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七年级数学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．“随意打开北师大版七年级下册数学教科书，正好是第30页”这个事件是
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件
2．花窗被称为“园林之眼”，是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式，以多种图案为基础，组成数种寓意吉祥如意的图案样式．下列四副花窗图样中，是轴对称图形的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
3．2026年全球可再生能源投资报告显示，某新型薄膜太阳能电池的光电转换效率突破世界纪录，达到，而其核心光电转换层厚度仅为米．数据“”用科学记数法表示正确的是
A． B． C． D．
4．下列各式中，计算结果不等于的是
A． B． C． D．
5．若等腰三角形的底边长为，底边上的高为，则该三角形的面积．若为定长，则
A．，是变量 B．，是常量 C．，是变量 D．，是常量
6．如图，点在线段上，点在线段上，，．则的理论依据是
A． B． C． D．
7．如图，数学活动课上小明设计了一个的正方形网格飞镖游戏板，其中每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点．假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），则他任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是
A． B． C． D．
8．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是
A． B． C． D．
9．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为
A． B． C． D．
10．若，则的值为
A． B． C． D．
11．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示乌龟从起点出发所行的时间，表示乌龟所行的路程，表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
12．如图，在三角形中，，，是射线上的动点．连接，过点作射线于点，点在边上（点不与点，重合），作交射线于点．若，则下列关于甲、乙说法的判断正确的是
甲：当点在线段上时，；
乙：当点在射线上时，．
A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人都正确 D．两人都不正确
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．若一个三角形的两边长分别为3，5，另一条边长为．若为整数，则的值可以为____________．（写出一个即可）
14．已知，，，四条直线如图所示．若，，，则__________
15．投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图．据此估计小新投壶一次投中的概率为____________（结果保留小数点后一位）．
16．点，在直线同侧，若是直线上的点，且是等腰三角形，则这样的点最多有___________个．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中，．
18．（8分）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）图中点的对应点是____________，的对应角是____________．
（2）若，，则的长为____________．
（3）若，，求的度数．
19．（8分）如图，在中，，的平分线交于点，于点，连接交于点．
（1）若，求的度数．
（2）若与的周长分别为20和6，求的长．
20．（8分）如图，质地均匀的转盘被分成面积都相等的八个扇形．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在某个区域内（若指针落在区域分界线上，则重新转动，直到落在某个区域内为止）．
（1）下列事件是随机事件的是____________．
A．指针落在标有9的区域内
B．指针落在标有数字的区域内
C．指针落在标有1的区域内
（2）某商场举行抽奖活动，规定转动转盘一次，指针落在标有1的区域内获得一等奖，落在标有偶数的区域内获得三等奖．要使获得二等奖的概率大于获得一等奖的概率，而且小于获得三等奖的概率，请帮助该商场设计一个获得二等奖的方案，并说明理由．（注意：二等奖与一等奖、三等奖不可兼得哦！）
21．（9分）某超市员工现需利用扶梯将60辆购物车从二层转运到一层，便于顾客使用．如图1，这是购物车整齐叠放的状态，已知购物车的数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．下表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长（米）与购物车数量（辆）的关系：
购物车数量/辆 1 2 3 4 5
车身总长/米 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
如图2，该超市的扶梯斜坡的长为15米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内．
（1）根据表格，写出购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式．
（2）在不考虑其他因素的影响下，该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕？请通过计算说明理由．
22．（9分）数学探究小组在学习完全平方公式时，发现可以利用恒等变形改变式子的结构，比如：．
类比推导：（1）________________________．
初步尝试：（2）已知，，求的值．
迁移应用：（3）已知，求的值．
23．（11分）如图1，直线与直线，分别交于点，，与互补．
（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，与的平分线交于点，与交于点，是上一点，且，试说明．
24．（12分）综合与实践
【情境】在学习“三角形”相关知识过程中，爱动脑筋的小鹏发现在如图1所示的图形中，两个等边三角形有一个公共顶点，此时产生了很多有趣的问题．
【模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形中，若把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．
【操作】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接和，试说明：．
【探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则和的数量关系是____________，和的位置关系是____________．
【拓展】
（3）如图3，是一个锐角三角形，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，交于点，求的度数．

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