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北京市平谷区2025—2026学年度第二学期期末考试样卷初二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）
A. B. C. D.
3.一元二次方程，配方后可变形为()
A. B. C. D.
4.已知为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
5.7名同学的身高分别为164，172，168，169，170，171，176（单位：厘米）．增加1名身高为的同学后，现在8名同学身高的平均数和方差与原来相比（ ）
A. 平均数不变，方差变小 B. 平均数变大，方差不变
C. 平均数不变，方差变大 D. 平均数变小，方差不变
6.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，EF是△ABC的中位线，∠BCA的角平分线交EF于点G，连接AG并延长交BC于点D，若EF=7，BD=5，则AC的长为（　　）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
8.如图，已知正方形的边长是，点为对角线的中点，过点的射线、分别交、于点、，且，、交于点，则下面结论中：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③四边形面积是定值；④；⑤的最小值是．正确结论的个数是（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.函数中，自变量x的取值范围是 ．
10.如图，菱形的两条对角线，交于点，若，，则菱形的面积为 ．
11.一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正 边形．
12.如图，的周长为16 cm，相交于点O，交于E，则的周长为 cm．
13.车间4名工人单日加工零件的个数分别为9，12，18，9，若将这4名工人按照完成的个数大小排序后分成两组，共有以下3种情况，分别计算组内离差平方和，可以得到表中的结果：
分组情况 组内离差平方和
和
和
和
分组情况和的组内离差平方和是 ，依据以上计算结果，合理的分组情况是 ．
14.如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 ．
15.如图，正方形中，将边折叠至，连接，，若，，则的长为 ．
16.一次函数（，k、b是常数）与（ m≠0，m是常数）的图象交于点，下列结论正确的序号是 ．
①关于的方程的解为；
②关于，的二元一次方程组的解是；
③一次函数图象上任意不同两点和满足：；
④若，则．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.解方程：
四、解答题：本题共11小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
如图，直线经过点，．
(1) 求直线对应的函数解析式；
(2) 连接，，求的面积．
19.(本小题4分)
如图，在△ABC中，点O是边AC的中点，过点C作AB的平行线交BO的延长线于点D，连接AD，CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.

20.(本小题4分)
如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．求车道的宽？
21.(本小题4分)
我们知道几何命题的证明共有5个步骤：①审题：根据题目中的文字语言找出题设和结论；②画图：根据题目中的题设和结论画出图形；③写已知和求证：用数学符号语言写出已知和求证；④分析：找到证明的思路和方法；⑤证明：写出证明过程．
求证命题：“四条边都相等的四边形是菱形”．
(1) 画出边长为a的菱形
作图步骤如下：
①在射线上任取一点（不与点重合），以为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
②以点B为圆心，长为半径画弧，在弧上任取一点（不在直线上）；
③分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；
④连接，，．
所以四边形即为所求作的菱形．
请使用直尺和圆规，补全作图过程（保留作图痕迹）．
(2) 完成下面的证明．
已知：在四边形中， ；
求证：四边形是菱形．
证明：∵ ， ，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形．（填推理依据： ）
22.(本小题4分)
已知关于的方程有两个不相等的实数根．
(1) 求的取值范围；
(2) 若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值．
23.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，函数（）的图象是由函数的图象平移得到，且经过点．
(1) 求函数的解析式；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围．
24.(本小题6分)
为了了解某校初二年级学生的睡眠时长，随机抽取了初二年级男生和女生各20位，对其同一天的睡眠时长进行调查，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了相关信息．
a．睡眠时长（单位：小时）：
男生
女生
b．睡眠时长频数直方图（分组：，，，，）；
c．睡眠时长的最小值、四分位数、最大值和箱线图如下：
性别 最小值、四分位数和最大值
最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值
男生
女生
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 补全男生睡眠时长频数分布直方图；
(2) ； ； ；
(3) 若该校初二年级共有400名学生，估计该年级学生的睡眠时长不低于9小时的有 人；
(4) 根据箱线图，试从两个角度分析男生、女生的睡眠情况．
25.(本小题8分)
如图，在菱形中，，交于点C，过点B，D分别作，的平行线，两平行线交于点A，连接．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 若，，求的长．
26.(本小题8分)
如图1，是外部的一定点，是线段上一动点，连接．

