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北京市首都师范大学附属中学2025－2026学年第二学期期末练习初二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A. 3，6，4 B. 3，，4 C. 3，6， D. 3，，
2.下列图象中,不能表示y是x的函数的是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是( )
A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 对角线相互平分 D. 一组对边平行且另一组对边相等
4.将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ）
A. 向左平移3个单位，向上平移5个单位 B. 向右平移3个单位，向上平移5个单位
C. 向左平移5个单位，向下平移3个单位 D. 向右平移5个单位，向上平移3个单位
5.八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（）
A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小
C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190
6.某科技产业园区年的营业收入为亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，年的营业收入达到亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为，依题意，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.如图，直线（，）与x轴、y轴分别交于点A，B，以为对角线作平行四边形，且点N在第一象限，给出下面三个结论：
①对任意k，b，都存在无数个矩形；
②当k，b确定时，若平行四边形为矩形，则当点N在上时，矩形的面积最大；
③当b确定时，若点N在上且平行四边形为菱形，则菱形的面积随k的增大而增大．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共9小题，共24分。
9.函数y=-1中，自变量x的取值范围是 ．
10.计算： ．
11.若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为 ．
12.如图，在菱形中，，，则 °．
13.如图（1），在的正方形网格中，小正方形的边长都为1，是网格交点，则图（2）中数轴上的点M所表示的数可能是网格中线段 的长．（填“”“”或“”）
14.若，是关于x的方程的两个实数根，其中m是常数，则的值可能是 ．（写出一个符合条件的即可）
15.二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表：
x … 0 3 …
y … n 2 n …
若，且点，在该二次函数的图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”）
16.如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是 ．
17.某校要从甲、乙、丙三名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动．对这三名选手最近10次选拔赛测试成绩（单位：分）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．甲、乙两名选手10次测试成绩：
甲：85，70，95，80，85，85，75，85，70，90
乙：80，73，85，84，90，82，80，76，80，90
b．甲、乙两名选手10次测试成绩折线图：
c．甲、乙两名选手10次测试成绩的平均数、中位数、众数：
选手 平均数 中位数 众数
甲 82 85 q
乙 82 p 80
d．丙选手前9次测试成绩：80，82，79，81，81，83，82，82，80
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 表中p的值为 ，q的值为 ；
(2) 在参加选拔的选手中，如果某选手得分的10个数据的方差越小，则认为该选手发挥越稳定．据此推断：甲、乙两位选手中，发挥更稳定的是 （填“甲”或“乙”）；
(3) 若将丙选手最后一次的测试成绩记为k（k为正整数）．学校按如下方式评估这三名选手的综合实力：首先比较10次测试的平均数，平均数较大者实力更强；若平均数相等，则比较测试成绩不低于90分的次数，次数较多者实力更强．若丙在三位选手中的综合实力排序最靠前，则符合条件的k的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
18.解方程：
(1)
(2)
四、解答题：本题共8小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题3分)
已知m是方程的根，求代数式的值．
20.(本小题6分)
已知二次函数的图象经过，．
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 当时，直接写出y的取值范围．
21.(本小题6分)
如图，菱形的对角线，相交于点O，，．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 若，，求线段的长．
22.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，直线：与直线：．
(1) 若直线与直线交于点，直接写出k，m的值；
(2) 过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D，结合函数图象回答下列问题：
①当时，若，求k的值；
②当时，在点B运动的过程中，若对于n的每一个值，的长恒大于1，直接写出k的取值范围．
23.(本小题9分)
小明同学结合一次函数图象与性质的探究经验，构造了一个新函数：
他尝试探究该函数的图象与性质，请你帮他补充完整下面的探究过程：
(1) 当时，化简后的解析式为 ；当时，化简后的解析式为；结合上述分析，在给出的平面直角坐标系中，他画出了该函数在范围内的图象；
(2) 小明进一步研究发现，当时，该函数中y与x的几组对应值如下表所示：
x 1 2 3 4
y m 1 4
①表中 ；
②结合表中的对应值，在（1）的基础上，补全该函数在范围内的图象；
(3) 若直线l：（t为常数）与该函数在范围内的图象恰好有三个不同的交点，直接写出常数t的取值范围．
24.(本小题9分)
已知抛物线C：（）．
(1) 直接写出抛物线C的对称轴；
(2) 若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围；
(3) 将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值．
25.(本小题6分)
如图，四边形为正方形，点E是对角线上一点，连接，交边于点F．
(1) 猜想线段与的数量关系，并证明；
(2) 连接，分别取线段，的中点M，N，连接．
①依题意在图（2）中补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
26.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，对于菱形和直线（直线不与轴垂直），过菱形的四个顶点，分别存在与直线平行或重合的直线，它们与轴交点的纵坐标的最大值与最小值之差，称为菱形关于直线的“纵影长”，记作．当等于菱形的对角线的长时，称直线为菱形的“等影线”．
(1) 如图，若菱形的顶点分别为，，，，直线，则菱形关于直线l的“纵影长”为 ，此时直线 （填“是”或“不是”）该菱形的“等影线”；
(2) 若菱形的顶点分别为，，，，其中，且存在直线是该菱形的“等影线”，求m的取值范围；
(3) 已知菱形的边长为，点，，，点D在x轴上方．若存在直线l：（）是菱形的“等影线”，且直线与菱形有公共点，直接写出的取值范围（用含的式子表示）．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】x≥0
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】65
13.【答案】
14.【答案】10/（答案不唯一，任意不大于15的数均可）
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
81
85
【小题2】
乙
【小题3】
91

