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陕西省渭南市华阴市2024-2025学年下学期期末八年级数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，2，3 B．12，13，14 C．5，8，6 D．6，8，10
2．将直线向下平移1个单位长度后得到的函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
3．若正三角形的边长为，则这个正三角形的周长是（　　）
A． B． C． D．
4．某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（　　）
A．85分 B．86分 C．87分 D．88分
5．如图每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为（　　）
A． B． C．2 D．
6．如图，在正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（　　）
A．135° B．120° C．112.5° D．67.5°
7．如图，，分别是三角形的边和的中点，点是上的一点，，，，则的长是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
8．关于直线：（），下列说法不一定正确的是（　　）
A．点在上 B．经过定点
C．当时，随的增大而增大 D．经过第一、三、四象限
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．计算的结果等于　 　．
10．已知一组数据：3，4，4，x，5，5，9的平均数是5，则这组数据的众数是　 　．
11．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，如果，那么的值可以是　 　．（写出一个即可）
12．如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置，已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为　 　．
13．如图，在菱形 中， ，，点 P 是 上一点，点 M、N 分别是 、 上任意一点，且 ，垂足为 M，连接、，则 的最小值为　 　 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．计算：
15．已知与成正比例，当时，．
（1）求出与的函数关系式；
（2）请通过计算，判断点是否在这个函数的图象上．
16．如图，在中，点E，F分别在，上，，．求证：四边形是矩形．
17．如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法以线段为对角线作菱形，便得点在射线上，点在射线上方．（保留作图痕迹，不写作法）
18．某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八（1）班、八（2）班各选取五名选手参赛．已知八（1）班比赛成绩的平均数为8，方差是，八（2）班参赛选手成绩（单位：分）依次为：5、9、7、10、9．请你计算八（2）班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定．
19．某学校组织学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．如图，这是某三角形零件的示意图，现准备沿将该零件切割成和两部分，，，，，求切割后的周长．
20．如图，在中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形．
21．如图，四边形中，，，，，．
（1）求的长度；
（2）求四边形的面积．
22．2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，人工智能的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（单位：元）与产品数量x（单位：件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如下表所示．
产品数量x/件 … 10 12 16 20 …
生产成本y/元 … 400 420 460 500 …
请你根据表中信息，解答下列问题．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若这种产品每件的售价为20元，则当生产成本为1000元时，所生产产品的总售价为多少元？
23．现有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出三块面积分别为，和的正方形木板．
（1）问三块正方形木板的边长分别是多少？
（2）求剩余木板的面积．
24．某中学为了增强学生勤俭节约的意识，随机调查了学校名学生每人一周的零花钱数额（单位：元），根据调查结果，绘制出如图所示的统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）统计的这部分学生每人一周零花钱数额的众数是___________元，中位数是___________元；
（2）求统计的这部分学生每人一周零花钱数额的平均数；
（3）根据样本数据，若全校共有1000名学生，请估计该校学生一周的零花钱共约多少元？
25．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，直线经过点和点，直线相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．【问题背景】
同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
【问题探索】
（1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为菱形；
【拓展延伸】
（2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长；
（3）如图3，改变点的位置，将沿折叠，连接，当是以为直角的三角形时，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由，得这组数不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、由，得这组数不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、由，得这组数不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、由，得这组数能构成直角三角形，故D符合题意；故答案为：D.
【分析】本题考查勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，我们只需要逐个对每个选项的三边进行验证，就能得到正确结果.
2．【答案】B
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将直线向下平移1个单位长度，
∴得到的新函数解析式为，
故答案为：B.
【分析】依据“上加下减常数项”的平移原则来求解，直线向下平移几个单位长度，直接在原函数表达式后减去对应的平移单位数即可.
3．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵正三角形的边长为，
∴这个正三角形的周长是，
故答案为：A.
【分析】正三角形的周长等于边长的3倍，已知该正三角形的边长为，我们只需要将边长乘3即可求出它的周长.
4．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵（分），
∴该选手的平均得分是86分．
故选：B．
【分析】根据加权平均数公式计算解答即可．
5．【答案】D
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：根据题意得，，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理计算出对应两点间的距离，即可得到结果.
