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2025-2026学年甘肃省陇南市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.从装有6个红球，3个白球的袋子中，不放回地依次抽取2个小球，在第一次抽取到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（　　）
A. B. C. D.
2.下列求导运算正确的是（　　）
A.
B. [（x2+2）sinx]′=2xsinx+（x2+2）cosx
C.
D.
3.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x4的项的系数是（　　）
A. -15 B. 85 C. -120 D. 274
4.若函数f（x）=x2+alnx-x+1（a∈R）在上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A. [0，+∞） B. （0，+∞） C. D.
5.某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.若函数f（x）的定义域为（0，+∞），且xf（x+1）-（x+1）f（x）=2x（x+1），f（1）=1，则f（2026）=（　　）
A. 2026×2027 B. 2026×2028 C. 2026×4051 D. 2026×4052
7.当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术.在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率.假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”.已知P（A）=0.3，P（B）=0.4，，则P（A|B）=（　　）
A. B. C. D.
8.已知，，c=e,则（　　）
A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. b＞c＞a D. c＞b＞a
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f（x）=2x3+6x2+ax,则（　　）
A. a∈R，f（x）是增函数
B. a∈R，f（x）是奇函数
C. 若f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3=-3
D. 过点（0，m）且与曲线y=f（x）相切的直线恰有3条，则-2＜m＜0
10.已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（　　）
A. n=11 B. 展开式的二项式系数和为212
C. 展开式的各项系数和为 D.
11.已知函数f（x）=（x2-x）lnx,下列说法正确的是（　　）
A. f（x）的零点为x=1 B. f（x）有两个极值点
C. f（x）在x=1处取得极小值 D. f（x）在上单调（0，1）递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A=2=272（m，n∈N*），则m+n= ______．
13.的展开式中，x的系数为______．
14.已知曲线f（x）=（x+a）ex在点（-1，f（-1））处的切线与直线2x+y-1=0垂直，则实数a的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为200，每局比赛，棋手胜加100分；平局不得分；棋手负减100分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为300时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为，，，且各局比赛相互独立.
（1）求两局后比赛终止的概率；
（2）在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
（3）在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记n（n≥10）局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为P（n），求P（n）的最大值.
16.(本小题15分)
某商场组织抽奖活动，规则如下：在一个不透明的盒子中装有10个形状、大小、质地完全相同的小球，其中白球4个，红球6个.每位顾客从盒子中随机抽取1个球，记录颜色后放回盒子中.若抽得白球，则获得九折优惠券；若抽得红球，则获得七折优惠券.每位顾客只有一次抽奖机会.
（1）求前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券的概率；
（2）若一个不透明的盒子中共有N（N∈N*，N≥3）个形状、大小、质地相同的小球，其中红球的个数是一个离散型随机变量X.证明：从该盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为；
（3）为增加趣味性，商场第二天调整了规则：在每位顾客抽奖完成并放回小球后，店员往盒子中增加3个与刚才取出球颜色不同的小球（若取出红球，则增加3个白球；若取出白球，则增加3个红球），然后下一位顾客再进行抽奖.已知第一位顾客抽奖前，盒子中仍为4个白球和6个红球.求第n位顾客获得七折优惠券的概率Pn.
参考公式：若X，Y是离散型随机变量，有E（X+Y）=E（X）+E（Y）.
17.(本小题15分)
以下各小题要求列出算式，并计算出结果.某高校组织1位老师带领3名男生、3名女生参加志愿服务活动.
（1）活动开始前7人排成一排合影留念
①若要求老师站在中间，甲、乙两位学生均与老师相邻，共有多少种不同的排法？
②若老师站在队列的排头或排尾且女生互不相邻，共有多少种不同的排法？
（2）现从6名学生中选1人与老师留在原地，其余5人分配到3个服务站点进行志愿服务.
要求每个站点至少一名学生，每名学生只能分配到一个站点，共有多少种分配方式？
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=xlnx-ax2.
（1）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）≥-ex-1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a=2，恒成立，求的最大值.
19.(本小题17分)
已知函数，其中a∈R.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）有三个零点x1，x2，x3，其中x1＜x2＜x3，函数g（x）=x2f（x）的两个极值点分别为m,n（m＜n）.
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】AD
11.【答案】ABC
12.【答案】19
13.【答案】10
14.【答案】
15.【答案】；
；
．
16.【答案】 证明：，
设“从盒中随机抽取1个球，抽到红球”为事件B，
由全概率公式可得，
所以从盒中随机抽取1个球，抽到红球的概率为
17.【答案】①48；②288 900
18.【答案】 （-∞，1] - ln2
19.【答案】x+y-1=0 （i）；（ii）因为，g（x）=a（1-x2）+xlnx，
所以，所以，
所以也是f（x）的零点，所以，
所以x1x3=1，所以x1x2x3=1，所以f（x1x2x3）=f（1）=0．
又因为g（x）的两个极值点分别为m，n，
所以m，n是g′（x）=0，即的两个变号根，
所以直线y=2a与有两个不同的交点，其横坐标分别为m，n，
因为，令p′（x）＜0，得x＞1，令p′（x）＞0，得0＜x＜1；所以p（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，且0＜m＜1＜n，1＜2-m＜2，p（m）=p（n），
令k（x）=p（x）-p（2-x），0＜x＜1，则，
因为0＜x＜1，所以1＜2-x＜2，所以0＜x＜1＜2-x＜2，
所以（2-x）2＞x2＞0，ln（2-x）＞0，2x-x2=-（x-1）2+1∈（0，1），
所以，
所以，所以k′（x）＞0，
所以k（x）=p（x）-p（2-x）在（0，1）上单调递增，所以k（x）＜k（1）=0，
所以p（x）＜p（2-x），所以p（m）＜p（2-m），所以p（n）＜p（2-m），
所以n＞2-m，所以，
所以
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