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初升高数学衔接 核心公式与概念系统梳理
一、数与式
1.1 实数分类
实数 = 有理数 ∪ 无理数
有理数：整数、分数（有限小数、无限循环小数）
无理数：无限不循环小数，例：
实数基础性质
相反数：实数的相反数
倒数：非零实数的倒数
绝对值（分段函数）：
科学记数法：，满足 ， 为整数
1.2 幂的运算法则（为实数）
运算名称 公式
同底数幂相乘
同底数幂相除
幂的乘方
积的乘方
商的乘方
指数拓展定义
零指数：，0 的 0 次幂无意义
负整数指数：
分数指数：
1.3 乘法公式
公式名称 表达式
平方差公式
完全平方和/差
三数和平方
立方和
立方差
完全立方
实用拓展
分母有理化（平方差应用）：
配方法万能公式：
1.4 因式分解
分解方法 适用场景 示例
提公因式法 各项含相同公因式
公式法 匹配平方差、完全平方、立方和差
十字相乘法 二次三项式
分组分解法 四项及以上多项式
求根公式法 任意二次多项式
1.5 根式（）
根式核心性质
运算 公式
乘法
除法
平方还原
开方去根号
分母有理化两类
单根式分母：
共轭根式分母：
共轭根式分母：
二、方程与方程组
2.1 一元二次方程
标准形式：
求根公式：
判别式
取值 实数根情况
两个不相等实数根
两个相等实数根（二重实根）
无实数根（高中复数域有一对共轭虚根）
2.2 韦达定理（根与系数关系）
若 两根为 ，则：
常用变形推论
两根差值：
根的符号判定（前提）
两根均正：
两根均负：
两根异号：（无需判别式，直接判定）
两根均大于：
两根均小于：
一根大于、一根小于：（无需判别式）
2.3 分式方程
解题步骤
同乘最简公分母，化为整式方程
求解整式方程
必须检验：将根代入最简公分母，分母为 0 则为增根，必须舍去
2.4 无理方程（带根号方程）
解题步骤
单独分离根式，两边平方（多次平方彻底消根）
解对应有理方程
代入原方程检验，平方运算会产生增根，检验不可省略
2.5 二元二次方程组
核心思路：代入消元、加减消元，降次转化为一元二次方程求解
示例：由 代入得：，分解得 ，最终解为
三、不等式
3.1 不等式基本性质
对称性：
传递性：
加法不变号：
乘法分正负：
（正数不变号）
（负数必变号）
同向可加：
正同向可乘：
3.2 一元二次不等式（标准 ）
核心口诀：大于取两边，小于取中间，设 两根
方程根 解集 解集
两不等实根 或
二重根 （空集）
无实根 （全体实数） （空集）
3.3 分式不等式
标准解题流程：移项通分，右侧化为0，等价转化为整式不等式，必须保留分母不为0的限制条件
3.4 绝对值不等式（）
几何意义： 表示数轴上到原点的距离
不等式（） 等价形式 解集区间
或
或
通用型绝对值不等式：；
四、函数
4.1 函数定义
设为非空数集，若对内任意，存在唯一与之对应，则称 为函数，记作 。
自变量：；定义域：集合
因变量：；值域：
三要素：定义域、对应关系、值域；三要素完全相同才是同一函数
4.2 一次、正比例、反比例函数
函数名称 解析式 图像 核心性质
正比例函数 过原点直线 递增；递减
一次函数 直线 为斜率，为纵截距
反比例函数 双曲线 一、三象限；二、四象限，关于原点对称
4.3 二次函数三种表达式
形式 解析式 使用场景
一般式 通用形式，已知任意三点坐标
顶点式 已知顶点坐标
交点式 已知与轴两交点
二次函数核心参数
对称轴：
顶点坐标：
开口方向：开口向上；开口向下
与轴交点：
与轴交点：解方程 求解
单调性
：单调递减，单调递增
：单调递增，单调递减
4.4 二次函数闭区间最值
设对称轴
（1） 开口向上
对称轴位置 最小值 最大值
（区间左侧）
（区间内） （顶点）
（区间右侧）
（2） 开口向下
区间内顶点取最大值，最小值出现在离对称轴更远的区间端点；区间单调时直接取端点最值
4.5 函数图像变换（基础函数，）
变换操作 变换后解析式 变换说明
向左平移单位 左加
向右平移单位 右减
向上平移单位 上加
向下平移单位 下减
关于轴对称 x不变，y取反
关于轴对称 y不变，x取反
关于原点中心对称 x、y同时取反
轴下方图像翻折至上方 保留x轴上方图像，下方翻折向上
五、平面几何
5.1 三角形
基础性质
内角和，外角和
三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
面积公式：
特殊三角形
类型 核心性质
等腰三角形 两腰相等、两底角相等；底边上的中线、高、角平分线三线合一
等边三角形 三边相等，三内角均为，三线完全重合
直角三角形 勾股定理；斜边中线斜边；面积
三角形四线
中线：交于重心，重心分中线比例为
高线：三条高线交于垂心
角平分线：交于内心；角平分线定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例
垂直平分线：交于外心，外心到三角形三个顶点距离相等（外接圆圆心）
三角形全等判定
判定定理 适用说明
SSS（边边边） 三边对应相等的两个三角形全等
SAS（边角边） 两边及其夹角对应相等（非夹角不成立）
ASA（角边角） 两角及其夹边对应相等
AAS（角角边） 两角及其中一角对边对应相等
HL（斜边直角边） 仅适用于直角三角形：斜边、一条直角边对应相等
三角形相似判定
判定定理 核心性质
平行判定 平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似
AA（两角对应相等） 两角分别对应相等，三角形相似（最常用）
SAS 相似 两边对应成比例且夹角相等
SSS 相似 三边对应成比例
相似核心性质：对应角相等，对应边成比例；周长比=相似比，面积比=相似比的平方，对应高线、中线、角平分线比=相似比
5.2 解直角三角形
在 中，对边，邻边，斜边
三角函数 定义公式 特殊记忆
正弦 对斜
余弦 邻斜
正切 对邻
特殊角三角函数值（必背）
角度
三角恒等基础公式
平方关系：
商数关系：
互余关系：
5.3 四边形与圆
平行四边形核心性质
对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；判定：两组对边平行/相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分
矩形、菱形、正方形特殊性质
矩形：四个角为直角，对角线相等且平分
菱形：四条边相等，对角线互相垂直平分，对角线平分内角
正方形：兼具矩形、菱形所有性质，对角线垂直平分且相等
圆核心公式与定理
周长：；面积：
弧长公式：；扇形面积：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧
圆周角定理：同弧所对圆周角相等，圆周角等于圆心角的一半；直径所对圆周角为直角
切线性质：切线垂直于过切点的半径；切线判定：过半径外端且垂直于半径的直线为圆的切线
六、高中预备：简易逻辑用语
6.1 命题与四种命题
可以判断真假的陈述句叫做命题，分为真命题、假命题
命题类型 表达式（原命题：若则） 真假关系
原命题 与逆否命题同真同假
逆命题 与否命题同真同假
否命题 与逆命题同真同假
逆否命题 与原命题同真同假
6.2 充分条件与必要条件
逻辑关系 符号表示 通俗理解
是充分条件 有就够推出
是必要条件 有必须先有
充要条件 互相推出，等价关系
6.3 简单逻辑联结词
且（）：，全真则真，一假则假
或（）：，一真则真，全假则假
非（）：，真假相反

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