6．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交于P，
∠DBC=∠BDC=45°，∠DBF=∠FBE=22.5°，
∠BPD=∠PBC+∠BCP=90°+22.5°=112.5°．
∠FPC=∠BPD=112.5°．
故选C
【分析】根据正方形每条对角线把正方形的直角分成两个，菱形的每条对角线平分一组对角，三角形外角等于与它不相邻的两个外角和，即可求解．
7．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，是的中点，，
∴
∵
∴
∴
又∵，分别是三角形的边和的中点，
∴
故选：C．
【分析】
先利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，再结合题目给出的条件推得，进一步计算即可得到，最后结合三角形中位线的性质就可以求出最终结果.
8．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、当时，有，则点在上，故A正确；
B、当时，有，则经过定点，故B正确；
C、当时，随的增大而增大，故C正确；
D、不能确定经过第一、三、四象限，故D错误；
故答案为：D．
【分析】将，代入直线的解析式得到对应的值可判断A，B正确，根据一次函数的性质可判断C正确，由于的正负性不确定，根据一次函数图象与性质能判断D错误.
9．【答案】
【知识点】二次根式的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】按照二次根式的乘法运算法则进行计算就能得到结果.
10．【答案】5
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据：3，4，4，，5，5，9的平均数是5，
∴，
解得：，
∴这组数据为：3，4，4，5，5，5，9，
∴数据5出现的次数最多，即这组数据的众数为5，
故答案为：5.
【分析】先利用平方数的计算方法列出方程，解方程求出数据的值，然后根据众数的定义进行求解.
11．【答案】1（答案不唯一）
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过点，且，
∴在一次函数中，随的增大而增大，
∴，
∴的值可以是1，
故答案为：1（答案不唯一）.【分析】一次函数经过点，满足，由此我们可以得到函数值随自变量增大而增大的结论，结合一次函数的性质，即可推出斜率，据此可得任意一个大于0的实数都满足要求.
12．【答案】12
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：∵，，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴红外线感应装置到洗手台面的高度的长为，
故答案为：12．
【分析】在中，利用勾股定理得到，然后根据线段和差关系求出的长度即可．
13．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，过点作，交于点，连接，，过点作于点，过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴点和关于对称，
∴，
∴，
∴当点是与的交点时，最小，最小值是的长，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为：6，
故答案为：6．
【分析】过点作，交于点，连接，，过点作于点，过点作于点，根据菱形的性质得到点和关于对称，从而得，进而可推出的最小值是的长，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进一步得出结果．
14．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用二次根式的乘法法则计算，找出同类二次根式，合并系数，即可．
15．【答案】（1）解：设，把，代入得，
解得，
∴；
（2）解：∵时，，
∴点在函数的图象上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念；正比例函数的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，设，然后把，代入求出k，即可得解；
（2）利用（1）中的解析式，计算自变量为2时，y的值，若函数值等于，则可判断．
（1）解：设，
把，代入得，
解得，
∴；
（2）解：∵时，，
∴点在函数的图象上．
16．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的对边相等且平行得AD=BC，AD∥BC，结合已知，由等式性质推出AF=EC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论．
17．【答案】解：如图，四边形即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作出线段的垂直平分线，该垂直平分线交射线于点，交于点，然后接着以点为圆心，的长度为半径画弧，弧与的垂直平分线交于另一点，最后连接，得到的四边形就是所求作的图形.
18．【答案】解：根据题意，得八（2）班比赛成绩的平均数为，
∴方差为，
∵，
∴八（1）班比赛成绩更稳定．
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【分析】先按照方差公式算出方差，然后根据“方差越小，数据的波动越小，数据也就越稳定”进行解题即可.
19．【答案】解：，，
的周长为．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】利用勾股求出，，代入即可解答．
20．【答案】证明：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；正方形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义以及三角形内角和定理求出，从而根据等腰三角形的判定得到，同理求出，然后结合角平分线的性质，得到，因此可推出，进而证明四边形是菱形，最后根据正方形的判定得证结论.
21．【答案】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）直接运用勾股定理计算即可得到结果；
（2）先通过勾股定理的逆定理推出，再利用分割法，将两个直角三角形的面积相加，即可得到四边形的面积.
