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2025-2026学年福建省南平市顺昌县第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数，为z的共轭复数，则=（　　）
A. B. C. D.
2.用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（　　）
A. B. C. D.
3.已知||=6，||=4，与的夹角为60°，则（+2） （-3）=（　　）
A. -72 B. 72 C. 84 D. -84
4.如图，已知△ABC中，D为AB的中点，，若，则λ+μ=（　　）
A. B. C. D.
5.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（　　）
A. B. C. D.
6.设α、β为两个平面，l、n为两条直线，则下列结论中正确的是（　　）
A. 若l∥n,n α，则l∥α B. 若l∥α，l∥β，则α∥β
C. 若l∥α，l⊥β，则α⊥β D. 若α∩β=n,n⊥l,则l⊥α或l⊥β
7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,面积为S.若a=1，且4S=cosB+bcosA，则B=（　　）
A. B. C. D.
8.已知平面内有单位圆O，点P是不与点O重合的一点，若圆O上存在不重合的两点A，B使得，则的取值范围为（　　）
A. B. C. D. [1，2）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若复数z满足|z|2=iz,则z=（　　）
A. -i B. i C. 0 D. 1
10.△ABC中b=3，c=2，，则（　　）
A. a=3 B. ∠C的角平分线交AB于D，则
C. D. 在上的投影向量是
11.正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是（　　）
A. 直线A1C1与直线D1C所成角为 B. 二面角D1-BC-D的大小为
C. 直线D1C与平面ABCD所成角为 D. 平面A1BC1⊥平面A1C1D
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，若，则x= .
13.已知棱台的上、下底面面积分别是2，8，高为3，则棱台的体积等于 .
14.正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面BCF，
（1）求证：CD∥EF；
（2）求证：EF⊥平面BCF.
16.(本小题15分)
已知与的夹角θ=45°.
（1）求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边为a,b,c,向量，，且；
（1）求角A；
（2）若a=2，求△ABC周长的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为DD1的中点.
（1）求三棱锥B-PAC的体积.
（2）求证：直线BD1∥平面PAC.
（3）求异面直线BD1与PC1所成角的余弦值.
19.(本小题17分)
已知△ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别a,b,c,ab+sinAsinB=2bsinAsinC.
（1）用R表示c；
（2）求证：a2+b2=c2；
（3）若，D，E，F分别为线段CA，AB，BC上的点，且D，E，F构成等边△DEF，求△DEF面积的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】AB
12.【答案】
13.【答案】14
14.【答案】112π
15.【答案】在五面体ABCDEF中，因为正方形ABCD，所以AB∥CD，
又因为CD 平面ABFE，AB 平面ABFE，
所以CD∥平面ABFE，而CD 平面CDEF，平面CDEF∩平面ABFE=EF，
所以CD∥EF 因为正方形ABCD，所以CD⊥BC，
而平面ABCD⊥平面BCF，
平面ABCD∩平面BCF=BC，CD 平面ABCD，
所以CD⊥平面BCF，
由（1）知CD∥EF，
所以EF⊥平面BCF
16.【答案】
17.【答案】 （4，6]
18.【答案】 证明：设AC∩BD=O，连接OP，
因AB=AD=2，且ABCD-A1B1C1D1为长方体，
则四边形ABCD为正方形，故O为线段AC中点，
因点P为DD1的中点，则OP为△D1DB的中位线，则OP∥D1B，
又OP 平面PAC，D1B 平面PAC，
则D1B∥平面PAC
19.【答案】解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入已知等式ab+sinAsinB=2bsinAsinC，
得4R2sinAsinB+sinAsinB=4RsinAsinBsinC．
因为A，B∈（0，π），所以sinA＞0，sinB＞0，
两边同时除以sinAsinB得4R2+1=4RsinC．
即，故．
（2）证明：由（1）得，
当且仅当，即时取等号．
又因为sinC≤1，所以sinC=1，此时．
在△ABC中，，故由勾股定理，得a2+b2=c2．
（3）如图：
由得，
设等边△DEF的边长为m,∠CDF=α（0＜α＜π），
则CF=msinα，，
因为，且在△ADE中，，
所以∠AED=α，所以，
在△BEF中，由正弦定理可得，，即，
化简得（其中θ为锐角，且），
所以．
由（2）得，，所以．
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