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专题5 万有引力
考纲·题型解读
1.万有引力定律及其基本应用———卫星问题、宇宙速度,卫星问题是一个考查重点,常结合万有引力定律考查卫星的线速
度、角速度、周期与卫星的轨道半径的关系;发射速度与环绕速度的区别与联系常以选择题的形式考查;宇宙速度主要考查第一
宇宙速度,常结合具体情景进行考查.
2.万有引力的综合应用问题,在高考考查中常结合一些自然现象、航天技术(中国载人航天技术的成功和中国探月计划的
实验是命题的热点内容)、地理知识、数学几何关系、双星模型等,着重考查理解、推理、分析综合能力,既可采用选择题题型命
题,也可采用计算题题型命题.
[真题1] (2023·新课程标准Ⅰ)2023年6月18日,神舟
题源1 万有引力定律及基本应用 九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343km的近圆轨道
上成功进行了我国首次载人空间交会对接.对接轨道所处的空
解题模型1.1 间存在极其稀薄的空气,下面说法正确的是 ( )
万有引力定律 A.为实现对接,两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速
(1)内容 度和第二宇宙速度之间
任何两个物体都是相互吸引的,两个物体间的引力大 B.如不加干预,在运行一段时间后,天宫一号的动能可能会
小,跟它们的质量的乘积成正比,跟它们的距离的二次方 增加
成反比. C.如不加干预,天宫一号的轨道高度将缓慢降低
(2)表达式 D.航天员在天宫一号中处于失重状态,说明航天员不受地
m 球引力作用
F=G 1
m2
2 ,其中G 为万有引力常量,其值为r 6.67× [解析] 为实现对接,两者运行速度都小于第一宇宙速度,
10-11N·m2/kg2. 选项A错误.如不加干预,在运行一段时间后,天宫一号的机械
(3)适用条件 能减小,天宫一号的轨道高度将缓慢降低,重力做正功,动能可
万有引力定律公式中的r,其含义是两个质点间的距 能会增加,选项BC正确.航天员在天宫一号中处于失重状态,但
离,当两个物体相距很远时,物体可以视为质点;如果是规 是航天员仍受地球引力作用,选项D错误.
则形状的均匀物体,则应把r 理解为它们的几何中心间的 [答案] BC
距离.例如两个均匀球形物体,r就是两球心间的距离.但有 解题模型
, , “ 1.2些时候 题目中给出的不是均匀球体 这时可以采用 挖补
法”,构成均匀球体后再进行计算. 人造卫星的绕行速度、角速度、周期、向心加速度与半
(4)万有引力定律的理解 径的关系
①普遍性:任何客观存在的物体间都存在着相互作用 (1)基本方法:将天体的运动看成匀速圆周运动,所需
的吸引力,即“万有引力”. 向心力由万有引力提供.
②相互性:两物体间相互作用的引力是一对作用力和 (2)基本公式(其中r=R+h)
反作用力,它们大小相等,方向相反,作用在一条直线上, 注:R 为中心天体半径,r 为卫星的轨道半径,h 为卫
分别作用在两个物体上. 星到地面的高度
③宏观性:通常情况下,万有引力很小,只有在质量巨 2 ìmv GM 1 v= ∝
大的天体间,其存在才有宏观物理意义. r r r
④物体因为有质量而产生引力,从万有引力定律可以 2 GM 1
看出,物体间的引力由相互作用的两个物体的质量决定, GMm mrω ω= r3 ∝ r3
2 = í
所以质量是引力产生的原因.从这一点可以看出,万有引力 r 2π 2 · r
3
mr T=2π ∝ r3
不同于所学过的电荷间的引力及磁极间的引力,也不同于 (T ) GM

分子间的引力. GM 1 ma向 a向=r2 ∝r2
·56·
[ ] , , : GMm解析 在两极 引力等于重力 则有 mg0= 2
[说明] ①卫星的环绕半径r 与该轨道上的线速度 R
v、角速度ω、周期T、
2
向心加速度a 存在一一对应关系,一 gR由此可得地球质量 M=
旦r 确 定,则v、ω、T、a 皆 确 定,与 卫 星 的 质 量 m 无 关. G
, , 在赤道处,引力与支持力的合力提供向心力,由牛顿第二定②对于环绕地球运动的卫星 若半径r 增大 其周期 T 变
2
大,线速度v、角速度ω、向心加速度a 变小;若半径r 减 律, GMm 4π则有:
R2 -mg=m T2R
,
小,其周 期 T 变 小,线 速 度v、角 速 度 ω、向 心 加 速 度a
M 3πg
变大. 而密度公式ρ=V =
0 ,
GT2(g0-g)
(3)地球同步卫星的五个“一定” 故B正确,ACD错误.
同步卫星是指在赤道平面内,以和地球自转角速度相 [答案] B
同的角速度绕地球运动的卫星.同步卫星有以下几个特点:
①周期一定:同步卫星在赤道上空相对地球静止,它 解题模型1.3
绕地球的运动与地球自转同步,它的运动周期就等于地球
三种宇宙速度
自转的周期,即T=24h.
②角速度一定:同步卫星绕地球运动的角速度等于地 (1)第一宇宙速度:
GM
v1= R =7.9km
/s,是物体在
球自转的角速度. 地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的最大绕行速度,也
③轨道一定: 是在地面上发射卫星的最小发射速度.
a.因提供向心力的万有引力指向圆心,所有同步卫星 (2)第二宇宙速度:v2=11.2km/s,是在地面附近发射
的轨道必在赤道平面内.
飞行器,使其克服地球引力永远离开地球所需的最小发射
3
GMT2
b.由于所有同步卫星的周期都相同,由r= 速度.4π2 (3)第三宇宙速度:v3=16.7km/s,是在地面附近发射
知,所有同步卫星的轨道半径都相同,即同一轨道运动,其
飞行器,能 够 挣 脱 太 阳 的 束 缚 飞 到 太 阳 系 外 的 最 小 发 射
确定的高度约为3.59×104km. 速度.
④环绕速度大小一定:所有同步卫星绕地球运动的线 注意:任何行星都有对应的宇宙速度.
速度的大小是一定的,都是3.08km/s,环绕方向与地球自
转方向相同. [真题4] (2023·四川)迄今发现的二百余颗太阳系外行
⑤向心加速度大小一定:所有同步卫星由于到地心距 星大多不适宜人类居住,绕恒星“Gliese581”运行的行星“Gl-
离相同,所以,它们绕地球运动的向心加速度大小都相同, 581c”却很值得我们期待.该行星的温度在0℃到40℃之间,质
约为0.23m/s2. 量是地球的6倍,直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球
日.“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍.设该行星与地球均
[真题2] (2023·上海)小行星绕恒星运动,恒星均匀地向 视为质量分布均匀的球体,绕其中心天体做匀速圆周运动,则
四周辐射能量,质量缓慢减小,可认为小行星在绕恒星运动一周 ( )
的过程中近似做圆周运动.则经过足够长的时间后,小行星运动的 A.在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同
( ) 2
A.半径变大 B.如果人到了该行星,其体重是地球上的2 倍3
B.速率变大
“ ” 13C.角速度变大 C.该行星与 Gliese581 的距离是日地距离的 倍365
D.加速度变大 D.由于该行星公转速率比地球大,地球上的米尺如果被带
[解析] 由题可知,恒星质量缓慢减小,二者之间万有引力 上该行星,其长度一定会变短
减小,小行星运动的半径增大,速率减小,角速度减小,加速度减
[ ] GMm解析 由
小,选项A正确,BCD 错误. R2 =mg
,可得该行星表面的重力加速度与
[答案] A g' M'R2 1 8
地球表面的重力加速度之比为 = =6· ,如果
[ 2真题3] (2023·新课程标准Ⅱ)假设地球可视为质量均 g MR' 1.5
2=3
匀分布的球体,已知地球表面的重力加速度在两极的大小为 8 2人到了该行星,其体重是地球上的 =2 倍,选项B正确.在
g 3 30,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常数为G,则
地球的密度为 ( ) 该行星上发射卫星的第一宇宙速度等于贴近星体表面附近做圆
3π (g0-g) Mm周运动的卫星 的 环 绕 速 度,万 有 引 力 提 供 向 心 力,A. G 2 =mGT2 g R0
2
3π g v GM v' 6
B. 0 ,v= , = =2∶1,是地球上发射卫星的第一宇GT2 (g0-g) R R v 1.5
3π , Mm宙速度的2倍 选 项 A 错 误.由 G =mr(
2π)2, M'mC. 2 r2 GGT T r'
2 =
3 2 2
3π g 2π r' M' T' 13
D. 0 mr( )
2,可 得 3 = · 2 =0.31× 2,该 行 星 与
GT2 g T' r M T 365
·57·
3 2
“Gliese581”
13
的距离r'是日地距离r 的 0.31× 2 倍,选项365 C 若某一卫星绕地球在近地表面做圆周运动,则r=R,
错误.该行星公转速率比地球大,地球上的米尺如果被带上该行 3π此时ρ= 2,只需测定卫星的运行周期T 即可.