（1）解：∵，，，
∴；
（2）∵，，由（1）知：，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
22．【答案】（1）解：（1）设，
把，代入中得，
解得，
与x之间的函数关系式为．
（2）解：在中，令，得，
解得．
（元），
当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题明确与是一次函数关系，
（1） 选取表格中两组数据，代入即可；
（2） 待定系数法 ，把代入（1）所求函数关系式中求出x的值即可得到答案．
（1）解：设，
把，代入中得，
解得，
与x之间的函数关系式为．
（2）解：在中，令，得，
解得．
（元），
当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元．
23．【答案】（1）解：根据题意，得，，，
∴三块正方形木板的边长从左到右依次为，，；
（2）解：根据题意，得长方形木板的长为，长方形木板的宽为，
∴剩余木板的面积为：．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据算术平方根的定义，即可求出对应正方形的边长；
（2）求解剩余木板的面积 时，用整个大长方形的面积减去三块正方形的面积，计算结果即可.
（1）解：∵，，，
∴三块正方形木板的边长从左到右依次为，，．
（2）解：根据题意，长方形木板的长为，长方形木板的宽为，
∴剩余木板的面积．
24．【答案】（1）30，30
（2）解：根据题意，得（元），
∴这部分学生每人一周零花钱数额的平均数为28元；
（3）解：由（2）知，这50人每人一周零花钱数额的平均数为28元，
∴（元），
∴估计该校学生一周的零花钱共28000元．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据统计图可以看出，每周零花钱30元的人数最多，
∴众数为30元；
根据题意，得统计的学生总人数为8+12+16+10+4=50（人），
∴中位数为第25个数和第26个数的平均数，
∵第25个数和第26个数都是30，
∴中位数为30元，
故答案为：30，30.
【分析】（1）根据众数以及中位数的定义，结合统计图数据求解即可；
（2） 根据平均数的计算公式计算即可；
（3）用样本的平均零花钱乘以全校总人数，即可估算出全校学生一周零花钱的总数.
（1）解：根据统计图可以看出，
每周零花钱30元的人数最多，故众数为30元；
由统计图可以看出共50人，为偶数，
∴中位数为第25个数和第26个数的平均数，
∵第25个数和第26个数都是30，故中位数为30元；
故答案为：30；30；
（2）解：根据统计图可以看出，共50人，
其中，零花钱10元的有8人，零花钱20元的有12人，零花钱30元的有16人，
零花钱40元的有10人，零花钱50元的有4人，
∴这部分学生每人一周零花钱数额的平均数为：
元；
（3）由（2）知，这50人每人一周零花钱数额的平均数为28元，
∴估计该校学生一周的零花钱共元．
25．【答案】（1）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
对于函数，令，得，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴设，
∴，
∴，
解得：，
当时，，即；
当时，，即；
综上所述，存在点或，使得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立两直线解析式得到方程组，解方程组得到点的坐标；
（2）首先求出，，从而得到，然后设，根据三角形面积公式列出关于的方程，解方程就能得到最终结果.
（1）解：设直线的解析式为，
∵直线经过点和点，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
∵直线相交于点
∴解方程组，得，
∴．
（2）解：存在，理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
∴．
对于函数，令，则，
∴，
∴，
∵点N在直线上，
∴设，
∴，即，
解得，
当时，，即；
当时，，即；
综上，存在点或，使得．
26．【答案】（1）证明：∵将沿折叠，点的对应点为，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，延长交于点，
∵将沿折叠，点的对应点为，，
∴，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
∴，
，
，
；
（3）解：①当点不与点重合时，延长交于点，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵由折叠有，
∴在中，，
∴；
②当与点重合时，记，的交点为，
由①可知，当时，，
∴，而，
∴，
∴当重合时，，
由折叠可得：，
综上所述，或．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质以及平行四边形的性质得到，，，，根据平行线性质得到，从而得，进而得，于是即可得到，根据菱形的判定得证结论；
（2）延长交于点，结合折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，然后根据平行四边形以及平行线的性质得到，，证明是等腰三角形，利用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到的长，最后利用勾股定理即可解答；
（3）分两种情况讨论：①当点不与点重合时，延长交于点，根据平行四边形以及平行线的性质得到，，，利用平行四边形的面积公式求出，从而利用勾股定理得到，进而得到，根据折叠的性质得到，利用勾股定理得到，最后即可求出的长，②当与点重合时，记，的交点为，由①得到当时，，再求出，得到，根据折叠性质得到的长.