18.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
解得，；
【小题2】
解：∵，
∴
∴
∴．

19.【答案】解：是方程的根，
，
．

20.【答案】【小题1】
解：把，代入
得，
解得
∴二次函数的解析式为；
【小题2】
解：将二次函数配方得，
函数的对称轴为直线
∵
∴二次函数开口向上，
∴当时，y取得最小值；
当时，，
当时，；
即在时，y的取值范围是．

21.【答案】【小题1】
证明：∵，，
四边形是平行四边形，
菱形的对角线，交于点，
，
四边形是矩形；
【小题2】
解：∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．

22.【答案】【小题1】
解：∵直线与直线交于点，
∴将代入到中，
得，
∴点的坐标为，
将点代入中，
得，解得，
∴．
【小题2】
解：①当时，点的坐标为，
过点作垂直于x轴的直线分别交，于点，
∴将代入直线：中，解得，
∴点的坐标为，
将代入直线：中，解得，
∴点的坐标为，
则，
又∵，
∴，
∴；
②∵过点作垂直于x轴的直线分别交，于点，
∴将代入直线：中，解得，
∴点的坐标为，
将代入直线：中，解得，
∴点的坐标为，
∴，
当点在点上方时，
，
将其看作关于的一次函数，
∵当时，恒大于1，
∴随的增大而减小，在时取得最小值大于等于1，
∴，解得，
∴当时，，
当时，恒大于，
∴的取值范围为；
当点在点下方时，
，
将其看作关于的一次函数，
∵当时，恒大于1，
∴随的增大而减小，在时取得最小值大于等于1，
∴，解得，
∴当时，，解得，
无解，
∴该种情况不符合题意；
综上所述，的取值范围为．

23.【答案】【小题1】
【小题2】
①；
②
【小题3】
解：当直线恰好经过点时，则，解得，
当直线恰好经过点时，则，解得，
当直线恰好经过点时，则，
由函数图象可知，当或时，（t为常数）与该函数在范围内的图象恰好有三个不同的交点．

24.【答案】【小题1】
解：根据二次函数的对称轴公式可得，
抛物线的对称轴为；
【小题2】
解：由（1）得，对称轴为，
则点关于对称轴的对称点为，
由可得，抛物线开口向下，
根据二次函数的性质可得，离对称轴越远，函数值越小，
由可得，到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
可得或；
【小题3】
解：，
则抛物线的顶点坐标为，
根据翻折规则可得，当时，设原抛物线上一点，
则翻折后点的纵坐标为，
则，
则图象G的解析式为，
∵，
∴，，
又∵点和均在图象G上，
∴，
，
∴，
∵，开口向上，对称轴为，
∴当时，最小，最小值为．

25.【答案】【小题1】
解：，证明如下：
如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
①解：如图：
②解：，证明如下：
如图，取中点K，连接，
∵N为的中点，
∴，
取中点P，连接，，
∵分别取线段，的中点M，N，
∴，，，
∵，，
∴，，
延长交于R，延长交于S，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，
∴
∴，
∴，
∴．

26.【答案】【小题1】

不是
【小题2】
解：∵、，
∴，
∵直线是该菱形的“等影线”
∴纵影长，
设直线的解析式为，过菱形各顶点且与平行的直线解析式可设为，则该直线与轴交点的纵坐标为，
将四个顶点分别代入，可得各平行线与轴交点的纵坐标：
：，解得；
：，解得；
：，解得；
：，解得；
纵影长为四个纵坐标的最大值减去最小值，分两种情况讨论：
①当时，
∵最大值为，最小值为
∴，
∵，
∴，解得，
此时取即可满足，存在符合条件的直线，故成立；
②当时
∵最大值为，最小值为，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，
∴，
又，
∴，存在符合条件的直线；
综上，的取值范围是；
【小题3】
解：如图，过点作轴，垂足为，连接，
∵四边形是菱形，边长为，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵直线是该菱形的“等影线”，
∴纵影长，
∵是等边三角形，，
∴是的中点，，
中，由勾股定理得
，
∵点，，
∴点坐标为，点坐标为，
设直线的解析式为，过菱形各顶点且与平行的直线解析式可设为，则该直线与轴交点的纵坐标为，
将四个顶点分别代入，可得各平行线与轴交点的纵坐标：
：，解得；
：，解得；
：，解得；
：，解得；
∵四个纵坐标都含有公共项，
∴最大值与最小值的差（纵影长）与无关，仅由决定，分两种情况讨论：
①当时
∵越大，的值越小，对应的越小，
∴四个纵坐标中，最小值对应点，最大值对应点，
∴，
∵，
∴，解得（满足），
∵直线与菱形有公共点时，的取值在四个顶点对应纵坐标的最小值与最大值之间，
∴，即，
把代入化简，得
；
②当时，
∵越大，的值越大，对应的越大，
∴四个纵坐标中，最小值对应点，最大值对应点，
∴
∵，
∴，解得（满足），
∵直线与菱形有公共点时，的取值在四个顶点对应纵坐标的最小值与最大值之间，
∴，即，
把代入化简，得
；
综上，的取值范围为或．

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