星,在该行星上观察,其长度不变,选项D错误. GT
[ ] 在一些天体运行方面的估算题中,常存在一些隐含条答案 B
[ ] ( · ) “ ” , 件,应加以利用.如在地球表面物体受到地球的引力近似等真题5 2023 福建 若有一颗 宜居 行星 其质量为地
, , 于其重力,地面附近的重力加速度g=9.8m/s
2;地球自转
球的p 倍 半径为地球的q倍 则该行星卫星的环绕速度是地球
卫星环绕速度的 ( )
周期T=24h,公转周期T=365天;月球绕地球运动的周
期约为27天等.
q
A. pq倍 B. 倍p [真题6] (2023·新课程标准Ⅱ)目前,在地球周围有许多
p
C. 倍 D. pq3倍 人造地球卫星绕着它运转,其中一些卫星的轨道可近似为圆,且q 轨道半径逐渐变小.若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,只受
2
[解析] GMm v 根据万有引力提供向心力 2 =m ,得v= 到地球引力和稀薄气体阻力的作用,则下列说法正确的是R R
( )
GM , v行 m行 R地 p所以 = = 故C正确,ABD错误. A.卫星的动能逐渐减小R v地 m地 R行 q
[ 由于地球引力做正功,引力势能一定减小答案] C B.
C.由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变
题源2 万有引力定律的综合应用 D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
[解析] 由于空气阻力做负功,卫星轨道半径变小,地球引力
解题模型2.1 做正功,引力势能一定减小,动能增大,机械能减小,选项A、C错误
B正确.根据动能定理,卫星动能增大,卫星克服阻力做的功小于地
1.重力和万有引力的关系
球引力做的正功,而地球引力做的正功等于引力势能的减小,所以
(1)重力是由于 地 球 的 吸 引 而
卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小,选项D正确
使物体受到的力, .但重 力 并 不 是 地
[答案]
, BD球对物体的引力 它只 是 引 力 的 一
[真题7] (2023·重庆)图为“嫦娥三号”探测器在月球上
个分力,另一个分力提 供 物 体 随 地
着陆最后阶段的示意图.首先在发动机作用下,探测器受到推力
球自转所需的向心力(如图所示).
在距月面高度为h1 处悬停(速度为0,h1 远小于月球半径);接(2)实际上因自 转 而 导 致 的 重
着推力改变,探测器开始竖直下降,到达距月面高度为h2 处的
力和万有引力的差别 是 很 小 的,我
速度为v;此后发动机关闭,探测器仅受重力下落到月面.已知探
们往往忽略这种差别(除非涉及并
测器总质量为m(不包括燃料),地球和月球的半径比为), k1
,质量
专门讨论重力与万有引力的区别
比为k2,地球表面附近的重力加速度为g.求:
此时物体所受重力就等于万有引力. (1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面
设星球质量为 M,半径为R,
时的速度大小;
GM
①在星球表面重力加速度g=R2 .
(2)从开始竖直下降到刚接触月面时,探测器机械能的变化.
GM
②在离星球表面高h 处的重力加速度gh=(R+h)2.
注意:GM=gR2 称 为“黄 金 代 换”,纯 粹 是 四 个 常 数
G、M、g、R 间的数值关系,因此在任何时候都能进行等量
代换,不过要注意g 是天体M 表面的重力加速度,R 为天
体的半径.
2.天体质量M、密度ρ的计算(以地球为例)
(1)“g、R”计算法
若已知地球 半 径 R 和 地 球 表 面 的 重 力 加 速 度g,依
Mm gR2
[ ] ()
M 3g 解析 1 设地球质量和半径分别为 M 和R
,月球的质
mg=G 2 得 ,R M= G ρ=V =4πRG. 量、半径和表面附近的重力加速度分别为 M'、R'和g',探测器刚
(2)“T、r”计算法 M'm接触月 球 表 面 时 的 速 度 大 小 为vt;由mg'=G '2 和 mg=
若已知地球的卫星(如月球)绕地球做匀速圆周运动 R
2
Mm 4π2 4π2r3 Mm k1得
的周期T 和半径r,由G r2 =m
G 2 g'= g
T2r
得M= 2 ,GT ρ= R k2
2
M 4π2r3/(GT2) 3πr3 2 2k gh
= = . 由vt -v
2=2g'h
1 2
2 得vt= v2+
V 4 GT2·R3 k2
3πR
3
(2)设机械能变化量为ΔE,动能变化量为ΔEk,重力势能变
化量为ΔEp;
·58·
由ΔE=ΔEk+ΔEp [解析] 3 由 开 普 勒 第 三 定 律,R ∶R = T2
3
∶ T21 2 1 2 =
1 2 2
有ΔE= m(2
2k
v + 1
gh2) k-m 12 k kgh
3 Mm
1 4∶1.由牛顿第二定律,G R2 =ma
,向心加速度之比a1∶a2=
2 2
1 k2 2 2 3
得ΔE= mv2- 1mg(h1 -h2) R2∶R1=1∶22.2 k2
[答案] 3 ∶1 1∶232 4 2
[答案] (
k
1)月球表面附近的重力加速度大小为 1g,探测k [真题11] (2023·江苏)已知地球的质量约为火星质量的2
10倍,地球的半径约为火星半径的2倍,2 则航天器在火星表面附
2 2k1gh器刚接触月球时的速度大小v = v 2t + k . 近绕火星做匀速圆周运动的速率约为 ( )2
(2)从开始竖直下降到接触月面时,探测器机械能的变化为 A.3.5km/s B.5.0km/s
1 k2 C.17.7km/s D.35.2km/s
mv2- 12 k mg
(h1 -h2). [解析] 航天器 在 火 星 表 面 附 近 绕 火 星 做 匀 速 圆 周 运 动2
[真题8] (2023·新课程标准)卫星电话信号需要通过地 时,由火星的万有引力提供向心力,则有:
, M m v2球同步卫星传送.如果你与同学在地面上用卫星电话通话 则从 火 航 航G R2 =m航R ①你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于(可能用 火 火
到的数据:月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105km,运行 对于近地卫得,由地球的万有引力定律提供向心力,则得:
2
周期约为27天,地球半径约为6400km,无线电信号传播速度为 M地 m近 v近G 2 =m近 ②
地
3×108m/s) ( ) R地 R
A.0.1s B.0.25s C.0.5s D.1s :v航 M火 R地 1 2 1由①②得 v = M R = 10× =[解析] 同步卫星和月球都围绕地球做圆周运动,那么由 近 地 火 1 5
r3 r3 又近地卫星的速度约为v近=7.9km/s1 2
开普勒第三定 律 得 2= 2,那 么 同 步 卫 星 的 轨 道 半 径T1 T
r1=
2 : v近 7.9可得 航天器的速率为v航= = /2.236kms≈3.5km
/s.