1 / 1陕西省渭南市华阴市2024-2025学年下学期期末八年级数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，2，3 B．12，13，14 C．5，8，6 D．6，8，10
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由，得这组数不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、由，得这组数不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、由，得这组数不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、由，得这组数能构成直角三角形，故D符合题意；故答案为：D.
【分析】本题考查勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，我们只需要逐个对每个选项的三边进行验证，就能得到正确结果.
2．将直线向下平移1个单位长度后得到的函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将直线向下平移1个单位长度，
∴得到的新函数解析式为，
故答案为：B.
【分析】依据“上加下减常数项”的平移原则来求解，直线向下平移几个单位长度，直接在原函数表达式后减去对应的平移单位数即可.
3．若正三角形的边长为，则这个正三角形的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵正三角形的边长为，
∴这个正三角形的周长是，
故答案为：A.
【分析】正三角形的周长等于边长的3倍，已知该正三角形的边长为，我们只需要将边长乘3即可求出它的周长.
4．某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（　　）
A．85分 B．86分 C．87分 D．88分
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵（分），
∴该选手的平均得分是86分．
故选：B．
【分析】根据加权平均数公式计算解答即可．
5．如图每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：根据题意得，，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理计算出对应两点间的距离，即可得到结果.
6．如图，在正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（　　）
A．135° B．120° C．112.5° D．67.5°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交于P，
∠DBC=∠BDC=45°，∠DBF=∠FBE=22.5°，
∠BPD=∠PBC+∠BCP=90°+22.5°=112.5°．
∠FPC=∠BPD=112.5°．
故选C
【分析】根据正方形每条对角线把正方形的直角分成两个，菱形的每条对角线平分一组对角，三角形外角等于与它不相邻的两个外角和，即可求解．
7．如图，，分别是三角形的边和的中点，点是上的一点，，，，则的长是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，是的中点，，
∴
∵
∴
∴
又∵，分别是三角形的边和的中点，
∴
故选：C．
【分析】
先利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，再结合题目给出的条件推得，进一步计算即可得到，最后结合三角形中位线的性质就可以求出最终结果.
8．关于直线：（），下列说法不一定正确的是（　　）
A．点在上 B．经过定点
C．当时，随的增大而增大 D．经过第一、三、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、当时，有，则点在上，故A正确；
B、当时，有，则经过定点，故B正确；
C、当时，随的增大而增大，故C正确；
D、不能确定经过第一、三、四象限，故D错误；
故答案为：D．
【分析】将，代入直线的解析式得到对应的值可判断A，B正确，根据一次函数的性质可判断C正确，由于的正负性不确定，根据一次函数图象与性质能判断D错误.
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．计算的结果等于　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】按照二次根式的乘法运算法则进行计算就能得到结果.
10．已知一组数据：3，4，4，x，5，5，9的平均数是5，则这组数据的众数是　 　．
【答案】5
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据：3，4，4，，5，5，9的平均数是5，
∴，
解得：，
∴这组数据为：3，4，4，5，5，5，9，
∴数据5出现的次数最多，即这组数据的众数为5，
故答案为：5.
【分析】先利用平方数的计算方法列出方程，解方程求出数据的值，然后根据众数的定义进行求解.
11．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，如果，那么的值可以是　 　．（写出一个即可）
【答案】1（答案不唯一）
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过点，且，
∴在一次函数中，随的增大而增大，
∴，
∴的值可以是1，
故答案为：1（答案不唯一）.【分析】一次函数经过点，满足，由此我们可以得到函数值随自变量增大而增大的结论，结合一次函数的性质，即可推出斜率，据此可得任意一个大于0的实数都满足要求.
