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2025-2026学年广东省汕头市潮阳林百欣中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共7小题，共35分。
1.已知集合A={0，1，2，3}，B={-1，0，1}，A∩B=C，则集合C的真子集个数为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
2.已知a∈R，若，且z =9，则a=（　　）
A. 1或-1 B. 或 C. 或 D. 或
3.已知下列四个图象之一是函数f（x）在某区间的图象，且f（x）的导函数f′（x）在该区间的图象如图所示，则f（x）在该区间的图象是（　　）
A. B.
C. D.
4.在（x-2021）（x+2022）（x-2023）（x+2024）（x-2025）的展开式中，含x4的项的系数是（　　）
A. -2025 B. -2023 C. -2021 D. 2025
5.若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（　　）
A. B. C. D.
6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（　　）
A. 60种 B. 78种 C. 84种 D. 144种
7.已知实数a,b满足3a=4b，则下列不等式可能成立的是（　　）
A. b＜a＜0 B. 2b＜a＜0 C. 0＜a＜b D. 0＜2b＜a
二、多项选择题：本大题共4小题，共23分。
8.
9.已知（常数m＞0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（　　）
A. n=10
B. 展开式中奇数项的二项式系数的和为256
C. 展开式中x15的系数为45m8
D. 若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大
10.设函数f（x）=x3-x2+ax-1，则（　　）
A. 当a=-1时，f（x）的极大值大于0
B. 当时，f（x）无极值点
C. a∈R，使f（x）在R上是减函数
D. 曲线y=f（x）的对称中心的横坐标为定值
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为线段A1B的中点，点F为线段BC上的动点（不包括端点），则（　）
A. 对任意的F点，三棱锥F-ADE与三棱锥A1-ADE的体积相等
B. 对任意的F点过D，E，F三点的截面始终是梯形
C. 存在点F，使得EF∥平面A1C1D
D. 存在点F，使得EF⊥平面BDC1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的有理项个数为 .
13.函数f（x）=x2lnx+2x+1的图象在点（1，f（1））处的切线方程是 .
14.已知等差数列{an}的公差为d,记Sn是数列{an}的前n项和，若S5=a3+20，S15=a2a3a8，则{an}的通项公式为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3，求a，b的值；
（2）若曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的首项，且满足.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最大整数n.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，2AB=AD=DC=DP=2，，.
（1）若M，F分别是PA，BC的中点，证明：MF⊥AD；
（2）求二面角P-BC-D的余弦值.
18.(本小题17分)
已知函数.
（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，证明：f（x）≥e-1.
19.(本小题17分)
已知等轴双曲线的一个焦点为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知点A是C上一定点，过点B（0，1）的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若kAP+kAQ为定值λ，求点A的坐标及实数λ的值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】

9.【答案】ACD
10.【答案】BD
11.【答案】ABD
12.【答案】3
13.【答案】3x-y=0
14.【答案】an=2n-1或an=-n+8
15.【答案】解：由f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R），得
f′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）．
（1）由题意得，
解得：b=0，a=-3或1；
（2）∵曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=0有两个不相等的实数根，
∴△=4（1-a）2+12a（a+2）＞0，即4a2+4a+1＞0，
∴a≠-．
∴a的取值范围是（-∞，-）∪（-，+∞）．
16.【答案】（1）证明：因为，
所以 ，
可得，
又由，
所以，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列；
（2）解：由（1）可得，
所以，
设数列的前n项和为Sn，
则，
=，
若Sn＜2024，
即，
因为函数为单调递增函数，
所以满足Sn＜2024的最大整数n的值为2023．
17.【答案】证明见解答； ．
18.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx-x,则，
由f'（x）＞0，得0＜x＜1；由f'（x）＜0，得x＞1，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
（2）证明：方法一：当a=1时，，
令，可知，
则h（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
因此（当且仅当x=1时取得等号）．
令k（x）=x-lnx（x2e），则由（1）知，k（x）在[e,+∞）单调递增，
因此k（x）≥e-1，所以．
方法二：当a=1时，，则，
由（1）可知，lnx≤x-1＜x,即x＜ex，
所以f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
因此f（x）≥f（1）=e-1（当且仅当x=1时取得等号）．
19.【答案】解：（1）由题意a=b,a2+b2=c2=2，解得a=b=1，所以双曲线C的标准方程为x2-y2=1．
（2）设A（m,n），过点B的动直线为：y=kx+1．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立得（1-k2）x2-2kx-2=0，
所以，由1-k2≠0且Δ＞0，解得k2＜2且k2≠1，
因为kAP+kAQ=λ，即，即，
化简得，
所以，
化简得m（λm-2n）k2+2（λm-n-1）k+2λ-2m+2mn-λm2=0，
由于上式对无穷多个不同的实数k都成立，
所以．
如果m=0，那么n=-1，此时A（0，-1）不在双曲线C上，舍去．
因此m≠0，从而λm=2n=n+1，所以n=1，代入2λ-2m+2mn-λm2=0，
得2λ=λm2，解得，此时在双曲线C上．
综上，，或者，．
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