2
(1 3 1
5
4 ,电磁波所走的最短路程
27) r2=9r2=4.22×10 km s= [答案] A
s [真题12] (2023·全国)“嫦娥一号”是我国首次发射的
2(r1-R)=7.16×104km,最短时间t=C ≈0.24s
,B正确. 探月卫星,它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行,
[答案] B 运行周期为127分钟.已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/
[真题9] (2023·安徽)质量为m 的人造地球卫星与地心 kg2,月球的半径为1.74×103km.利用以上数据估算月球的质量
Mm 约为 ( )
的距离为r时,引力势能可表示为Ep=-G ,其中G 为引力
r A.8.1×1010kg B.7.4×1013kg
常量,M 为地球质量.该卫星原来在半径为R1 的轨道上绕地球 C.5.4×1019kg D.7.4×1022kg
做匀速圆周运动,由于受到极稀薄空气的摩擦作用,飞行一段时
[ Mm 2π解析] 由 ( )2(
间后其圆周运动的半径变为R ,此过程中因摩擦而产生的热 G (R+h)2=m T R+h
),解得月球的质
2
量为 ( ) 量 M=4π2(R+h)3/GT2,代入数据得:M=7.4×1022kg,选项
1 1 1 1
A.GMm( - ) B.GMm( - ) D
正确.
R2 R1 R1 R2 [答案] D
1
C. GMm(
1 1
- )
1
D. GMm(
1 1)
2 R2 R -1 2 R1 R2 解题模型2.2
[ ] Mm解析 卫星轨道降低,减少的引力势能,ΔEp=-G R 1.两种加速度的比较1
( Mm) (1 1 Mm- -G =GMm - ).由G 2/ ,可得卫星 物体随地球自转的向心加速度 卫星的向心加速度R2 R2 R1 R2 =mv R
1 GMm 产生 万有引力的一个分力
在半径为R1 的轨道上运动的动能Ek1=2mv
2= ,卫星在 万有引力2R1 原因 (另一个分力为重力)
1 GMm
半径为R2 的轨道上运动的动能E = 2k2 ,动能增加2mv =2R 方向 垂直指向地轴 指向地心2
GMm GMm
ΔEk= - ,由功能关系 ,联立解得:此 2· , GM其中 为地面上某点 (2R2 2R ΔEp=ΔEk+Q a=ω地 r r a=gh=
地球
1 大小 r2
1 到地轴的距离
过程中因摩擦而产生的热量为Q= GMm(
1 1
- ),所以正 附近a 近似为g)2 R2 R1
确选项为C. 变化 随物体到地心距离从赤道到两极逐渐减小
[答案] C 规律 r的增大而减小
[真题10] (2023·上海)若两颗人造地球卫星的周期之比
为T1∶T2=2∶1,则它们的轨道半径之比R1∶R2= ,
向心加速度之比a1∶a2= .
·59·
对于 同 步 卫 星 和 以 第 一 宇 宙 速 度 运 行 的 卫 星 都 有v=
2.两类运行———稳定运行和变轨运行的比较
GM v1 r2 R
(1)稳定运行 ,故 = = ,选项D正确r v .2 r1 r
卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周 综上分析知选项A、D正确.
GMm v2, GM [答案]运动的向心力.由 r2 =m
得
r v= r .
AD
[点评] (1)关键是明确三个状态及其关系:地面上的状
(2)变轨运行 态、近地状态和同步状态,实际上是在地面上的圆周运动和在空
①若卫星速 度v 突 然 变 大,万 有 引 力 充 当 向 心 力 不 中的圆周运动两个运动模型.
足,卫星做离心运动. (2)要明确向心力来源,灵活地建立F供=F需 .
②若卫星速度v 突然变小,万有引力大于卫星所需向 (3)要熟练地掌握并能描述圆周运动的各物理量之间的区
心力,卫星做近心运动. 别和联系.
③人造卫星在轨道变换时,总是主动或由于其他原因 [真题14] (2022· 江 苏)2021
使速度发生变化,导致万有引力与向心力相等的关系被破
年5月,航天飞机在完成对哈勃空间
坏,继而发生向心运动或者离心运动,发生变轨.在变轨过 望远镜的维修任务后,在A 点从圆形
程中,由于动能和势能的相互转化,可能出现万有引力与
轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ,B 为轨道Ⅱ
向心力再次相等,卫星即定位于新的轨道. 上的一点,如图所示.关于航天飞机的
[真题13] 地球同步卫星离地心的距离为r,环绕速度为 运动,下列说法中正确的有 ( )
v1,加速度大小为a1,地球赤道上的物体随地球自转的向心加速 A.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度
度大小为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R,则下列关系正 B.在轨道Ⅱ上经过 A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过 A 的
确的是 ( ) 动能
a r a 2
A. 1= B. 1= (R ) C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期a2 R a2 r
D.在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的
v
C. 1
r v1 R
v =2 R D.v =2 r 加速度
[解析] 在赤道上物体的向心加速度a ≠g,因为该物体 [解析] 航天飞机在轨道Ⅱ上运动时机械能守恒,A 点比2
不仅受万有引力,而且受地面对物体的支持力F ,F =mg 即 B 点的势能大动能小,选项 A对;航天飞机在轨道Ⅱ上过 A 点N N
Mm 后做向心运动,显然速度小于轨道Ⅰ上 A 点的速度,选项B正
F2=G 2 -mg=ma2,而对同步卫星:
Mm
R F1=G r2 =ma1
,故B
确;对于航天飞机,轨道半径越大,其周期越大,选项C对;由万
项错误.又设地球自转的角速度为ω0,对同步卫星:a 21=ω0r,对 有引力定律和牛顿第二定律知,航天飞机在两轨道的同一点 A
2 , a1 r, 加速度相同,选项 错于地球赤道上的物体a =ωR 故 = 选项A正确. D .
故正确选项为ABC.
2 0 a2 R [答案] ABC
(★代表高考出现的频次)
D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星,它们的轨道平面
A组 一定会重合
( ·福建)设太阳质量为 ,某行星绕太阳公转周期
题源1 万有引力定律及基本应用(
2. 2023 M
★★★★★) 为T,轨道可视作半径为r的圆.已知万有引力常量为G,则描述
1.(2023·北京)关于环绕地球运行的卫星,下列说法正确 该行星运动的上述物理量满足 ( )
的是 ( ) 4π2r3
A.GM=
A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星,不可能具有 T2
相同的周期 4π2r2
B.GM= 2
B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星,在轨道不同位置可能具有 T
2 2
相同的速率 4πrC.GM= 3
C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星,它们的轨道半径 T
3
有可能不同 4πrD.GM= T2
·60·
3.(2023·四川)2023年4月30日,西昌卫星发射中心发射 均做匀速圆周运动,则“55Cancrie”与地球的 ( )
的中圆轨道卫星,其轨道半径为2.8×107 m.它与另一颗同质量 3 60
的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107m)相比 ( ) A.
轨道半径之比约为
480
A.向心力较小 3 60
B.轨道半径之比约为B.动能较大 4802
C.发射速度都是第一宇宙速度 3C.向心加速度之比约为 60×4802
D.角速度较小 D.向心加速度之比约为 360×480
4.(2023·安徽)我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对
11.(2023·广东)如图,甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径
接前,“天宫一号”的运行轨道高度为350km,“神舟八号”的运行
分别绕质量为 M 和2M 的行星做匀速圆周运动,下列说法正确
轨道高度为343km.它们的运行轨道均视为圆周,则 ( )
的是 ( )
A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大
B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长
C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大
D.“天宫一号”比“神舟八号”加速度大
5.(2023·新课程标准)伽利略根据小球在斜面上运动的实
验和理想实验,提出了惯性的概念,从而奠定了牛顿力学的基 A.甲的向心加速度比乙小
础.早期物理学家关于惯性有下列说法,其中正确的是 ( ) B.甲的运行周期比乙小
A.物体抵抗运动状态变化的性质是惯性 C.甲的角速度比乙大
B.没有力的作用,物体只能处于静止状态 D.甲的线速度比乙大
C.行星在圆周轨道上保持匀速率运动的性质是惯性 12.(2023·山东)双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互
D.运动物体如果没有受到力的作用,将继续以同一速度沿 引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速
同一直线运动 圆周运动.研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离
6.(2022·重庆)月球与地球质量之比约为1∶80,有研究者 和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周
认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统,它们都 期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k 倍,两
围绕月地连线上某点O 做匀速圆周运动.据此观点,可知月球与 星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为
地球绕O 点运动的线速度大小之比约为 ( ) ( )
A.1∶6400 B.1∶80 n3 n3
C.80∶1 D.6400∶1 A. k2T B. kT
7.(2022·全国Ⅱ)已知地球同步卫星离地面的高度约为地 n2 n
球半径的6倍.若某行星的平均密度为地球平均密度的一半,它 C. kT D. kT
的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍,则该行星的自转
周期约为 ( ) 题源2 万有引力定律的综合应用(★★★★★)
A.6小时 B.12小时 1.(2021·广东)宇宙飞船在半径为R1 的轨道上运行,变轨
C.24小时 D.36小时 后的半径为R2,R1>R2.宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动,则变
8.(2022·福建)火星探测项目是我国继神舟载人航天工 轨后宇宙飞船的 ( )
程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目.假设火星探测
A.线速度变小
器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T1,神舟飞船在地球
表面附近的圆形轨道运行周期为T ,火星质量与地球质量之比 B.
