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2025-2026学年湖南省衡阳市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知=（2，-1，3），=（3，5，-1），则等于（　　）
A. （1，-7，-1） B. （1，-7，7） C. （7，3，5） D. （7，-3，-5）
2.设函数y=（2x+1）3，若，则x0=（　　）
A. 或 B. -1或0
C. D. 0
3.已知函数f（x）=x（x-a）2在x=1处取得极大值，则a的值是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.在四棱锥P-ABCD中，，，，则该四棱锥的高为（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5.函数f（x）=（x-a）3-2（x-a）2在区间[2，3]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
6.设点P在曲线y=ex+1上，点Q在曲线y=ln（2x-2）上，则|PQ|最小值为（　　）
A. 1-ln2 B. （2-ln2） C. 1+ln2 D. （1+ln2）
7.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（　　）
A.
B.
C. 与夹角是60°
D. 直线AC与直线A1C1的距离是
8.已知函数f（x）=2lnx+ax2-3x在x=2处取得极值，则f（x）在的最大值为（　　）
A. B. C. 1 D. 2ln2-4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是所在棱的中点，设=，则（　　）
A.
B.
C.
D.
10.函数f（x）的导函数f'（x）的图像如图所示，则（　　）
A. 为函数f（x）的零点 B. x=2为函数f（x）的极小值点
C. 函数f（x）在上单调递减 D. f（-2）是函数f（x）的最小值
11.在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四面体SABC的四个顶点的坐标为A（0，0，0），，，S（m,n,t）（t＞0），点N（x1，y1，z1）在四面体SABC外接球的球面上，且CN⊥平面ABC，点H（x2，y2，z2）在四面体SABC内切球的球面上，则下列结论正确的有（　　）
A.
B. 的最大值是最小值的2倍
C. 四面体SABC外接球的体积为108π
D. 当取得最小值时，点H的坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，则= .
13.已知点A（1，2，3），B（2，4，5），C（3，1，4），则点A到直线BC的距离为 .
14.设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），2f（x）+xf′（x）＞0，并且f（1）=1，则不等式（x-2026）2f（x-2026）＞1的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R），其中a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a=3时，求函数f（x）的极小值．
16.(本小题15分)
将正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到如图所示的几何体，且H为AC的中点.
（1）证明：A1H∥平面B1CD1.
（2）求二面角A-B1H-A1的正弦值.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=（2+ax）ln（1+x）-2x,（a∈R）.
（1）若a=0，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＞0，设函数f（x）的导函数为g（x），讨论g（x）的单调性.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，，E为PD的中点，点F在线段PC上，且.
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求平面FAE和平面PAE的夹角的余弦值；
（3）设点G在线段PB上，且，判断直线AG是否在平面AEF内？请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=（x2-ax）lnx+x（a∈R，a＞0）.
（1）分析函数的单调性.
（2）若0＜a≤1，试问f（x）是否存在零点.若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由.
（3）若f（x）有两个零点，求满足题意的a的最小整数值.（参考数据：ln2≈0.693，）
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】ABD
12.【答案】64
13.【答案】
14.【答案】（2027，+∞）
15.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x，
得f（2）=-2，且f'（x）=-3x2+4x-1，f'（2）=-5．
所以，曲线y=-x（x-1）2在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0．
（2）f'（x）=-3x2+12x-9=-（3x-3）（x-3）．
令f'（x）=0，解得x=1或x=3．
若a=3，当x变化时，f'（x）的正负如下表：
x （-∞，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -
因此，函数f（x）在x=1处取得极小值f（1），且f（1）=-4．
16.【答案】取B1D1的中点M，连接A1M，MC，
易证A1M∥AC，且，
又H为AC的中点，所以A1M∥HC，且A1M=HC，
则四边形A1MCH是平行四边形，
所以A1H∥MC，
因为A1H 平面B1CD1，MC 平面B1CD1，
所以A1H∥平面B1CD1
17.【答案】x+y-2ln2+1=0 当a≥2时，函数g（x）在（-1，+∞）上单调递增；当0＜a＜2时，函数g（x）的单调增区间为，减区间为
18.【答案】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，则PA⊥CD，
又AD⊥CD，PA∩AD=A，PA，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD AG不在平面AEF内，
理由：因为点G在PB上，且，，
所以，
则，
由（2）知平面FAE的一个法向量为，
所以，
所以直线AG不在平面AEF内
19.【答案】详见解析 不存在，理由见解析 a=4
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