12．如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置，已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为　 　．
【答案】12
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：∵，，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴红外线感应装置到洗手台面的高度的长为，
故答案为：12．
【分析】在中，利用勾股定理得到，然后根据线段和差关系求出的长度即可．
13．如图，在菱形 中， ，，点 P 是 上一点，点 M、N 分别是 、 上任意一点，且 ，垂足为 M，连接、，则 的最小值为　 　 ．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，过点作，交于点，连接，，过点作于点，过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴点和关于对称，
∴，
∴，
∴当点是与的交点时，最小，最小值是的长，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为：6，
故答案为：6．
【分析】过点作，交于点，连接，，过点作于点，过点作于点，根据菱形的性质得到点和关于对称，从而得，进而可推出的最小值是的长，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进一步得出结果．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用二次根式的乘法法则计算，找出同类二次根式，合并系数，即可．
15．已知与成正比例，当时，．
（1）求出与的函数关系式；
（2）请通过计算，判断点是否在这个函数的图象上．
【答案】（1）解：设，把，代入得，
解得，
∴；
（2）解：∵时，，
∴点在函数的图象上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念；正比例函数的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，设，然后把，代入求出k，即可得解；
（2）利用（1）中的解析式，计算自变量为2时，y的值，若函数值等于，则可判断．
（1）解：设，
把，代入得，
解得，
∴；
（2）解：∵时，，
∴点在函数的图象上．
16．如图，在中，点E，F分别在，上，，．求证：四边形是矩形．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的对边相等且平行得AD=BC，AD∥BC，结合已知，由等式性质推出AF=EC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论．
17．如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法以线段为对角线作菱形，便得点在射线上，点在射线上方．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，四边形即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作出线段的垂直平分线，该垂直平分线交射线于点，交于点，然后接着以点为圆心，的长度为半径画弧，弧与的垂直平分线交于另一点，最后连接，得到的四边形就是所求作的图形.
18．某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八（1）班、八（2）班各选取五名选手参赛．已知八（1）班比赛成绩的平均数为8，方差是，八（2）班参赛选手成绩（单位：分）依次为：5、9、7、10、9．请你计算八（2）班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定．
【答案】解：根据题意，得八（2）班比赛成绩的平均数为，
∴方差为，
∵，
∴八（1）班比赛成绩更稳定．
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【分析】先按照方差公式算出方差，然后根据“方差越小，数据的波动越小，数据也就越稳定”进行解题即可.
19．某学校组织学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．如图，这是某三角形零件的示意图，现准备沿将该零件切割成和两部分，，，，，求切割后的周长．
【答案】解：，，
的周长为．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】利用勾股求出，，代入即可解答．
20．如图，在中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形．
【答案】证明：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；正方形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义以及三角形内角和定理求出，从而根据等腰三角形的判定得到，同理求出，然后结合角平分线的性质，得到，因此可推出，进而证明四边形是菱形，最后根据正方形的判定得证结论.
21．如图，四边形中，，，，，．
（1）求的长度；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）直接运用勾股定理计算即可得到结果；
（2）先通过勾股定理的逆定理推出，再利用分割法，将两个直角三角形的面积相加，即可得到四边形的面积.
（1）解：∵，，，
∴；
（2）∵，，由（1）知：，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
22．2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，人工智能的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（单位：元）与产品数量x（单位：件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如下表所示．
产品数量x/件 … 10 12 16 20 …
生产成本y/元 … 400 420 460 500 …
请你根据表中信息，解答下列问题．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若这种产品每件的售价为20元，则当生产成本为1000元时，所生产产品的总售价为多少元？
【答案】（1）解：（1）设，
把，代入中得，
解得，
与x之间的函数关系式为．
（2）解：在中，令，得，
解得．
（元），
当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题明确与是一次函数关系，
（1） 选取表格中两组数据，代入即可；
（2） 待定系数法 ，把代入（1）所求函数关系式中求出x的值即可得到答案．
（1）解：设，
把，代入中得，
解得，
与x之间的函数关系式为．
（2）解：在中，令，得，
解得．
（元），
当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元．
23．现有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出三块面积分别为，和的正方形木板．
（1）问三块正方形木板的边长分别是多少？
（2）求剩余木板的面积．
【答案】（1）解：根据题意，得，，，
∴三块正方形木板的边长从左到右依次为，，；
（2）解：根据题意，得长方形木板的长为，长方形木板的宽为，
∴剩余木板的面积为：．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据算术平方根的定义，即可求出对应正方形的边长；
（2）求解剩余木板的面积 时，用整个大长方形的面积减去三块正方形的面积，计算结果即可.
