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2025-2026学年广东省深圳市盐田高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z满足z （2-3i）=4+i2026，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n
B. 若m∥n,m∥α，则n∥α
C. 若m α，n β，则m,n是异面直线
D. 若α∥β，m α，n β，则m∥n或m,n是异面直线
3.向量，，若与同向，则t=（　　）
A. B. C. 3 D. ±3
4.如图，△ABO的斜二测直观图是△A′B′O′，其中，则△ABO的面积是（　　）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
5.已知非零向量，满足，则向量在方向上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
6.已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，P为线段BC1上一点，Q为平面ABCD内一点，则D1P+PQ的最小值是（　　）
A.
B.
C.
D.
8.已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，则的最小值为（　　）
A. -1 B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BB1，B1C1，C1D1的中点，则（　　）
A. FG∥平面AED1
B. BC1∥平面AED1
C. 点C1在平面AED1内
D. 点F在平面AED1内
10.点O为△ABC所在平面内一点，则（　　）
A. 若，则点O为△ABC的重心
B. 若，则点O为△ABC的内心
C. 若，则点O为△ABC的垂心
D. 在△ABC中，设，那么动点O的轨迹必通过△ABC的外心
11.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知a（cosAcosB-sinCcosC）=（csinC-bcosA）cosA，则下列说法正确的是（　　）
A. a可能是最大边 B. b可能是最大边 C. a可能是最小边 D. c可能是最小边
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则= ；=_ .
13.如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=30°，∠BDC=105°，CD=32m,在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为 米.
14.如图，棱长为2的正方体容器ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，在E，F，C1处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求A；
（2）若，求边BC上的高AD的长.
16.(本小题15分)
已知，，且.
（1）求向量与的夹角大小.
（2）求.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，，点E在线段PD上，且PE=1.
（1）设平面PBC∩平面PAD=l,证明：BC∥l；
（2）证明：AE⊥PC；
（3）线段CA上是否存在点M，使得EM∥平面PBC？若存在，请证明，并求出AM的长；若不存在，请说明理由.
18.(本小题17分)
如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O.
（Ⅰ）若，求实数x,y的值；
（Ⅱ）若，求实数t的值；
（Ⅲ）如图2，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，（λ＞0，μ＞0），求λ+μ的最小值.
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且点D是线段BC上的一点.已知.
（1）求角A的大小；
（2）若BD=3AD=3DC，求tanC的值；
（3）若AD为△ABC的角平分线，且AD=1，求2asinA+3bsinB+3csinC的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】0
-5

13.【答案】48+16
14.【答案】
15.【答案】；
．
16.【答案】
17.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD．
又BC 平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l,
∴BC∥l.
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，又CD 平面ABCD，∴CD⊥PA．
又底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD．
PA，AD 平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
AE 平面PAD，∴CD⊥AE．
在△PAD中，PA=2，PE=1，，
∴PA2=PE PD，
∴AE⊥PD．
CD，PD 平面PCD，CD∩PD=D，
∴AE⊥平面PCD．
又PC 平面PCD，
∴AE⊥PC；
（3）解：如图：
过E作EN∥PC，交CD于点N，过N作NM∥AD交AC于点M．
∵EN∥PC，PC 平面PBC，EN 平面PBC，
∴EN∥平面PBC．
同理MN∥平面PBC．
又MN，EN 平面EMN，MN∩EN=N，
∴平面EMN∥平面PBC．
由（1）知，PD=4，又PE=1，则ED=3，
则，
∵CD=AB=2，．
∴，
∴点M为线段CA上靠近C的四等分点，AM=3．
18.【答案】解：（Ⅰ）因为，所以，
所以，
所以；
（Ⅱ）由题意可知：，
，
又因为G，O，C三点共线，所以存在实数k使得，
即，
所以，解得，
所以；
（Ⅲ）易知，
由（Ⅱ）知，
又因为E，O，F三点共线，
所以，又λ＞0，μ＞0，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以λ+μ的最小值为．
19.【答案】； ； 12．
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