角速度变小
2
为p,火星半径与地球半径之比为q,则T1 与T2 之比为( ) C.周期变大
1 D.
向心加速度变大
A. pq3 B. pq3 2.(2020·北京)据媒体报道,“嫦娥一号”卫星环月工作轨
p q3 道为圆轨道,轨道高度200km,运行周期127分钟.若还知道引
C. 3 D.q p 力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是 ( )
9.(2022·天津)探测器绕月球做匀速圆周运动,变轨后在 A.月球表面的重力加速度
周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动,则变轨后与变轨前相比 B.月球对卫星的吸引力
( ) C.卫星绕月运行的速度
A.轨道半径变小 B.向心加速度变小 D.卫星绕月运行的加速度
C.线速度变小 D.角速度变小
3.(2023·江苏)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运
10.(2023·四川)据报道,天文学家近日发现了一颗距地球
行,根据开普勒行星运动定律可知 ( )
40光年的“超级地球”,名为“55Cancrie”.该行星绕母星(中心天
A.太阳位于木星运行轨道的中心1
体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的 ,母星的体积约
480 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
为太阳的60倍.假设母星与太阳密度相同,“55Cancrie”与地球 C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之
·61·
比的立方 R31 R2
D.相同时间内,
A. B.
火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太 R32 R1
阳连线扫过的面积 R2
C. 2
R
R2 D.
2
4.(2020·广东)由于地球的自转,使得静止在地面的物体 1 R1
绕地轴做匀速圆周运动.对于这些做匀速圆周运动的物体,以下 2.(2022·浙江)宇宙飞船以周期为 T 绕地球做圆周运动
说法正确的是 ( ) 时,由于地球遮挡阳光,会经历“日全食”过程,如图所示.已知地
A.向心力都指向地心 球的半径为R,地球质量为 M,引力常量为G,地球自转周期为
B.速度等于第一宇宙速度 T0,太阳可看作平行光.宇航员在A 点测出地球的张角为α,则
C.加速度等于重力加速度 ( )
D.周期与地球自转的周期相等
5.(2023·浙江)如图所示,在火星与木星轨道之间有一小
行星带.假设该带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀
速圆周运动.下列说法正确的是 ( )
2πR
A.飞船绕地球运动的线速度为Tsin(α/2)
A.太阳对各小行星的引力相同 B.一天内,飞船经历“日全食”的次数为T/T0
B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C.飞船每次“日全食”过程的时间为αT0/(2π)
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的
2πR R
向心加速度值 D.飞船的周期为T=sin(α/2) GMsin(α/2)
D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转 3.(2021·广东)发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入
的线速度值 预定轨道.发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方,如图.这样
6.(2022·海南)火星直径约为地球的一半,质量约为地球 选址的优点是,在赤道附近 ( )
的十分之一,它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5
倍.根据以上数据,以下说法正确的是 ( )
A.火星表面重力加速度的数值比地球表面的小
B.火星公转的周期比地球的长
C.火星公转的线速度比地球的大
D.火星公转的向心加速度比地球的大
7.(2023·天津)一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动, A.地球的引力较大
, 1 地球自转线速度较大假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动 动能减小为原来的 ,不 B.
4 C.重力加速度较大
考虑卫星质量的变化,则变轨前后卫星的 ( ) D.地球自转角速度较大
A.向心加速大小之比为4∶1 4.(2022·新课程标准)太阳系中的8大行星的轨道均可以
B.角速度大小之比为2∶1 近似看成圆轨道.下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的
C.周期之比为1∶8 某一规 律 的 图 象.图 中 坐 标 系 的 横 轴 是lg(T/T0),纵 轴 是
D.轨道半径之比为1∶2 lg(R/R0);这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的
组 圆轨道半径,B T0 和R0 分别是水星绕太阳运行的周期和相应的
圆轨道半径.下列4幅图中正确的是 ( )
题源1 万有引力定律及基本应用(★★★★★)
1.(2023·山东)2023年11月3日,“神舟八号”飞船与“天
宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接.任务完成后“天
宫一号”经变轨升到更高的轨道,等待与“神舟九号”交会对接.
变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道,
v
对应的轨道半径分别为R 11、R2,线速度大小分别为v1、v2.则v2
等于 ( )
·62·
8.(2023·广东)已知地球质量为 M,半径为R,自转周期为
T,地球同步卫星质量为m,引力常量为G,有关同步卫星,下列
表述正确的是 ( )
3
GMT2
A.卫星距地面的高度为 4π2
B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度
Mm
C.卫星运行时受到的向心力大小为G
5.(
2
2022·山东)1970年4月24日,我国自行设计、制造的 R
第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功,开创了我国航天 D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
事业的新纪元.“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道,其近地点 9.(2022·四川)a是地球赤道上一幢建筑,b是在赤道平面
6
M 和远地点N 的高度分别为439km和2384km,则 ( ) 内做匀速圆周运动、距地面9.6×10 m的卫星,c是地球同步卫
星,某一时刻b、c刚好位于a 的正上方(如图甲所示),经48h,
a、b、c的大致位置是图乙中的(取地球半径R=6.4×106 m,地
球表面重力加速度g=10m/s2,π= 10) ( )
A.卫星在 M 点的势能大于N 点的势能
B.卫星在 M 点的角速度大于N 点的角速度
A B C D
C.卫星在 M 点的加速度大于N 点的加速度 甲 乙
D.卫星在 N 点的速度大于7.9km/s 10.如图所示,A 为静止于地球赤道上的
6.(2023·重庆)某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为 物体,B 为绕地球的椭圆轨道运行的卫星,C
圆.每过 N 年,该行星会运行到日地连线的延长线上,如图所示. 为绕地球做圆周运动的卫星,P 为B、C 两卫星
该行星与地球的公转半径比为 ( ) 轨道的交点.已知A、B、C 绕地心运动的周期
相同.相对于地心,下列说法中不正确的是
( )
A.物体A 和卫星C 具有相同大小的加速度
B.卫星C 的运行速度大于物体A 的速度
C.可能出现:在每天的某一时刻卫星B 在A 的正上方
D.卫星B 在P 点的运行加速度大小与卫星C 的运行加速
(N+1 2 NA. )3 B.( )
2 度大小相等
3
N N-1 11.关于人造地球卫星,下列说法错误的是 ( )
C.(
N+1)3 N 32 D.( )2 A.发射卫星时,运载火箭飞行的最大速度必须达到或超过N N-1
第一宇宙速度,发射才有可能成功
7.(2023·浙江)为了探测X 星球,载着登陆舱的探测飞船
B.卫星绕地球做圆周运动时,其线速度一定不会小于第一
在以该星球中心为圆心,半径为r1 的圆轨道上运动,周期为
宇宙速度
T1,总质量为m1.随后登陆舱脱离飞船,变轨到离星球更近的半
C.卫星绕地球做圆周运动的周期只要等于24小时,这个卫
径为r2的圆轨道上运动,此时登陆舱的质量为m2,则 ( ) 星一定相对于地面“定点”
4π2r3
A.X 星球的质量为M= 1 发射一个地球同步卫星,可以使其“定点”于西安市的正GT2 D.1
上方
