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宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．随机变量，满足：，，若，则
A．5 B．4 C．7 D．9
2．在2021中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰，5架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（ ）
A．51种 B．168种 C．224种 D．336种
3．已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲最终以获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P（X＝3）＝（　　）
A． B． C． D．
6．已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为，第二次正面向上的点数为b，记事件“a为奇数”，事件“”，则（ ）
A． B． C． D．
8．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个６点”，则条件概率，分别是
A．， B．， C．， D．，
二、多选题
9．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．
D．存在，使得为等差数列
10．下列有关说法正确的是（ ）
A．的展开式中含项的二项式系数为20；
B．事件为必然事件，则事件、是互为对立事件；
C．设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为，；
D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则.
11．甲每次掷骰子，若点数不超过三点，则给甲加1分，若点数超过三点，则给甲减1分．已知甲的初始积分为0分，甲重复掷骰子次后，记甲的得分为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当为偶数，且时，越大，其概率越小
D．若，则为偶数，且越大，越小
三、填空题
12．若展开式中第5项为常数项，则含项的系数为______（用数字表示）．
13．在平面直角坐标系中，点集，在中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过的概率为_____．
14．乒乓球被称为我国的“国球”.甲 乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.
①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________.
②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________.
附：当时，，.
四、解答题
15．已知展开式中前三项的二项式系数和为16.
（1）求的值；
（2）求展开式中含的项的系数.
16．假设某射手每次射击命中目标的概率为．现有5发子弹，该射手射中目标2次就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为．
(1)求；
(2)在的条件下，求该射手第2次射击射中目标的概率；
(3)求的概率分布和期望．
17．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：抽奖方案有以下两种：方案a，从装有2个红球 3个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b：从装有3个红球 2个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中.抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a，b各抽奖一次）.已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元.
(1)若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望；
(2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖？
18．已知函数，.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若恰有三个不同的零点（）.
①求实数的取值范围；
②求证：.
19．六一儿童节，某商场为了刺激消费提升营业额，推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动，奖品是4款不同造型的玩具摩托车与4款不同造型的玩具跑车（每款车的数量都充足），主办方将大小相同的8个乒乓球上分别标注1，2，3，4，5，6，7，8，其中标注数字1，2，3，4的乒乓球分别代表4款不同造型的摩托车，5，6，7，8的乒乓球分别代表4款不同造型的跑车，并将这8个乒乓球放在一个不透明箱子内．活动规定：儿童节当天在该商场消费满100元的消费者可从摸奖箱内摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满200元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满300元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；，依此类推，消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品．
(1)若小明的家长当天在该商场消费恰好满400元，求这位家长能获得2款相同造型摩托车与2款不同造型跑车的概率；
(2)若本次活动小明家获得的奖品是2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车，小英家也获得2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车．
①从他们两家获得的这8台车中随机抽取5台，如果抽出的5台车中有台摩托车，求的分布列和数学期望；
②若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖品也可以参加第二次交换，求两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车的概率．
试卷第1页，共3页
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《宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D D D D D A BCD CD
题号 11
答案 ACD
12．
13．
14． /0.2109375 .
15．（1）5；（2）80.
【详解】解：（1）由题意，展开式中前三项的二项式系数和为16.
即：，解得：或（舍去）.
即的值为5.
（2）由通项公式，
令，可得：.
所以展开式中含的项为，
故展开式中含的项的系数为80.
16．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）前2次命中目标1次，第3次命中目标，则
（2）前3次命中目标1次，第4次命中目标，则．
记该射手第2次射击射中目标为事件，耗用子弹数为4为事件，
则．
所以．
（3），，，
．
所以．
17．(1)9
(2)应按方案抽奖两次，按方案抽奖一次
【详解】（1）顾客A只选择方案进行抽奖，则其抽奖方式为按方案抽奖三次，
按方案一次抽中的概率，
设中奖次数为,此时，
则所获奖金为,其期望为，
顾客A只选择方案进行抽奖，其所获奖金的期望值为9元．
（2）按方案一次抽中的概率，
假设①，顾客A按方案抽奖两次，按方案抽奖一次，
此时方案的抽法的中奖次数，
按方案一次抽中的概率,
设此种情况下所得奖金为，
则，
假设②，顾客A按方案抽奖两次，设所得奖金为,
此时中奖次数，
,
，
要使所获奖金的期望值最大，顾客A应按方案抽奖两次，按方案抽奖一次．
18．（1）;（2）①;②证明见解析
【详解】（1）解：当时，，所以.
则当时，，即切线的斜率为2，又由，则，
所以曲线在处的切线方程为.
（2）①解：由题意可得，关于的方程在上有三个不同的解.
即关于的方程在上有三个不同的解.令.
所以.
显然，当时，，证明如下：
令.
当时，，函数在单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
所以当时，取最小值.所以，当时，.
令，可得或.将变化情况列表如下
1
0 0
极小值 极大值
又当时，，当.
所以，实数的取值范围为.
②由①可知，当时，.
令，则，即.
不妨设，则.又，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
显然，当时，；当时，.
所以.
所以
.
即.
19．(1)
(2)①分布列见解析，；②
【详解】（1）记“小明的家长得到2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车”为事件，
则，
所以小明的家长获得2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车的概率为.
（2）①依题意，的所有取值为1，2，3，4，
，
的分布列为：
1 2 3 4
所以数学期望.
②两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车，包括3种情况：
（i）第一次交换后小明家是2台摩托车2台跑车，
其概率；
（ii）第一次交换后小明家是1台摩托车3台跑车，
其概率；
（iii）第一次交换后小明家是3台摩托车1台跑车，
其概率，
因此所求概率．
答案第1页，共2页
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