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宁夏石嘴山市平罗中学2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．为了了解某年级同学每天参加体育锻炼的时间，比较恰当地收集数据的方法是（ ）
A．查阅资料 B．问卷调查 C．做试验 D．以上均不对
2．样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
3．已知向量的夹角为60°，，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．已知某地区有中学生9000人，其人数情况和近视情况分别如图1和图2所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该地区高中生近视的人数是1800
B．该地区初中生近视的人数是3600
C．该地区初中生近视的人数低于高中生近视的人数
D．该地区中学生近视的人数占总人数的45%
5．已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则＝（ ）
A．3 B． C．6 D．12
7．已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．已知四棱锥的底面是矩形，平面，若直线与平面，平面和平面所成的角分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（ ）
A．图（1）的平均数中位数众数
B．图（2）的众数<平均数<中位数
C．图（2）的众数<中位数<平均数
D．图（3）的中位数平均数众数
10．已知，则（ ）
A．为纯虚数 B．
C． D．在复平面内对应的点在第二象限
11．已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，E为中点，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．异面直线与所成的角的余弦值为
C．与平面所成的角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为
三、填空题
12．已知向量，若，则_________．
13．从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如表所示，则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多__________人．
生活能否自理 男 女
能 178 278
不能 23 21
14．已知边长为的菱形ABCD中 沿对角线BD折成二面角的大小为的四面体，则四面体的外接球的表面积为__________.
四、解答题
15．某校两个班级准备参加全市“三农”农业、农村和农民科普大赛，每班各自随机选出10名学生，测验“三农”科普成绩满分10分以评估对“三农”的了解程度，测验成绩如下单位：分：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲
乙 9 6
(1)分别计算两个样本的平均值和方差；
(2)根据计算结果估计哪个班的成绩更稳定？假如两个班级的“三农”科普成绩处于全市班级的中等偏上水平，该校为了获得更好名次，选择哪个班级参赛？并说明理由．
16．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．
（1）求；
（2）若（，），求的值.
17．某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
(3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差.
（附：设两组数据的样本量 样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）
18．如图，在直角梯形中， 且现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使 M为的中点.
(1)是否存在上一点使得平面 平面，若存在，请求出此点的位置并加以证明，若不存在，请说明理由；
(2)求证：平面平面；
(3)求点到平面的距离.
19．在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点．
(1)求角的大小；
(2)若是的角平分线，的周长为19，求的长度；
(3)若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《2026年7月7日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A D C C D AC BC
题号 11
答案 ACD
12．
13．
60
14．
15．(1)
甲班样本平均值为，方差为；乙班样本平均值为，方差为.
(2)
甲班成绩更稳定；应选择乙班参赛，理由如下：
甲乙两班平均成绩相同，整体均处于中等偏上水平；
乙班成绩波动更大，存在9分、8.4分等高分数，最高成绩高于甲班的最高成绩，冲击更高名次的可能性更大，因此选择乙班参赛.
【详解】（1）设样本平均值为，样本方差为，样本容量，
① 对于甲班样本：
，
；
② 对于乙班样本：
，
.
（2）因为，方差越小成绩波动越小，因此甲班成绩更稳定；
选择乙班参赛，理由略.
16．（1）14；（2）.
【详解】解：如图，分别以边，所在的直线为轴，轴，
点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，.
（1）∵，，
∴.
（2）∵，，，
由，得，
∴解得
∴.
17．(1)平均数为，众数为.
(2).
(3)平均数为，方差为.
【详解】（1）一至六组的频率分别为，
平均数.
由图可知，众数为.
以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分.
（2）前4组的频率之和为，
前5组的频率之和为，
第分位数落在第5组,设为x，则，解得.
“防溺水达人”的成绩至少为分.
（3）)的频率为，)的频率为，
所以的频率与的频率之比为
的频率与的频率之比为
设内的平均成绩和方差分别为，
依题意有，解得
，解得，
所以内的平均成绩为，方差为.
18．(1)存在，为的中点，
证明：取中点，连接，．
在中，，分别为，的中点，
所以，且．
由已知，，所以，且．
所以四边形为平行四边形．所以．
又因为平面，且平面，所以平面．
因为，分别为，的中点，所以，
又因为平面，且平面，所以平面.
因为平面，
所以平面 平面.
(2)证明：在正方形中，，
因为平面，
所以平面.
平面.
在直角梯形中，，.
取的中点，连接，则四边形为正方形，所以，
所以，
在中，，
所以，故，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（3）在直角梯形中，，，可得，．
由(2)知，平面平面，且为交线，
过点作的垂线交于点，则平面
所以点到平面的距离等于线段的长度
在直角三角形中，，
所以，
又是的中点，所以点到平面的距离等于．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）且
，即.
.
又，则，结合，；
（2）而
为角的角平分线
.
即，；

（3）设，则；
设，则.
在中即
在中
即，
则.
又，，而，
，
由和差化积公式可得.
则.
，；
解法二：，
，
.
．
.
，
.

答案第1页，共2页
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