4π2r
B.X 星球表面的重力加速度为 1gx= T2 12.在圆轨道上运动的质量为 m 的人造地球卫星,它到地1
v 面的距离等于地球半径R,地面上的重力加速度为g,则下列说
C.登陆舱在r1 与r2 轨道上运动时的速度大小之比为
1
v2 法正确的是 ( )
m1r2 A.卫星运动的速度为 2Rg= m2r1 2R
D.登陆舱在半径为r 轨道上做圆周运动的周期为 T B.卫星运动的周期为4π2 2 g
r3 g
=T 2 C.卫星运动的加速度为1 r3 21
mgR
D.卫星的动能为 4
·63·
13.太阳系八大行星绕太阳运动的轨道可粗略地认为是圆,
题源2 万有引力定律的综合应用(、 : ★★★★★)各行星的半径 日星距离和质量如下表所示
(
行星名称 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 1.2022·安徽)为了对火星及其周围的空间环境进行探
测,我国于2023年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”.假
星球半径
2.44 6.05 6.38 3.4071.4960.2725.56 24.75 设探测器在离火星表面高度分别为h1 和h2 的圆轨道上运动
/×106m 时,周期分别为T1 和T2.火星可视为质量分布均匀的球体,且
日星距离 忽略火星的自转影响,万有引力常量为G.仅利用以上数据,可以
0.58 1.08 1.50 2.28 7.7814.2928.71 45.04
/×1011m 计算出 ( )
A.火星的密度和火星表面的重力加速度
星球质量
0.33 4.87 6.00 0.641900 569 86.8 102 B.火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
/×1024kg C.火星的半径和“萤火一号”的质量
由表中所列数据可以估算海王星公转的周期最接近于 D.火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
( ) 2.(2021·四川)据报道,2021年4月29日,美国亚利桑那
A.1050年 B.165年 州一天文观测机构发现一颗与太阳系其他行星逆向运行的小行
C.35年 D.15年 星,代号为2021HC82.该小行星绕太阳一周的时间为3.39年,直
14.在离地面h=1280km的高空,一空间工作站绕地球做 径2~3千米,其轨道平面与地球轨道平面呈155°的倾斜.假定该
匀速圆周运动.若地球半径为R=6400km,地面重力加速度g 小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动,则小行星和地
取10m/s2,那么空间工作站一昼夜绕地球约多少周 球绕太阳运动的速度大小的比值为 ( )
1 1
A.3.39-3 B.3.39-2
3 2
C.3.392 D.3.393
3.(2021·海南)近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运
动的周期分别为T1 和T2.设在卫星1、卫星2各自所在的高度
上的重力加速度大小分别为g1、g2,则 ( )
g 4/3
A. 1= T1
g2 (T )2
g 4/3
B. 1=
g2 (T2T )1
g
C. 1= (T
2
1
g2 T )2
15.已知火星的半径是地球的半径的一半,火星的质量是地 g 2D. 1= (T2 )
球的质量的1/10,如果在地球上质量为60kg的人到火星上 g2 T1
, : 4.(2021·江苏)英国《新科学家(NewScientist)》杂志评选去 问
()在火星表面上人的质量多大 重力多少 出了2020年度世界8项科学之最,在XTEJ1650-500双星系统1
(2)
,
火星表面的重力加速度多大 中发现的最小黑洞位列其中.若某黑洞的半径R 约45km 质量
2
(3)设此人在地面上能跳起的高度为1.6m,则他在火星上 M cM 和半径R 的关系满足 = (其中c 为光速,G 为引力常R 2G
能跳多高 (设上跳速度相同)
量),则该黑洞表面重力加速度的数量级为 ( )
(4)这个人在地面上能举起质量为60kg的物体,则他在火
A.108m/s2 B.1010m/s2
星可举多重的物体 (地球表面g地 取9.8m/s2)
C.1012m/s2 D.1014m/s2
5.(2023·新课程标准)假设地球是一半径为R、质量分布
均匀的球体,一矿井深度为d,已知质量分布均匀的球壳对壳内
物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为
( )
d d
A.1-R B.1+R
2 2
C.(R-dR ) D.( RR-d )
6.(2023·福建)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运
动,其线速度大小为v,假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力
计测量一质量为m 的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数
·64·
为 N,已知引力常量为G,则这颗行星的质量为 ( ) B.B、C 的向心加速度大小相等,且小于A 的向心加速度
mv2 mv4 C.C 加速可追上同一轨道上的B,B 减速可等候同一轨道
A.GN B.GN 上的C
Nv2 Nv4
C. D. D.A 卫星由于某原因,轨道半径缓慢减小,其线速度将Gm Gm
增大
7.(2022·北京)一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表 12.“神舟七号”绕地球做匀速圆周运动的过程中,下列事件
面的赤道上.已知引力常量为G,若由于天体自转使物体对天体
不可能发生的是 ( )
表面压力恰好为零,则天体自转周期为 ( )
A.航天员在轨道舱内能利用弹簧拉力器进行体能锻炼
1 1
(4π ) 2 2A. B.( 3 ) B.悬浮在轨道舱内的水呈现圆球状3Gρ 4πGρ C.航天员出舱后,手中举起的五星红旗迎风飘扬
1 1
(π ) 2 (3π) 2C. D. D.从飞船舱外自由释放的伴飞小卫星与飞船的线速度相等Gρ Gρ 13.“嫦娥一号”的成功发射,为实现中华民族几千年的奔月
8.卫星电话在抢险救灾中能发挥重要作用.第一代、第二代 梦想迈出了重要的一步.已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似圆
海事卫星只使用静止轨道卫星,不能覆盖地球上的高纬度地区. 周,距月球表面高度为 H,飞行周期为 T,月球的半径为 R.
而第三代海事卫星采用同步和中轨道卫星结合的方案,解决了
试求:
覆盖全球的问题.它由4颗同步卫星与12颗中轨道卫星构成.中 (1)月球的质量 M;
轨道卫星高度约为地球半径的2倍,分布在几个轨道平面上(与 (2)如果在月球表面做平抛运动实验,物体抛出时离地面高
赤道平面有一定的夹角).地球表面处的重力加速度为g,则中轨 度为h(h 远小于R),水平位移为L,则物体抛出时初速度是
道卫星处的重力加速度约为 ( ) 多少
A.g/4 B.g/9
C.4g D.9g
9.(2023·全国)我国“嫦娥一号”探月卫星发射后,先在“24
小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时);然后,经
过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”;最后奔向
月球.如果按圆形轨道计算,并忽略卫星质量的变化,则在每次
变轨完成后与变轨前相比 ( )
A.卫星动能增大,引力势能减小
B.卫星动能增大,引力势能增大
C.卫星动能减小,引力势能减小
D.卫星动能减小,引力势能增大
10.已知地球的质量是月球质量的81倍,地球半径大约是
月球半径的4倍,不考虑地球、月球自转的影响,以上数据可推
算出 ( )
A.地球表面的重力加速度与月球表面重力加速度之比为
9∶16
B.地球的平均密度与月球的平均密度之比为9∶8
C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球
表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8∶9
D.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的线速度与靠近月
球表面沿圆轨道运行的航天器的线速度之比约为81∶4
11.如图所示,A、B、C 是在地球大气层外圆形轨道上运动
的3颗卫星,下列说法正确的是 ( )
A.B、C 的线速度大小相等,且小于A 的线速度
·65·
14.一星球的半径为R,万有引力常量为G,为了测定该星 15.(2022·全国Ⅰ)如图,质量分别为 m 和M 的两个星球
球的自转角速度,某人在该星球表面做了以下实验:(1)在该星 A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动,星球A 和B 两
球的两极(相当于地球的南极或北极),以初速度v0(相对地面) 者中心之间的距离为L.已知A、B 的中心和O 三点始终共线,A
从h高处将一小飞镖水平抛出,飞镖触地时与水平地面成α角; 和B 分别在O 的两侧.引力常数为G.
