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河南南阳市豫南部分高中2025-2026学年高一下学期6月期末联考数学试题
一、单选题
1．若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C．2或1 D．0或1
2．的值为（ ）
A． B． C．0 D．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ）
A．12 B． C．24 D．
5．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A．- B．- C． D．
7．如图，四边形为正方形，平面//，记三棱锥的体积分别为，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（ ）
A．
B．的取值范围为
C．取值范围为
D．若的平分线交于，，，则
三、填空题
12．在正四棱台中，，则该棱台的表面积为____________，体积为____________．
13．古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过如图来构造无理数，，，，则________.

14．已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，__________.
四、解答题
15．已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
16．（1）求值：；
（2）已知都是锐角，，求的值.
17．在凸四边形中，．
(1)若，，，四点共圆，，，．
①求四边形的面积；
②求的值；
(2)若，，，求的值．
18．如图，是⊙O的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于的一动点.
(1)证明：是直角三角形；
(2)若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
(1)正四棱锥的表面积；
(2)若为的中点，求证：平面；
(3)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
试卷第4页，共5页
《河南南阳市豫南部分高中2025-2026学年高一下学期6月期末联考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D D C C D D BD BC
题号 11
答案 ABD
1．A
由是纯虚数，可得，解得.
2．B
.
故选：B
3．D
因为，为内角，则，
则.
4．D
由题意得，所以矩形的面积为，
由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是，故D正确.
5．C
设树的高度为，由已知，得，
在中，.
化简得，解得.
所以树的高度为m.
故选：C.
6．C
由，，
两边平方后相加得，
即,得，
所以,
故选:C.
7．D
设，，
因为平面，，
，，
连接交于点，连接，易得⊥，
又平面，平面，所以，
又，平面，则⊥平面，
又，
过点过⊥于点，易得四边形为矩形，
则，，
则，，，
显然，则，
，
则，
，，，，
，ABC错误；D正确.
故选：D
8．D
由题可知.
由，两边同时平方得，化简整理得.
因为对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立，
所以，所以.
所以，
当且仅当向量与方向相反时等号成立，所以的最小值为.
故选：D.
9．BD
，故A错；
，平方得：，
所以，故B对；
，又因为，，
由B选项知：，所以，因此，故C错；
由C得，，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，故D对，
故选：BD.
10．BC
设正方体的棱长为，
对于A，如图（1）所示，连接，则，
故（或其补角）为异面直线所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A错误.
对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确.
对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，
故，故C正确.
对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，
则，
因为，故，故，
所以或其补角为异面直线所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D错误.
故选：BC.
11．ABD
选项A：由正弦定理 ，得 ，
代入得： ，
所以，
所以，
由，得 ，故 ，
于是 ，在三角形中，解得 ，即 ，故选项A正确；
选项C：因为△ABC为锐角三角形，所以
，
解得：，故 ，故选项C错误；
选项B：
，
因为，令 ，则 ，
函数 在该区间单调递增，
，，
所以，故选项B正确；
选项D：因为，且为锐角，得：
由 ，得：，
所以，
因为 AD是的平分线，
由面积关系，得：
所以，
因为，代入得：，
两边同除以：，
由三角恒等式，得：
又因为 ，所以 ，故选项D正确.
12． / /
如图，过作，垂足为M，易知为四棱台的高，
因为，，，
所以上底面面积为，下底面面积为，
棱台的侧高为，
所以侧面积为，
所以该棱台的表面积为，
又，，
故，则，
所以所求体积为.
故答案为：，.
13．
由题意可知．
可得
，
即．
故答案为：．
14．/
设，由可得，
由可知，或，，
由图可知，，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，
．
故答案为：．
15．（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.
解：（1）∵向量．
由，
可得：，
即，
∵x∈[0，π]
∴．
（2）由
∵x∈[0，π]，
∴
∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；
当，即时．
16．（1）1；（2）.
（1）
；
（2）∵是锐角，；
∵都是锐角，，所以.
，，
.
17．(1)①；②
(2)
（1）①
因为，，，四点共圆且，
所以，则，
在中由余弦定理，又，
所以，解得（负值舍去），
所以，则，
在中由余弦定理，又，
所以，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以；
②由①在中由余弦定理，
即，则，
所以，
在中由余弦定理，
即，则，
所以，
即，所以，
所以.
（2）
设，，则，则，，
又，所以，
在中，由正弦定理可得，
即，
∴，即，
∴
，
故，
又，解得，
又由正弦定理有，
故，
所以.
18．(1)证明见解析；
(2)正弦值为
（1）是的直径，则，又垂直于所在的平面，即
平面，又平面，则，又，于是平面，又平面，则，即，故是直角三角形；
（2）由题可得平面，则与平面所成角为，即，，计算易得，则，由（1）知，是直角三角形，，设到平面的距离为，由线面角的定义，于是与平面所成角的正弦值为，三棱锥的体积：，又，根据，解得，于是与平面所成角的正弦值为
19．(1)
(2)
如图，连接交于点O，连接，则O为AC的中点，
当M为SA的中点时，，
又平面平面，
所以平面；
(3)在侧棱存在点，使得平面，
（1）在正四棱锥中，，
则正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的表面积为；
（2）略
（3）在侧棱上存在点E，使得平面，满足.
理由如下：
取的中点Q，由，得，
过Q作的平行线交于E，连接，，
中，有，又平面，平面，
所以平面，由，得.
又，又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，而平面，
所以平面.
答案第14页，共14页
答案第13页，共14页

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