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2025-2026学年广东省深圳市宝安区华胜实验学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集A={x∈N|x＜3}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（　　）
A. {0，1} B. {1，2} C. {0，1，2} D. {0，1，2，3}
2.已知z=2-i，则z（+i）=（　　）
A. 6-2i B. 4-2i C. 6+2i D. 4+2i
3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（　　）
A. B. y=tanx C. y=2x D. y=x3
4.下列说法错误的是（　　）
A. B. ，是单位向量，则
C. 若，则 D. 两个相同的向量的模相等
5.在△ABC中，已知B=120°，AC=，AB=2，则BC=（　　）
A. 1 B. C. D. 3
6.已知非零向量满足且，则与的夹角为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，O′A′=2B′C′=4，A′B′=2，则该平面图形的高为（　　）
A. B. 2 C. D.
8.如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE（A1 平面ABCD），若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是( )

A. 与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直
B. 异面直线BM与A1E所成角是定值
C. 一定存在某个位置，使DE⊥MO
D. 三棱锥A1-ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设z1，z2为复数，则下列说法正确的是（　　）
A. 若，则z1=z2=0 B. |z1z2|=|z1||z2|
C. D. 若|z1|=|z2|，则z1=±z2
10.下列命题中，不正确的是（　　）
A. 有相同起点的两个非零向量不共线
B. 向量与不共线，则与都是非零向量
C. 若与共线，与共线，则与共线
D. “=”的充要条件是||=||且
11.已知定义在R上函数f（x）的图像是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，f（-x）=f（x）；② x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）；③f（-1）=0.则下列选项成立的是（　　）
A. f（3）＜f（-4）
B. 若f（m-1）＜f（2），则m∈（-∞，3）
C. 若，则x∈（-1，0）∪（1，+∞）
D. x∈R， M∈R，使得f（x）≥M
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足（1+3i）z=10，则z= .
13.已知l,m是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列说法：
①若α∥β，且β⊥γ，则α⊥γ；
②若α∩β=l,且l⊥γ，则α⊥γ且β⊥γ；
③若l⊥α，α⊥β，则l∥β.其中正确的是 .
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足D1P∥平面A1BC1，则AP的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
向量.
（1）若，求；
（2）若，求与所成夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
（1）求角A；
（2）若a=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约21元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为f（x）（单位：元）
（1）写出单株利润f（x）（元）关于施用肥料x（千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
18.(本小题17分)
如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，OA=2，∠AOP=120°，三棱锥A1-APB的体积为.
（1）求圆柱OO1的表面积；
（2）求三棱锥A1-APB外接球的体积.
19.(本小题17分)
如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的中点，如图2.
（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：平面BCD⊥平面BDE；
（3）求点D到平面BCE的距离.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】1-3i
13.【答案】①②
14.【答案】
15.【答案】解：（1）∵，
又，
∴，
∴x=1，
∴；
（2）∵，，
∴．
即-2（-1-x）+16=0，
∴x=-9；
∴，
∴，
===．
16.【答案】解：（1）在△ABC中，
∵，
∴sinAcosC+sinC=sinB，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴，
∵sinC＞0，∴，
又∵A∈(0，π)，∴；
（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos60°，
又∵a=，∴b2+c2-bc=7，∴(b+c)2-3bc=7，
又 ∵，
∴bc=6，∴(b+c)2-18=7，∴b+c=5，
∴△ABC的周长为．
17.【答案】；
当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元
18.【答案】24π
19.【答案】取EC中点N，连接MN，BN，
在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，
所以MN∥CD，且，
由已知AB∥CD，，
所以MN∥AB，且MN=AB，
所以四边形ABNM为平行四边形，
所以BN∥AM，
又因为BN 平面BEC，且AM 平面BEC，
所以AM∥平面BEC 在正方形ADEF中，ED⊥AD，
因为ED⊥DC，AD∩DC=D，AD，DC 平面ABCD，
所以ED⊥平面ABCD，
因为BC 平面ABCD，所以ED⊥BC，
又在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，故，∠BDC=45°，
由余弦定理BC2=BD2+DC2-2BD DCcos45°=2，所以，
在△BCD中，，CD=2，
所以BD2+BC2=CD2，故BC⊥BD，
因为ED∩BD=D，ED，BD 平面BDE，
所以BC⊥平面BDE，
又BC 平面BCD，
所以平面BCD⊥平面BDE
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