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宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．年美加墨世界杯开赛前天，每天的进球数如下：，按从小到大的顺序将其排序为：，则这组数据的第百分位数和平均数分别是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
2．若直线经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数的值为
A． B． C． D．
3．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B． C． D．0
4．下列说法不正确的是（ ）
A．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直
B．共点的三条直线两两垂直，它们中每两条直线确定的平面也两两垂直
C．两个平面垂直，过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
D．两个平面垂直，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线
5．从3名男生和2名女生中任选3人参加志愿者活动，则所选3人中既有男生又有女生的概率为（ ）
A． B．
C． D．
6．将下面的展开图恢复成正方体后，的度数为（ ）
A．22.5° B．45° C．60° D．90°
7．已知都是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
8．在平行四边形中，为的中点，点在上，且，设，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（ ）
A．
B．的虚部为1
C．存在，使得
D．在复平面内对应的点不可能在第四象限
10．在中，三边长分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在棱长为1的正方体中，点，满足，，则（ ）
A．平面
B．若与平面所成角为，则点的轨迹长度为
C．当时，满足到直线与到平面的距离相等的点有两个
D．当时，四面体外接球体积为
三、填空题
12．已知中，，，为边上的中线，若，则_________.
13．若甲、乙、丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别0.7，0.6，0.5，则甲、乙、丙至少有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为______.
14．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______．
四、解答题
15．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且.
(1)求或的概率；
(2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232加或大于248的零件个数，求的概率.
16．如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，是的中点，，，．
(1)求证：∥平面；
(2)求三棱锥的体积．
18．如图，正三角形的边长为6，，分别是边，上的点，且，，其中，为的中点．
（1）若，求；
（2）设为线段的中点，若，求的最小值．
19．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 .
请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
条件：①；②.
(1)证明：；
(2)若的平分线交于，，，求的值；
(3)求的取值范围.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A C D C A C AD ABC
题号 11
答案 AD
12．9
13．/
14．
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为零件尺寸z服从正态分布，
所以，
因为，所以.
故或的概率为.
（2）依题意可得，
所以.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
，
设是平面的一个法向量，
则，
取，则，即，
因为，所以，
又平面，∴平面．
（2）由（1）知是平面的一个法向量，
是平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
17．(1)证明：连接交于，且连接，则为的中点．
因为是的中点，所以为的中位线，所以，
又因为面，面，所以面
(2)
【详解】（1）略
（2）因为，为的中点，所以，
又因为，所以，
因为，面，，所以面，
菱形中，，，所以，所以，
因为为的中点，所以点到面的距离为
又
所以
所以三棱锥的体积为．
18．（1）；（2）．
【详解】解：【法一（基底法）】
（1）当时，，
，
．
（2），，
则，
则
．
当时，的最小值为．
【法二（坐标法）】
以所在直线为轴，其中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
（1）由，得，
则，，．
（2）∵，，
∴，，
为线段的中点，则，
则，
当时，的最小值为．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）若选①：因为，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，或（舍去），即；
若选②：由正弦定理及，
得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以或（舍去），
所以；
（2）因为，为锐角，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，；
（3）由是锐角三角形，，，，可得，
所以，
，
令，则，在上单调递增，
而，，
所以，
所以.
答案第1页，共2页
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