(2)在该星球的赤道上(相当于地球的赤道),同样以初速度v0 (1)求两星球做圆周运动的周期;
(相对地面)从h高处将一小飞镖抛出,飞镖触地时与水平地面 (2)在地月系统中,若忽略其他星球的影响,可以将月球和
成β角.如果飞镖在运动的过程中只受该星球的万有引力,求该 地球看成上述星球A 和B,月球绕其轨道中心运行的周期记为
星球的自转角速度是多少. T1.但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动
的,这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为
5.98×1024kg和7.35×1022kg.求T2 与T1 两者平方之比.(结果
保留3位小数)
·66·此时电梯做匀速运动,拉力F 等于重力mg,所 10.【解析】 (1)设抛出点高度为y,根据机械能
求功率 守恒
P=Fvm=mg·vm=2.0×103×10×10W=2.0 1 1mv2= mv20 +mgy
×105 W 2 2
2
由动能定理,总功 平抛初速度 v= v0-2gy
1 1 1 2y
W=Ek2-Ek1= mv22 m-0=2×2.0×10
3× 落地时间t满足 y= 22gt ∴t= g
102J=1.0×105J 落地点离抛出点水平距离
9.【解析】 (1)质量为m 的鱼饵到达管口C 时 2 2ys=vt= v0-2gy
做圆周运动的向心力完全由重力提供,则 g
v2 分别以y=2h,y=h 代入得
mg=m
1
R ①
2 4h 2hsC= v0-4gh sD= v20-2gh
由①式解得v1= gR ② g g
() , (2)按题意 ,有 (
2 2
2 弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能 sC)由机械能守恒定律有 ∴v
2
0<6gh
1 考虑到滑块必须要能够到达抛出点C
,
E =mg(1.5R+R)+ mv2p 2 1 ③ 即v2C=v20-4gh>0
由②③式得Ep=3mgR ④ ∴v20>4gh
(3)不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影 因此为保证sC响,质量为m 的鱼饵离开管口C 后做平抛运动,设经 < 6gh
过t时间落到水面上,离OO'的水平距离为x1,由平
专题 万有引力
抛运动规律有 5
1
4.5R=2gt
2 ⑤ 十年高考母题原型训练
x1=v1t+R ⑥ A组
由⑤⑥式解得x1=4R ⑦
2 题源, 1 万有引力定律及基本应用当鱼饵的质量为 m 时 设其到达管口C 时速3
1.B 【解析】 沿圆轨道和椭圆轨道运行的两
度大小为v2,由机械能守恒定律有
颗卫星,可能具有相同的周期,A错;所有的地球同步
2 ( 1 2Ep=3mg1.5R+R
)+ ( m)v22 3 2 ⑧ 卫星轨道半径都相同,C错;沿不同轨道经过北京上
空的两颗卫星轨道平面不一定会重合,D错.
由④⑧式解得v2=2 gR ⑨
Mm 2π
2 2.A 【解析】 由G =mr( )2,可得描述
质量为 m 的鱼饵落到水面上时,设离OO'的 r2 T3
4π2r3
水平距离为x2,则 该行星运动的上述物理量满足GM= 2 ,选项T A
x2=v2t+R ⑩ 正确.
由⑤⑨⑩式解得x2=7R 2
3.B 【解析】
Mm v
由 G =m =mω2R=
鱼饵能够落到水平的最大面积S R2 R
1 2
S= (πx2 2
33 4π
4 2-πx1
)=4πR
2(或8.25πR2) m 2R=ma 知,半径越小线速度、角速度、向心加速T
·26·
度都大,所以AD错,B正确;第一宇宙速度是最小发 本方法是:把天体的运动看成圆周运动,其做圆周运
射速度,所以卫星发射时应速度大于7.9km/s,但不 Mm v2动的向心力由万有引力提供.G r2 =m =mrω
2=
一定是第一宇宙速度,所以C错误. r
2
Mm v2 mr(2π) =m(2πf)2r=ma,当周期T 变小,轨道半4.B 【解析】 由 G R2 =m R =mω2R= T
径变小,A正确;向心加速度变大,B错误;线速度和
4π2
m T2R=ma
,可知半径越大,v,ω,a 都小,而 T 大, 角速度都变大,CD错误.
所以B正确,ACD错误. M10.B 【解析】 由密度公式得ρ= ,由天体V
5.AD 【解析】 没有力的作用,物体可以做匀
Mm 2
速直线运动,所以B错,行星在圆周轨道上,保持匀速 运动规律 得 G R2 =m (2πT ) R=ma,联 立 方 程 得
率是由于万有引力的结果,C错. GρV 4π2 3 2 3,ρV , R55 T55 V R 60即
R3 =T2 GR2=a R3=T2×
55, 55= ,
6.C 【解析】
3 2
设地球与月球之间的距离为R, V R 480
地球到O 点的距离为r,月球质量为 m,则地球质量 a R2
3 4
选项A错误,B正确;55
V
= × 55,
a55 480
2 =
为80m,地球绕O 点运动的角速度为ω,由万有引力 a R55 V a 60
2
3
及圆周运动知识有: ×60= 480
4×60,选项CD错误.
80m·m 11.A 【解析】 由 万 有 引 力 提 供 向 心 力 得:
G 2R2 =mω
(R-r) ① Mm GM
G r2 =ma
,解得a= ,甲的向心加速度比乙的
80m·m r
2
G R2 =80mω
2r ②
, Mm v
2 GM
小 选项A正确.由G 2 =m 解得:v= ,
由①②可知,R=81r,即 月 球 到 O 点 的 距 离 为 r r r
, , v月 r月 80r 80
Mm
, 甲的线速度比乙小,选项 错误 由
2 解
80r 又v=ωr 所以有 = = = 所以正确 D . G r2 =mωrv地 r地 r 1
选项为C. 得: GMω= 3 ,甲 的 角 速 度 比 乙 小,选 项C错 误r .
由
7.B 【解析】 设地球的密度为ρ,半径为R0,
Mm 4π2 r3
地球自转周期为T0,卫星的质量为m,由万有引力定 G r2 =m T2r
解得:T=2π ,甲的运行周期GM
ρ·
4
πR30·m 比乙的大,选项B错误2 .3 4π
律有:G (7R )2 =m
·
T2
·7R0,同理对某行 12.B 【解析】 设两恒星中一个恒星的质量为
0 0
1 4 m,围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动的半径为· 3·
: 2
ρ 3πR m 2·4π · , r,两 星 总 质 量 为 M,两 星 之 间 的 距 离 为 ,由星可求得 G (3.5R)2 =m T2 3.5R
联 R
m(M-m) 4π2 ( )
G 2 =m 2r,
m M-m
G 2 =(1 M-m
)(R
立可求得T= T R T R0,即约12小时2 . 2 3
8.D 【解析】 由万有引力提供向心力有 -r)
4π
2,
R
联立解得:T=2π .经过一段时间演T GM
M火 m (2π
2
) 化后,两星总质量变为原来的k 倍,两星之间的距离G r2 =mr火火 T1 变为原来的n 倍,则 此 时 圆 周 运 动 的 周 期 为 T'=
M地 m 2
G r2 =mr地 (2π) (nR)3 3地 T n2 2π ( )= T.选项B正确G kM k .
T1 M 3 3地 ·r火 q联立解得
T = 3 =2 M火 r地 p 题源2 万有引力定律的综合应用
故正确选项为D. Mm v2
9.A 【 】 1.D
【解析】 根 据 公 式解析 G =m =用万有引力处理天体问题的基 R2 R
·27·
2π 22 ( ) GM , GM 4mωR=m R 解得v= ω= ,T= = ,故A项正确;研究火星绕太阳的公转,根据万T R R3 10
GM'M v2 4π2R3
2π ,可见当R 变小之后,线速度v 变大,角速 有引力定律: ,其中r2 =Ma=M r=M T2r M'GM
度ω 变大,周期T 变小,所以A、B、C错误,向心加速 为太阳的质量,r 为火星或地球绕太阳运转的半径,
GM GM' GM' r3
度a= 2 .当R 变小时a 变大,所以D正确R .
得:
r2 =a
,
r =v
,T=2π ,根据火星GM'
2.B 【解析】 设月球半径为R,则: 和地球公转半径的关系可得,火星绕太阳公转的周期
M月m (2π)2( ) 比地球长,线速度比地球小,向心加速度比地球小,G (R+h)2=m T R+h ①
B
项正确,C、D项错误.
M月m
G 1R2 =mg月 ② 7.C 【解析】 动能变为原来的 ,线速度将变4
M月m
G 2(R h)2=ma卫 ③ 1 Mm v GM+ 为原来的2.
