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2025-2026学年海南省海口市英雅盛彼德高级中高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x|x（x-1）≤0}，集合B={x|-1＜x＜1}，则A∪B=（　　）
A. {x|-1≤x≤1} B. {x|-1＜x≤0} C. {x|-1＜x≤1} D. {x|0＜x＜1}
2.已知向量=（1，2），=（x，-2）且⊥，则实数x等于（　　）
A. -7 B. 9 C. 4 D. -4
3.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
4.在 ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，b2=ac，则ABC一定是（　　）
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
5.若，且tanα=3tanβ，则sin（α-β）=（　　）
A. B. C. D.
6.若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（　　）
A. 2 B. C. 3 D. 4
7.在△BCD中，BC⊥CD，且BC=2，.点M在线段BD上，满足BM：MD=1：2，点N为BD的中点，则=（　　）
A. B. C. D.
8.若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，则ω的最小值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则（　　）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则（　　）
A. f（x）的最小正周期为2π B. 若f（θ）=2，则
C. f（x）在区间上单调递增 D. f（x）的图象关于点中心对称
11.△ABC中b=3，c=2，，则（　　）
A. a=3 B. ∠C的角平分线交AB于D，则
C. D. 在上的投影向量是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与不共线，且，，.若A，B，C三点共线，则k= .
13.已知向量满足，则与的夹角大小为 .
14.已知，则=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，且.
（1）求角B；
（2）若△ABC的面积为，求边AC上的高BD的长.
16.(本小题15分)
已知平面四边形ABCD的四个内角均小于π，AB=2，AD=1，BC=CD且BC⊥CD.
（Ⅰ）若∠BAD=，求△ACD的面积；
（Ⅱ）若AD∥BC，求cos∠BAD.
17.(本小题15分)
如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点F，设，.
（1）若，求x,y的值；
（2）若，∠BAD=60°，求cos∠AFB.
18.(本小题17分)
如图，是函数图象的一部分.
（1）求函数f（x）的解析式.
（2）将函数f（x）的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图象.
①求函数g（x）在[0，π]上的单调递增区间；
②若关于x的方程g（x）=k+1在区间上恰有两个不同的实数解，求实数k的取值范围.
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量，.作：，当不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.
（1）分别根据下列已知条件求；
①，；
②，；
（2）记，，，且满足，，，求的最大值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】7
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，
由正弦定理可得，
因为B，C∈(0，π)，则sinC＞0，
所以，
则，故；
（2）由，得ac=4，
因a=c+2，所以a-c=2，
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得b2=(a-c)2+2ac-2accosB，
所以，解得，
所以，
所以．
16.【答案】解：（Ⅰ）设BC=CD=x，
∵BC=CD且BC⊥CD，即△BCD为等腰直角三角形，
∴BD=x，
在△ABD中，由余弦定理知，BD2=AB2+AD2-2AB AD cos∠BAD，
∴2x2=4+1-2×2×1×cos=3，
∴x=，
∴BD=，∠ADB=，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=+=，
∴△ACD的面积S=AD CD sin∠ADC=×1××=．
（Ⅱ）∵AD∥BC，BC=CD且BC⊥CD，
∴∠ADC=，∠ADB=，
在△ABD中，由正弦定理知，=，
∴=，
∴sin∠ABD=，
∵AD＜AB，∴∠ABD＜∠ADB=，∴cos∠ABD==，
∴cos∠BAD=-cos（∠ADB+∠ABD）=-cos∠ADB cos∠ABD+sin∠ADB sin∠ABD
=-×+×=．
17.【答案】解：（1）在菱形ABCD中，E是CD的中点，DE∥AB，
则，
可得，
又因为，
所以由平面向量基本定理得：，．
（2）因为，∠BAD=60°，所以，且，
因为，，
所以，
又因为，，
所以．
18.【答案】 ①；②[1，3）
19.【答案】①5；②0
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