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形”等边对等角“性质得到，根据垂直的定义得到，，从而可知，根据对顶角得到，进而得到，最后根据等腰三角形判定得证结论；
（2）由题意及等腰三角形的定义可知，然后利用勾股定理即可求出的长．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵D为的中点，
∴，
由（1）知是等腰三角形，
∴，
∴在中，．
22．【答案】（1）
（2）解：①将，代入，得，
解得：，
∴一次函数，
∵的解集是，
∴点的横坐标是，
当时，有，
∴；
②∵，，
∴根据函数图象可得，不等式组时的取值范围为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：（1）不等式表示函数函数值大于4，所对应的取值范围，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
【分析】（1）根据不等式表示函数函数值大于4，所对应的取值范围，结合函数图象直接写出不等式的解集即可；
（2）①利用待定系数法求出一次函数，根据的解集是，可知点的横坐标是，进而确定点的坐标；
②根据点的横坐标，并结合函数图象即可求解．
（1）解：不等式表示函数函数值大于4，所对应x的取值范围，
所以不等式的解集是．
故答案为．
（2）解：①∵点，在一次函数的图象上，
则，解得，
∴一次函数．
∵的解集是，
∴点C的横坐标是，
当时，，
∴点C的坐标为．
②∵，，
∴根据函数图象可得：时，．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵于点，于点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得四边形是平行四边形，
∵，
∴，，
∵，，
∴在中，，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形以及平行线性质得到，，求出，根据平行线判定得到，然后证明，得到，最后根据平行四边形判定得证结论；
（2）根据平行四边形的性质得，，利用勾股定理求出即可求解．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵于点 E，于点 F，
∴，
∴，
在和中，，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：由（1）知，四边形是平行四边形，
∴，．
在中，，
∵四边形是平行四边形．
∴．
24．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴（），
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，，，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形以及旋转的性质得到，，，，从而得到，进而证明；
（2）过点作于点，根据等腰三角形”等边对等角“以及三角形外角性质得到，从而得到，然后结合等边三角形性质证明（），得到，根据含30°的直角三角形的性质求出，进而利用勾股定理得到，接下来设，则，，，在中，利用勾股定理得到关于的方程，解方程即可求解.
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，．
由旋转的性质得，，
∴，
∴．
在和中，，
∴（）．
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴（），
∴．
如图，过点D作，垂足为N，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，
则，，，
在中，，
即，解得，
∴．
1 / 1陕西省咸阳市兴平市2024-2025学年八年下学期期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的．）
1．下列图案中，是中心对称图形的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：ACD对应的图形绕某一点旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，B对应的图形绕某一点旋转180°后能与原图形重合，是中心对称图形，
故答案为：B．
【分析】只需要根据中心对称图形的定义，判断各选项即可.
2．化简的结果是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】约分
【解析】【解答】解：，故答案为：A．
【分析】按照分式约分的法则来对给定分式进行化简计算即可.
3．不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】 解：∵，
∴，
∴，
∴将该解集表示在数轴上如下图所示：
故答案为：C.
【分析】先求出不等式的解集，然后将其正确表示在数轴上，最终选出对应选项.
4．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据旋转的性质可得旋转角，从而结合得到的度数.
5．如图，将沿方向平移到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接．若，则的度数是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】∵将沿方向平移到，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用平移的性质得到对应角相等以及对应线段平行，即，然后根据两直线平行，同旁内角互补，可得的度数.
6．如图，在中，，平分交于点D．若，，则的面积为（　　）．
A．16 B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵，平分交于点，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质得到，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果.
7．端午节是我国四大传统节日之一，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某超市购进咸味粽和甜味粽共盒，已知咸味粽每盒利润为元，甜味粽每盒利润为元．若购进的粽子全部销售完，所得总利润不低于元，则最多能购进咸味粽（　　）．
A．盒 B．盒 C．盒 D．盒
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设购进咸味粽盒，则甜味粽为盒，
根据题意，得，
解得：，
∴的最大正整数解为，
∴最多能购进咸味粽盒，
故答案为：A．
【分析】设购进咸味粽盒，则甜味粽为盒，根据所得总利润不低于元可列不等式，解不等式后得到的最大正整数解即可．
8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，连接．若平行四边形的周长为16，则的周长为（　　）．
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，且周长为16，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长为，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质我们可以得到，，结合已知条件，可以推出垂直平分，然后根据垂直平分线的性质可得，借此我们就可以计算得到的周长.
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．因式分解：3x3﹣12x=　 　．
【答案】3x（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3x3﹣12x
=3x（x2﹣4）
=3x（x+2）（x﹣2）
故答案是：3x（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察此多项式的特点：有公因式3x，因此先提取公因式3x，再利用平方差公式分解因式。
10．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
11．如图，在四边形中，点E，F，G分别是，，的中点，若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵点分别是，，的中点，
，
，
，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据三角形中位线定理推出，然后结合等腰三角形“等边对等角”的性质与三角形内角和定理，即可计算得出结果.
12．若分式方程有增根，则m的值为　 　．
【答案】2或
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以，得，
∵方程有增根，
∴，
当时，有，
当时，有，
解得：，
∴的值为2或，
故答案为：2或．
【分析】本题考查分式方程增根相关问题，增根是分式方程化为整式方程后，不满足原分式方程要求的根，们先将分式方程去分母，转化为整式方程，再令分式方程的最简公分母为，得到增根的所有可能取值，最后将增根分别代入转化得到的整式方程，就可以计算出对应的的值.