因为G 2 =m ,所以r= 2 ,轨道r r v
M m v2月
G (R+h)2=m (R+h) ④
半 径 和 速 度 的 平 方 成 反 比,所 以 轨 道 半 径 之 比 为
由①②③④可知,A、C、D均可求出,因不知卫星 1∶4,
Mm
选项 D错 误;因 为 G r2 =mω
2r,所 以 ω=
质量,不能求出月球对卫星的吸引力,B正确.
3.C 【解析】 根据开普勒第一定律,太阳位于 GM3 ,所以角速度大小之比为r 8∶1
,选项B错误;
木星运行椭圆轨道的一个焦点上,选项 A错误.由于
Mm GM
火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,所以火星 因为G r2 =ma
,所以a= 2 ,所以向心加速度之r
和木星绕太阳运行速度的大小变化,选项B错误.根 Mm 2π
比为 ,选项 错误;因为 ( )2 ,所
据开普勒行星第三定律可知,火星与木星公转周期之 16∶1 A G r2 =m T r
比的平方等于它们轨道半长 轴 之 比 的 立 方,选 项C 4πr3
以 ,所以周期之比为 ,选项 正确
正确.根据开普勒行星第二定律可知,相同时间内,火 T= GM 1∶8 C .
星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫
组
过的面积, B选项D错误.
4.D 【解析】 在地面上随地球自转而做匀速
题源1 万有引力定律及基本应用
圆周运动的物体,其周期一定等于地球自转的周期,
D项正确.只 有 赤 道 上 的 物 体 所 受 的 向 心 力 指 向 地 【 】 Mm v
2
1.B 解析 由 G 2 =m 可 知R v=
心,其他纬度上的物体所受的向心力均不指向地心, R
A项错误.地面上物体随地球自转的速度远小于第一 GM
GM v1 R1 R2
宇宙速度,加速度也远小于重力加速度,B、C均不对. ,所以 , 正确R v = = B .2 GM R1
【 】 Mm v
2
5.C 解析 由 G R2 =m R =mω
2R= R2
2.AD 【解析】 从图中可以看出,飞船做圆周
4π2
m 2R=ma,可知R 越大,v、ω、a 越小,r T
越大,所 R
运动的半径r= .飞船绕地球运转的线速度α v=
以C正确. sin2
6.AB 【解析】 火星表面的重力加速度g= 2πr 2πR ,
g M R2 项正确
;一天内飞船经历日全食的次
GM, , 火 火 · 地 1·2
2 = A
2 R 为星球的半径 则
T α
R = =g地 M地 R2 Tsin火 10 1 2
·28·
T0 N 点的速度一定小于7.9km/s,选项, ; D
错误.
数即飞船绕地球运转的圈数n= 选项B错误 飞船T 6.B 【解析】 根据匀速圆周运动的特点可知,
在图中CD、EF 之间的区域内发生日全食,由几何关系 两天体围绕太阳做匀速圆周运动时,每经过 年,该
知,图中弧D︵
N
F所对的圆心角θ=α,所以发生“日全食”的 行星运动到日地连线的延长线上,即二者运动的时间
θ α Mm 4π2
时间为t=2πT=2πT
,C项错误;根据G 2π 2πr2 =m T2r 相等,则 N- N=2π,地球绕太阳的公转周期T T' T
2πR R 3
得飞船的周期T= (/),D项正确α GMsinα2 .
本 N R=1年,则 T'= ,由开普勒第三定律,得N-1 R'3=sin2
3 3
T2 R' T'2 N2题正确答案AD. , ,选项 正确
T'2 R = T2 = (N-1)2 B .
7.AD 【解析】 飞船在半径为r1 的轨道上运
, Mm
2
G 1转时 由 r2 =m (2π1 ,得星球的质量1 T ) r1 M=1
4π2r3 21, , 4πr
GT2
选项 A 1正确 gx= 2 是半径为r1 轨道上
1 T1
的重力加速度,而不是星球表面的重力加速度,故B
3.B 【解析】 发射场一般选在赤道附近的原 ; Mm v
2
2, GM , v1项错误 由 G 得 则
因是此处线速度较大,卫星可借助此速度,减小发射 r
2 =mr v2= =2 2 r v2
需要的能量. r2 ,与飞船质量无关,C项错误;由开普勒第三定
4.B 【解析】 本题考查天体运动的周期与轨 r1
T2 T2 T2 r3Mm 1 2
道半 径 的 关 系.行 星 绕 太 阳 运 动 时,有 G = 律 3=C(常数),知r r3= 3
,得
r T2=T
2
1 3 ,D项R2 1 2 r1
2π 2 R3 3 2 正确m ( ) .R,即T2=4π2 ,T2 R TT GM 0=4π2 0 ,所以GM T20 8.BD 【解析】 根 据 万 有 引 力 提 供 向 心 力,
R3 T R 2
= 3,利用数学对数知识可知2lg =3lg ,故正 Mm 4πR0 T G0 R0 (H+R)2=m
(
T2 H+R
),卫星距地面的高度为
确选项应为B. 3GMT2 , ; Mm
5.BC 【解析】 本题考查航天运动、 错 根 据机械能守 H = 4π2 -R A G (H+R)2 =m
恒定律、圆周运动、牛顿第二定律、万有引力定律等知 v2 , GM可得卫星 的 运 行 速 度v= ,而 第 一
识点,意在考查考生理解和综合运用知识的能力.东 H+R H+R
方红卫星在轨道运行过程中,机械能保持不变.由于 GM
宇宙速度为 ,故B对;卫星运行时受到的向心
M 点离地面高度小于N 点,所以卫星在 M 点的势能 R
小于在N 点的势能,选项 A错误;卫星在 M 点的速 Mm , ; Mm力大小为Fn=G ( )2 C错 根据G ( )2
度大于在N 点的速度,由角速度公式ω=v/R 可知 H+R H+R
,
卫星在M 点的角速度大于在N 点的角速度,选项B =man 可 得 卫 星 运 行 的 向 心 加 速 度 为 an =G
正确;由于 M 点离地面高度小于N 点,所以卫星在 M , GM( )2 而 地 球 表 面 的 重 力 加 速 度 为H+R g=R2
,
M 点所受万有引力大于在N 点所受的万有引力,由
D对.
牛顿第二定律可知,卫星在 M 点的加速度大于在N
Mm
点的加速度,选项C正确;7.9km/s是卫星围绕地球 9.B 【解析】 卫星b 做圆周运动,G 5 2
表面做匀速圆周运动的最大环绕速度,所以卫星在 (2R )
·29·
5 2π 2· ( ) , Mm GMm GM M=m 2R 又T G R2 =mg,联立解得 Tb≈ 15.【解析】 由 2 =mg 即g= 2 ∝ 2b R R R
5.6h,在48h内卫星b绕地球运动圈数为N,则N= g火 4
得 = ,有g火=0.4g地
48 g地 10,故正确选项为
T =8.6 B.b (1)在 火 星 上,m =60 kg 不 变,G火 =mg火
4π2
10.A 【解析】 由a=r 2,得知A 的加速度
=235.2N.
T (2)g火=0.4g地=3.92m/s2
小于C 的加速度,在 P 点B、C 加速度大小相等,A
v2 1
, ; 2π
(3)H 大= ∝
错 D正确 由v= r 得知,C 的速 度 大 于A 的 速 2g gT
H 火大 g地 g地 1
度,B正确;A、B 周期相同,A 做匀速圆周运动,B 做 故H = =0.4 =地大 g火 g地 0.4
椭圆运动,每天总有一个时刻B 在A 正上方,C对. 1
11.BCD 【解析】
所以 H 火大= ×H 地大=4m.
第一宇宙速度为物体绕地 0.4
球做匀速圆周运动的最大速度,是地面上发射卫星的 (4)人 体 承 受 的 压 力 是 相 同 的,即 m地举g地 =
最小速度,所以B是错误的;只有地球同步卫星才相 M火举g火
对于地面“定点”,而且地球同步卫星只能在赤道上方 故在火星上仍能举的物体重力为60×9.8N=
一定的高度上,所以C、D都是错误的. 588N.