（1）解：∵，，，
∴三块正方形木板的边长从左到右依次为，，．
（2）解：根据题意，长方形木板的长为，长方形木板的宽为，
∴剩余木板的面积．
24．某中学为了增强学生勤俭节约的意识，随机调查了学校名学生每人一周的零花钱数额（单位：元），根据调查结果，绘制出如图所示的统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）统计的这部分学生每人一周零花钱数额的众数是___________元，中位数是___________元；
（2）求统计的这部分学生每人一周零花钱数额的平均数；
（3）根据样本数据，若全校共有1000名学生，请估计该校学生一周的零花钱共约多少元？
【答案】（1）30，30
（2）解：根据题意，得（元），
∴这部分学生每人一周零花钱数额的平均数为28元；
（3）解：由（2）知，这50人每人一周零花钱数额的平均数为28元，
∴（元），
∴估计该校学生一周的零花钱共28000元．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据统计图可以看出，每周零花钱30元的人数最多，
∴众数为30元；
根据题意，得统计的学生总人数为8+12+16+10+4=50（人），
∴中位数为第25个数和第26个数的平均数，
∵第25个数和第26个数都是30，
∴中位数为30元，
故答案为：30，30.
【分析】（1）根据众数以及中位数的定义，结合统计图数据求解即可；
（2） 根据平均数的计算公式计算即可；
（3）用样本的平均零花钱乘以全校总人数，即可估算出全校学生一周零花钱的总数.
（1）解：根据统计图可以看出，
每周零花钱30元的人数最多，故众数为30元；
由统计图可以看出共50人，为偶数，
∴中位数为第25个数和第26个数的平均数，
∵第25个数和第26个数都是30，故中位数为30元；
故答案为：30；30；
（2）解：根据统计图可以看出，共50人，
其中，零花钱10元的有8人，零花钱20元的有12人，零花钱30元的有16人，
零花钱40元的有10人，零花钱50元的有4人，
∴这部分学生每人一周零花钱数额的平均数为：
元；
（3）由（2）知，这50人每人一周零花钱数额的平均数为28元，
∴估计该校学生一周的零花钱共元．
25．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，直线经过点和点，直线相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
对于函数，令，得，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴设，
∴，
∴，
解得：，
当时，，即；
当时，，即；
综上所述，存在点或，使得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立两直线解析式得到方程组，解方程组得到点的坐标；
（2）首先求出，，从而得到，然后设，根据三角形面积公式列出关于的方程，解方程就能得到最终结果.
（1）解：设直线的解析式为，
∵直线经过点和点，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
∵直线相交于点
∴解方程组，得，
∴．
（2）解：存在，理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
∴．
对于函数，令，则，
∴，
∴，
∵点N在直线上，
∴设，
∴，即，
解得，
当时，，即；
当时，，即；
综上，存在点或，使得．
26．【问题背景】
同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
【问题探索】
（1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为菱形；
【拓展延伸】
（2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长；
（3）如图3，改变点的位置，将沿折叠，连接，当是以为直角的三角形时，求的长度．
【答案】（1）证明：∵将沿折叠，点的对应点为，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，延长交于点，
∵将沿折叠，点的对应点为，，
∴，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
∴，
，
，
；
（3）解：①当点不与点重合时，延长交于点，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵由折叠有，
∴在中，，
∴；
②当与点重合时，记，的交点为，
由①可知，当时，，
∴，而，
∴，
∴当重合时，，
由折叠可得：，
综上所述，或．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质以及平行四边形的性质得到，，，，根据平行线性质得到，从而得，进而得，于是即可得到，根据菱形的判定得证结论；
（2）延长交于点，结合折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，然后根据平行四边形以及平行线的性质得到，，证明是等腰三角形，利用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到的长，最后利用勾股定理即可解答；
（3）分两种情况讨论：①当点不与点重合时，延长交于点，根据平行四边形以及平行线的性质得到，，，利用平行四边形的面积公式求出，从而利用勾股定理得到，进而得到，根据折叠的性质得到，利用勾股定理得到，最后即可求出的长，②当与点重合时，记，的交点为，由①得到当时，，再求出，得到，根据折叠性质得到的长.
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