13．若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴该不等式组的解集是：，
∵原不等式组有且只有3个整数解，
∴这三个整数解分别是0，1，2，
∴，
故答案为：.
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再确定它们解集的公共部分得到整个不等式组的解集，最后结合题目中“不等式组有且仅有3个整数解”的限定条件，得到这三个整数解分别是0，1，2，据此就能推导出参数的取值范围.
三、解答题（共11小题，计81分，解答应写出过程）
14．解不等式组：．
【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集.
15．解分式方程：
【答案】解：原分式方程化为，去分母，方程两边同乘以得：
，
解得，，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】解分式方程，根据去分母，去括号，移项，系数化为一，求解并检验即可．
16．如图，在中，请用尺规作图法求作一点M，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图所示，点即为所求，
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先过点作，再作出线段的垂直平分线，两条线的交点即为所求的点M.
17．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先对括号内的式子进行通分，再将除法运算转化为乘法运算，约分后化为最简形式，最后进行加减计算就能得到结果.
18．如图，在四边形中，，E是上的一点，且，，求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先根据等腰三角形判定得到，然后证明，由此可以得到，最后结合线段的和差关系即可求出最终结果.
19．人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科．实验中学为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行50米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，且“领航号”比“致远号”每秒多行驶，求“致远号”的行驶速度．（列分式方程解答）
【答案】解：设“致远号”的行驶速度为每秒x m，则“领航号”的行驶速度为每秒，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合实际，
∴“致远号”的行驶速度为每秒．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设“致远号”的行驶速度为每秒，则“领航号”的行驶速度为每秒，根据当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，且“领航号”比“致远号”每秒多行驶可列出分式方程，求解该方程即可得到结果.
20．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，．
（1）画出将向右平移5格，再向下平移4格后的图形，记为；
（2）画出将绕点C顺时针旋转的图形，记为；并写出点，的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
∴，．
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，找出三角形三个顶点平移后的对应点，再将三个对应点依次连接，即可得到平移后的三角形；
（2）先根据旋转的性质，确定旋转后的对应点，顺次连接对应点即可完成旋转作图，最后直接写出和的坐标即可.
（1）解：如图：即为所求．
（2）解：如图：即为所求；，．
21．如图，在中，，延长至点E，过点E作，垂足为F，交边于点D．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，且D为边的中点，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵为的中点，
∴，
由（1）知是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴在中，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形”等边对等角“性质得到，根据垂直的定义得到，，从而可知，根据对顶角得到，进而得到，最后根据等腰三角形判定得证结论；
（2）由题意及等腰三角形的定义可知，然后利用勾股定理即可求出的长．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵D为的中点，
∴，
由（1）知是等腰三角形，
∴，
∴在中，．
22．一次函数和的图象交于点C，如图所示，且，．
（1）不等式的解集是______；
（2）若不等式的解集是．
①求点C的坐标；
②写出不等式组时x的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：①将，代入，得，
解得：，
∴一次函数，
∵的解集是，
∴点的横坐标是，
当时，有，
∴；
②∵，，
∴根据函数图象可得，不等式组时的取值范围为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：（1）不等式表示函数函数值大于4，所对应的取值范围，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
【分析】（1）根据不等式表示函数函数值大于4，所对应的取值范围，结合函数图象直接写出不等式的解集即可；
（2）①利用待定系数法求出一次函数，根据的解集是，可知点的横坐标是，进而确定点的坐标；
②根据点的横坐标，并结合函数图象即可求解．
（1）解：不等式表示函数函数值大于4，所对应x的取值范围，
所以不等式的解集是．
故答案为．
（2）解：①∵点，在一次函数的图象上，
则，解得，
∴一次函数．
∵的解集是，
∴点C的横坐标是，
当时，，
∴点C的坐标为．
②∵，，
∴根据函数图象可得：时，．
23．如图，在中，对角线，交于点O，于点E，于点F，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵于点，于点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得四边形是平行四边形，
∵，
∴，，
∵，，
∴在中，，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形以及平行线性质得到，，求出，根据平行线判定得到，然后证明，得到，最后根据平行四边形判定得证结论；
（2）根据平行四边形的性质得，，利用勾股定理求出即可求解．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵于点 E，于点 F，
∴，
∴，
在和中，，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：由（1）知，四边形是平行四边形，
∴，．
在中，，
∵四边形是平行四边形．
∴．
24．是等边三角形，点D在边上，连接．
（1）如图1，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，求证： ；
（2）如图2，延长至点F，连接，延长至点M，使，连接，若，，，求的长．（提示：过点D作）
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴（），
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，，，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形以及旋转的性质得到，，，，从而得到，进而证明；
（2）过点作于点，根据等腰三角形”等边对等角“以及三角形外角性质得到，从而得到，然后结合等边三角形性质证明（），得到，根据含30°的直角三角形的性质求出，进而利用勾股定理得到，接下来设，则，，，在中，利用勾股定理得到关于的方程，解方程即可求解.
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，．
由旋转的性质得，，
∴，
∴．
在和中，，
∴（）．
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴（），
∴．
如图，过点D作，垂足为N，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，
则，，，
在中，，
即，解得，
∴．
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