小明根据学习函数的经验，对线段，的长度之间的关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1) 对于点D在上的不同位置，画图、测量，得到了线段，的长度的几组值，如表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9
在，的长度这两个量中，确定 的长度是自变量， 的长度是这个自变量的函数；
(2) 在平面直角坐标系中，画出所确定的函数的图象；
(3) 结合函数图象，解决问题：连接，当为等腰三角形时，的长度约为 ．(精确到)
27.(本小题8分)
如图，在中，，于点，是线段上一点(不与点，重合)，连接，是的中点，点为内一点，且，连接，．
(1) 依题意补全图形，并求的大小；
(2) 当时，连接，判断与的位置关系，并证明．
28.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点为，此时存在点满足：（其中），则称点是点的美好距离点．
(1) 如图，点的坐标为，点的坐标为
①在点，，，中， 是点的美好距离点；
②已知点是平面内一点，且点同时是点和的美好距离点，请直接写出点的坐标 ．
(2) 已知点在直线上，正方形的对角线交点为，边长为，且四条边均与坐标轴平行，点为正方形边上的一点，若对于任意一点，都存在一点，使得点是点的美好距离点，请直接写出的取值范围．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】
10.【答案】12
11.【答案】八
12.【答案】8
13.【答案】18
和

14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】①③/③①
17.【答案】解：
∴．

18.【答案】【小题1】
解：设直线对应的函数解析式为


；
【小题2】
解：设直线与轴交点为C，如图所示，
令，则，

．

19.【答案】证明：∵点O是边AC的中点，
∴AO=CO，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
20.【答案】解：观察图形可知，车道的宽为米，则停车位总占地长为米，宽为米，
根据题意，得，
整理得，即，
解得，（舍去）．
答：车道宽为米．

21.【答案】【小题1】
解：所求图形，如图所示．
【小题2】


有一组邻边相等的平行四边形是菱形

22.【答案】【小题1】
解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
【小题2】
解：∵该方程的两个不相等的实数根分别为，，
∴，，
，
，
，
∴，
解得，
，
．

23.【答案】【小题1】
解：函数的图象是由函数的图象平移得到，
∴，
∵函数经过点，
∴，
解得，，
∴一次函数解析式为；
【小题2】
解：函数中，当时，，当时，，
函数的图象如下，
对于和，
∵的值越大，越靠近轴，
∴，
∴，且，
综上所述，，且．

24.【答案】【小题1】
解：男生睡眠数据中的有：，，，共3个

【小题2】
8.05
9.05
9.25
【小题3】

【小题4】
①女生的睡眠时长中位数为小时，男生的睡眠时长中位数为小时，略高于女生，说明男生中等水平的睡眠时长比女生长一些；
②女生的睡眠时长的箱体比男生的低，说明女生睡眠时长相对更集中，更稳定，男生睡眠时长波动大，个体差异更明显．

25.【答案】【小题1】
证明：由题意可知，，
∴四边形是平行四边形，
∵菱形，
，
，
∴四边形是矩形；
【小题2】
解：，
∴设，，
∵四边形是矩形，
，，
∵菱形，
，，
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
，，
在中，，
．

26.【答案】【小题1】


【小题2】

【小题3】
，或

27.【答案】【小题1】
解：
是的中点，，
，
，，
设，
，
，
；
【小题2】
解：，
证明：如下图所示，延长至，使，连接，，在上取，使，连接，
，
，，
，，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
．

28.【答案】【小题1】
，
，
【小题2】
正方形中心在原点，边长为4，边与坐标轴平行，故在正方形边上，
满足：或
设，则关于轴的对称点
∴所在的直线为
∵正方形的边长为，且点是点的美好距离点，即到直线的最大美好距离为
直线和关于轴对称，
又∵正方形的对角线交点为，边长为，且四条边均与坐标轴平行，
∴当最大时，直线过轴上方正方形的顶点，
如图，取正方形的顶点，，
分别代入
当时，，解得：；
当时，，解得：；
∴或

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