12.BD 【解析】 设地球质量为 M,由万有引
题源2 万有引力定律的综合应用
, GMm v
2
力充当向心力 得 2 =m ,其中r r r=2R 1.A 【解析】 本题考查万有引力定律的应用.
gR 2
又因为GM=gR2 得v= Mm 4π 12 根 据 G (R+h)2 =m 2
(R +h),得:T T2 =1
2π(2R) 2R
卫星的环绕周期T= =4π GM 1 GM2( )3, 2= 2( )3,联立可求火星的质v g 4π R+h1 T2 4π R+h2
GM g 量 及火星的半径 ,即可求出火星的密度,万有引力
卫星的加速度a= M R(2R)2=4 公式不可求环绕天体质量,所以萤火一号质量未知,同
1 2 1卫星的动能Ek=2mv =4mgR
时由于萤火一号质量未知,所以所受引力不可求.
2.A 【解析】 天体绕太阳做匀速圆周运动,由
故选项BD正确.
万有引力公式:
13.B 【解析】 本题考查万有引力定律的应用
2
和天体运动.行星绕太阳做圆周运动的向心力由万有 Mm 4πG r2 =mrT2
, GmM 4π
2 2 3
引力提供 有 , 4πr可得 ,即 3 3
r2 =m T2r T= GM 2πr GM 2πGM又因为v= ,得T v=2π 4π2T= T
3 (
3, :T海 r海 45.04×10
11)3
T∝ r 故 有 = -1T r3 = (1.50×1011)3 ≈ 所以v小∶v地=3.39 3.地 地
, 3 2165 所以选项B正确. 3.B 【解析】 :
r1 T1
由开普勒定律知 3= 2,又卫r2 T2
GMm
14. 【解 析】 R2 =mg
即 GM =gR2地,又 2
地 星所在处重力提供向心力,即mg=m (2π) r,可得:
GMm T2 2π
(R +h)2=mω
(R地+h),ω= ,得T T≈1.8345h. g 4/3地 1= (T2 ) ,故B正确.
24 g2 T1
所以一昼夜绕 周
T≈13 . 4.C 【解析】 设黑洞表面重力加速度为g,由
·30·
GM, M c
2
, Mm万有引力定律可得g= 2 又有 = 联立得g 根据牛顿第二定律得:G 2 =mg ①,对于近地航天R R 2G R
c2 2
= =1×1012 /2
Mm' m'v 2πR M
ms.选项C正确. 器:G 2 = ②,R R v=
,又:
2R T
③ ρ=4
3πR
3
【 】 M 45.A 解析 mg=GR2m
,又 M=ρ 3, 23πR g MR' 81④.由①得: =
g' M'R2
= ,选项16 A
错误;同理计算
M 4
所以g=GR2=3πGρR
, 得:选项C对BD错.考查万有引力定律在天文学中
因为 球 壳 对 球 内 物 体 引 力 为 零,深 为 d 的 矿 的应用.
井内 【 】 GMm v
2
11.ABD 解析 由 r2 =m
得,
r v=
M'
mg'=G ( )2m,R-d GM ,所以B、C 的线速度大小相等,且小于r A
的
M' 4
g'=G ( ( ),R-d)2=3πGP R-d , ; v
2
线速度 A项正确 又a= ,速度大小相等,所以B、r
g' R-d d
∴ = =1- . C 向心加速度大小相等,且小于A 的向心加速度,R R Bg
项正确;C 加速后轨道半径变大,不可能追上同轨道
ì GMm mv
2
R2 = R 的B,B 减速后轨道半径变小,不可能等候同一轨道
6.B 【解析】 í ,代 入 可 得 M
GMm 上的C,所以C项错误;A 卫星由于某种原因,其动能
N= R2 减小,轨道半径减小,在半径减小的过程中,引力做正
mv4 功,动能又增加,线速度增大,所以D项正确.此题考查
=GN . 天体和圆周运动知识,C、D两项易出错,C项是卫星的
7.D 【解析】 本题意在考查考生运用万有引 对接,它不同于在地面上的追及,D项考生不易理解的
力定律和牛顿第二定律解决天体运动问题的能力.对 是速度减小使轨道半径减小,怎么速度又增大.
Mm 4π2
于物体,根据牛顿第二定律:G =m R 和ρ= 12.C 【解析】 “神舟七号”做圆周运动的轨道R2 T2
所在空间没有空气,五星红旗不会迎风飘扬.
M : 3π得 T= ,选项D正确. 13.【解析】 (1)设“嫦娥一号”质量为 m1,圆周4
πR3
Gρ
3 运动时,万有引力提供向心力,则
Mm Mm1 4π
2
8.B 【解 析】 由 mg=G 2 和R m'g'=
G (R+H)2=m1 2
(
T R+H
) ①
4π2(R+H)3Mm'
G ( )2,求得:g'=g/
解得
9,故选3R B.
M= GT2 ②
(2)设月球表面的重力加速度为【 】 g0
,质量为m 的
9.D 解析 由题得卫星做圆周运动,因此万
物体在月球表面的重力等于万有引力,则
, Mm
2 v2
有引力提供向心力 即G 2π2 =m ( ) ·r=m ,r T r MmG R2 =mg0 ③
3
GMT2 GM
可得r= ,v= ,由 式 子 可 知 周 期 越 设平抛物体的初速度为v0,飞行时间为t,则4π2 r
1
大,轨道半径越大,而速度越小,故 AB错误.从低轨 h=2g
2
0t ④
道向高轨道运动过程中,万有引力做负功,引力势能 L=v0t ⑤
增大,从而确定C选项错误,选项D正确. 2πL(R+H) R+H
由 解得
10.C 【解析】 对于中心天体表面上的物体, ②③④⑤ v0= RT 2h
·31·
【点评】 常规题型,考查人造卫星、平抛运动等, 由题意有
难度较低. L=R+r ④
14.【解析】 由于小飞镖触地的方向就是小飞 联立①②③④式得
镖做平抛运动落地时速度的方向,所以可将速度分 L3
T=2π G(M+m) ⑤解,如图所示.
(2)在地月系统中,由于地月系统旋转所围绕的中
心O 不在地心,月球做圆周运动的周期可由⑤式得出
L'3
T1=2π G(M'+m') ⑥
式中,M'和m'分别是地球与月球的质量,L'是
地心与月心之间的距离.若认为月球在地球的引力作
用下绕地心做匀速圆周运动,则
在星球的两极有 M'm' 2
G L'2 =m'(2πT ) L' ⑦vy g1t 2tanα=v =v ①0 0 式中,T2 为月球绕地心运动的周期.由⑦式得
1 3
h=2g1t
2 ② L'T2=2π GM' ⑧
v2tan20 α
由①②两式得g = 由⑥⑧式得
,
1 2h ③
(T
2
2 m'
则质量为m 的物体,在该星球的两极所受的引 T ) =1+1 M' ⑨
力,即星球给物体的万有引力为:mg1 代入题给数据得
同理,由小飞镖在赤道上的平抛运动,得赤道上 2(T2T ) =1.012 ⑩v20tan2 1
的重力加速度为g2= β2h ④
专题6 电 场
因为质量为m 的物体在该星球的赤道上随该星
球自转,所以有 十年高考母题原型训练
mg1-mg 22=mωR ⑤
v2 2 2 2 A组
③④⑤ m 0
tanα v0tan
由 得 β 2
2h -m 2h =mωR
题源 电场力的性质
tan2α-tan2
1
ω=v β0 2Rh . 1.B 【解析】 以小球c为研究对象,a、c间的
15.【解析】 (1)设两个星球A 和B 做匀速圆周 q2,、 q
2
库仑力为k bc间的库仑力为k ,由平行四边
运动的轨道半径分别为r和R,相互作用的引力大小 l2 l2
为f,运行周期为T.根据万有引力定律有 2
形定则可知c受到a、
3kq
b 库仑力的合力大小为 2 ,
Mm l
f=G (R+r)2 ① 3kq2
由小球c静止不动和受力平衡可知qE= 2 ,匀强
由匀速圆周运动的规律得 l
2
f=m (2π) r ② 3kq电场场强大小为T E= l2 ,选项B正确;故选B.
2
f=M (2π) R ③ Q2.D 【解析】 根据点电荷场强公式T E=kr2,
·32·

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