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2025-2026学年福建省泉州市丰泽区刺桐中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共46分。
1.已知ξ～N（8，σ2），若，则P（6≤ξ≤8）=（　　）
A. B. C. D.
2.的展开式中x2y3的系数是（　　）
A. B. C. -30 D. 30
3.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　）
A. f（a）＞f（e）＞f（d）
B. 函数f（x）的极值点为c,e
C. 函数f（x）的极大值为f（b）
D. 函数f（x）在[a,b]上递增，在[b,d]上递减
4.已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）=3x2-xf′（3）+2，则f′（1）=（　　）
A. -3 B. -8 C. 3 D. 8
5.某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　）
A. 36种 B. 72种 C. 144种 D. 288种
6.某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布N（95，82），将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级.若小明的数学成绩为105分，则属于等级（附：P（μ-σ＜X＜μ+σ）≈0.68，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≈0.95，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）≈0.99）（　　）
A. A B. B C. C D. D
7.已知函数f（x）=4ex-ax4在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
8.某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（　　）
A. 0.155 B. 0.175 C. 0.016 D. 0.096
9.下列求导正确的（　　）
A. B.
C. D. （xsinx）′=sinx+xcosx
二、多项选择题：本大题共2小题，共12分。
10.在的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A. 常数项是1120 B. 第四项和第六项的系数相等
C. 各项的二项式系数之和为256 D. 各项的系数之和为256
11.下列说法正确的是（　　）
A. 将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数有150种
B. 把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法有252种
C. 学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为
D. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知m为函数f（x）=x2-lnx的极小值点，则m= .
13.随机变量X的分布列如表所示，若，则D（3X-2）= .
X -1 0 1
P a b
14.甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目.已知甲同学每个项目合格的概率均为p（0＜p＜1），合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立.设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为E（Y），方差为D（Y），当E（Y）+D（Y）最大时，p= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
A市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了A市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数y（万人）与第x个月的数据：
x 1 2 3 4 5
y 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8
（1）根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，且回归方程中的，请计算相关系数r（精确到0.01），并判断是否可以认为y与x的线性相关性很强；
（2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关”.
喜欢 不喜欢 总计
男 100
女 60
总计 110
参考公式：
（1）相关系数.若|r|≥0.75，则认为y与x有较强的线性相关性.回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为；
（2），其中n=a+b+c+d.
临界值表：
α 0.010 0.005 0.001
xa 6.635 7.879 10.828
参考数据：，，，，336.32≈113090.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x（a+x2），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y+1=0平行.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）在[0，4]上的最大值、最小值.
17.(本小题15分)
某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程.
（1）在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望；
（2）求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率.
18.(本小题17分)
已知f（x）=xax-ex+1（a＞1）.
（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a≥e时，求证：f（x）≥0；
（3）当，试讨论函数f（x）的零点个数.
19.(本小题17分)
现有国际乒联认证的“3星”比赛用球和“2星”训练用球.已知一个球桶中共装有6个乒乓球，其中4个“3星”球，2个“2星”球.
（1）现从桶中任取一个球，记录球的星级后放入桶内，连续取球三次，记取到“2星”球的次数为X，求X的分布列与方差.
（2）若从桶中依次取球，每次取一个，取到“3星”球，则放回桶中，取到“2星”球，则不放回桶中，直至将“2星”球全部取出结束取球.
①求第三次取球取到“3星”球的概率；
②记第n次取球后结束取球的概率为Pn，求Pn.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】5
14.【答案】
15.【答案】r≈0.98，可以认为y与x有较强的线性相关性；
16.【答案】-6；
单调递增区间为和，单调递减区间为；
最小值为-4，最大值为40．
17.【答案】解：（1）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，
则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以E（X）=0×=；
（2）设事件B表示“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”，
设事件Ai（i=0，1，2）表示“第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是i”，
则由（1）可知，P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=，
由全概率公式可得，P（B）=P（A0）P（B|A0）+P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）==，
所以“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率为．
18.【答案】减区间为（-∞，0），增区间内为（0，+∞）；
证明见解析；
答案见解析．
19.【答案】X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
D（X）= ①．
②Pn=，n∈N*
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