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2025～2026 学年第二学期高二期末监测
数学试题参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 A C C B C B D A
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．
题号 9 10 11
选项 AB AC ACD
8．简析：由正弦定理知 且
设 ，则 .
由 得
化简得：
所以
从而
化简得
所以
即 .
11．简析：对于选项 A，取 中点 ，连接 ， ，则四边形 为过 三点的截面，其
周长为 ，A正确；
对于选项 B，将 与 沿直线 展开到同一平面内，如图所示，
（当且仅当 为线段 与 交点时取等号）， ；
， ， ；
，
为等边三角形， ，
，
，
的最小值为 ，B错误；
对于选项 C，因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，故 上任意一点 到平面 的距离都相等，
设其为 ，则 与平面 所成角 的正弦值 ，
当点 为 中点， 最小，此时 ， 为最大．
又 ， ，
所以 ，同理 ，又 ，所以 .
根据 ，可得 ，
即 ，解得 ，
此时 ，故 C正确；
对于 D选项，设三棱锥 的外接球球心为 ，外接球半径为 ，线段 的中点为 ，截面
圆的半径为 ，要使得过点 的截面面积最小，则 垂直截面圆.因为三棱锥 的外接球也
是正方体的的外接球，所以 .
由题意可得 ，
则 ，所以截面圆的面积为 .
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12． 13． 14．
14．记底面△ 外心为 ，侧面△ 外心为 ， 交 于点 ，则 ，
三棱锥外接球的球心 落在过 且垂直底面 的直线上，
因为三棱锥 的外接球的体积为 ，
所以外接球半径
由 得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，则点 到平面 的距离为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．
15．（本题满分 13 分）
解：（1）因为 ， ， ， ....................2 分
则 ， ................4 分
所以 ． .................................6 分
（2）若向量 与 相互垂直，
则 ，即 ， .............11 分
解得 ． ...................................13 分
16．（本题满分 15 分）
解：（1）由题意可知， ，解得 ； .......4 分
，
所以中位数为 ..........................7 分
（2）设第二组、第四组的平均数分别为 ，方差分别为 ，
且各组频率之比为：
，
所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者 人，
第四组面试者 人， .........................9 分
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数 ， 11 分
第二组、第四组面试者的面试成绩的方差
故估计第二组、第
四组面试者的面试成绩的方差是 ． .........................15 分
17．（本题满分 15 分）
解：（1）设事件 “活动一获胜”，事件 “活动二获胜”，
事件 “活动三获胜”， ...................................1 分
活动一取出一个小球的样本空间为 ，则 ，
因为 ，所以 ，从而 ，
即活动一获胜的概率为 ； .................................3 分
活动二中有放回地依次取出两个小球的样本空间为 ，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以活动二获胜的概率为 ． ........6 分
（2）活动三不放回地依次取出两个球的样本空间为
，则 ，
因为 为含有一个奇数一个偶数，所以 ，则 ，
即活动三获胜的概率为 ． ...............................8 分
设 “先玩活动二，获得挂件”， “先玩活动三，获得挂件”，
则 ，且 两两互斥， 两两独立，所以
， ...........................11 分
又 ，且 互斥， 独立，所以
， ...........................14 分
因为 ，所以接下来该顾客应该先玩活动三能使获得挂件的概率更大． 15 分
18．（本题满分 17 分）
解：（1）在线段 上取点 ，使得 ，则四边形 是平行四边形，故 ，连接
，故 是异面直线 所成角（或补角）， ， ，
由勾股定理， .
由余弦定理得 ，
故异面直线 所成角的余弦值是 . ......................4 分
（2）若 分别是 上的点，且 ，
连接 ，又 ，
所以 ，即 四点共 面，
由 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
同理可证 平面 ，又 ，且都在平面 内，
所以平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 . ........................................9 分
（3）等腰梯形 中， ， ， ，垂足为 ，故 ,
连接 ，则易得 ，
过 作 于 ，连接 ，
因为 ，
所以 ，又 ，
所以 为二面角 的一个平面角， ...............11 分
故 ， ........13 分
同理，过 作 于 ，连接 ，则 为二面角 的一个平面角，故
， ..............15 分
根据 ，解得 . ..........................16 分
故 ....................................17 分
19．（本题满分 17 分）
解：（1）因为 ，
所以 ，
整理可得， ， ..........................3 分
（2）（i）由 ，
可得 ，4 分
因为 为锐角，则有：
①若 ，即 ，则 ，
且 在 内单调递增，
可得 ，且 ， ，
即 ， ，
可得 ，不合题意； ..........5 分
②若 ，即 ，则 ，
且 在 内单调递增，
可得 ，且 ， ，
即 ， ，
可得 ，不合题意； .......6 分
③若 ，即 ，则 ， ，
即 ， ，
可得 ，符合题意；
综上所述： ，即 ，可得 ， ...............7 分
又因为 ，即 ，
可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
则 ，所以 周长的最小值为 ． ....9 分
（ii）由（i）知 ，则 ，
设 , ， ..........................10 分
，
因为 ，则 ， ..........................11 分
则 ，则 ，
则 .....13 分
，
易知函数 在 上单调递减， ....................15 分
则 ，
则 ．
所以 ． ...............................................17 分

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