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河南郑州市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列分式是最简分式的是（）
A. B. C. D.
2.起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.已知a,b是实数，若a＞b,则下列不等式正确的是（　　）
A. a-b＜0 B. a+2＜b+2 C. -2a＞-2b D. 2-3a＜2-3b
4.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　）
A. AC=A'C'，BC=B'C' B. ∠A=∠A'，AC=A'C'
C. AB=A'B'，BC=B'C' D. ∠B=∠B'，AB=A'B'
5.把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　）
A. B. C. D.
6.如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（ ）
A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等
C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别平行
7.若关于x的分式方程有增根，则k的值为（　　）
A. -9 B. -8 C. -7 D. -6
8.如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在平面内将一块含的三角板向右平移得到，若，则边扫过的面积与边扫过的面积之比为（ ）
A. 2 B. C. D.
10.若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.若分式有意义，则应满足的条件是 ．
12.若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是 ．
13.如图，函数y=kx（k为常数，k≠0）与y=mx+n（m,n均为常数且都不为0）的图象相交于点A（-4，2），则关于x的不等式kx＞mx+n的解集为 .
14.如图，在平行四边形中，，，，点，分别为，上一个动点，点为的中点，连接，，点，分别为，的中点，则线段的取值范围为 ．
15.如图，在等边三角形中，点为的中点，点为线段上不与端点重合的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．若，则当为直角三角形时，的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
16.按要求完成各题．
(1) 因式分解：；
(2) 解分式方程：；
(3) 解不等式组：
四、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
化简并求值：，其中下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学 解：原式
乙同学 解：原式
(1) 甲同学解法的依据是 ；乙同学解法的依据是 ．（单选题，填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2) 请你选择一种解法，写出完整的解答过程．
18.(本小题8分)
如图，在中，对角线，相交于点，，，垂足分别为，．
(1) 求证：．
(2) 若，求的长．
19.(本小题12分)
如图，已知点，，．
(1) 将绕点逆时针旋转得，画出，并写出点的对应点的坐标为__．
(2) 画出关于原点成中心对称的图形；并写出点的对应点的坐标为__．
(3) 在平面直角坐标系内找点，使得、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为 ．
20.(本小题10分)
已知．
(1) 尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，；
(2) 求证：四边形是菱形．
21.(本小题15分)
阅读以下材料．
材料：因式分解：．
解：将“”看成一个整体，令，则原式．
再将“”还原，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1) 因式分解：；
(2) 因式分解：；
(3) 试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数．
22.(本小题15分)
阅读下列素材，完成任务．
如何设计樱桃的购进方案
情境 郑州樱桃沟位于二七区南部，延绵15公里，丘陵起伏，沟壑纵横，深深的沟里布满了青翠繁茂的樱桃树．这里樱桃种植已有千年历史，由于气候适宜、沟内避风、土壤特殊，产出的樱桃粒大肉厚、色泽丰丽、入口甘甜，且能补中益气，滋润肌肤．故而享有盛名，传誉省内外．
素材1 某水果店计划用4800元购进樱桃沟种植的“大樱桃”和“普通樱桃”两种樱桃进行销售，已知“大樱桃”的进价比“普通樱桃”高6元/千克，用1000元能购进的“大樱桃”和用400元能购进的“普通樱桃”一样多．
素材2 根据该水果店所定的售价，每千克“大樱桃”的利润是每千克“普通樱桃”利润的1.5倍，同样获得600元的利润，需要出售的“普通樱桃”比“大樱桃”多50千克．
问题解决：
(1) 任务1确定进价：求两种樱桃每千克的进价；
(2) 任务2确定利润：求两种樱桃每千克的利润；
(3) 任务3确定购进方案：若要使总利润不低于4000元，则最多能购进“大樱桃”多少千克？
23.(本小题10分)
如图，在等腰直角三角形中，，，点为的中点，以点为直角顶点，以为直角边在的右侧构造等腰直角三角形，将绕点顺时针旋转．
(1) 如图，当射线经过点时，连接．
求证：；
求线段的长；
(2) 如图，在旋转过程中，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则 ；当旋转到如图4所示的位置时，若，连接，，将沿平移，得到，连接，，则的最小值为 ．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】5
13.【答案】x＜-4
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：原方程去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验，当时，，
是分式方程的解；
【小题3】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为．

17.【答案】【小题1】


【小题2】
解：选甲同学的做法：
原式
，
把代入上式，原式．
选乙同学的做法：
解：原式
，
把代入上式，原式．

18.【答案】【小题1】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：由（1）得，
又，
∴，
∵，
∴在中，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．

19.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求，
则点的坐标为，
故答案为：．
【小题2】
解：如图，即为所求，
则点的坐标为，
故答案为：．
【小题3】
或或

20.【答案】【小题1】
【小题2】
证明：垂直平分，
，，
，
，
，，
∴，
，
，
，
同理可证，
四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形．

21.【答案】【小题1】
解：令，
，
将“”还原，得；
【小题2】
解：令，
，
将“”还原，得：
；
【小题3】
证明：令，
，
将还原，
，
无论为何值，
，
即式子的值一定是一个不小于2的数．

22.【答案】【小题1】
解：设“大樱桃”的进价为元/千克，则“普通樱桃”的进价为元/千克．
由题意列分式方程得，，
整理得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则．
答：“大樱桃”的进价为10元/千克，“普通樱桃”的进价为4元/千克．
【小题2】
解：设“普通樱桃”的利润为元/千克，则“大樱桃”的利润为元/千克．
由题意列分式方程得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则．
答：“大樱桃”的利润为6元/千克，“普通樱桃”的利润为4元/千克．
【小题3】
解：设购进“大樱桃”千克，购进“普通樱桃”千克，
由题意列二元一次方程得，，
，
若要使利润不低于4000元，则，
∴，
解得，
的最大值为200．
答：若要使总利润不低于4000元，则最多能购进“大樱桃”200千克．

23.【答案】【小题1】
证明：，
，即，
又点为的中点，，
，
，，
，
；
如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
；
【小题2】
或


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