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广西南宁市第二中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A．4 B． C．3 D．
2．在边长为的正三角形中，的值为
A． B． C． D．
3．已知是两条直线，是三个平面，则正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（ ）
A． B． C． D．
5．已知一组样本数据，，…，（）的均值和方差分别为2和3，则，，…，的均值和方差分别为（ ）
A．6和9 B．8和11 C．6和18 D．8和27
6．一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，内角、、的对边分别为、、，若的面积为，且，，则为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（ ）
A． B． C．或 D．3或
二、多选题
9．已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若与互斥，则
B．若与相互独立，则
C．若，则事件与相互独立
D．若，则
10．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的有（ ）
A．中位数为3，众数为3 B．平均数为3，众数为4
C．平均数为3，中位数为3 D．平均数为2，方差为2.4
11．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ）
A．直线与直线所成角的正切值为
B．当时，截面S的形状为等腰梯形
C．当时，S与交于点R，则
D．当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是
三、填空题
12．已知向量，，且，则__________．
13．已知，，则______.
14．吃粽子是端午节标志性的习俗之一．现在生活中常见的粽子形状为三角粽（有四个面，每个面都为三角形），因为三角粽的四个面都能用到完整的叶片，不需要多余的弯折，如果方形的粽子，包裹米粒的叶面要与其他面衔接处太多，容易把米漏出来，为避免漏出米粒就要过度折叠叶子，叶子在顺着植物纤维方向有韧性，但垂直向上是很容易扯破不容易成形．如图是某三角粽的平面展开图，其中，，若该三角粽的四个顶点都在某个球的球面上，则该球体的体积为__________．
四、解答题
15．为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间（单位：时）按照、、、、分成组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中的值并估计样本数据的第百分位数；
(2)按分层随机抽样的方法从上周体育锻炼时间在、的住户中选取人，再从这人中任意选取人，求这人上周体育锻炼时间都不低于小时的概率.
16．如图，已知正三棱柱中，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值．
17．在中，，，
(1)求证：；
(2)若，，求实数的值.
18．如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，
(1)求证：平面；
(2)是线段上的动点，当平面平面时，求线段的长；
(3)在棱上是否存在一点，使得二面角平面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．设函数．
(1)求的值；
(2)求方程的最小的9个正实数解之和；
(3)已知a，b均为正实数，若对都有恒成立，求的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C A D C B A ABC BD
题号 11
答案 ABD
12．
13．1
14．
15．(1)，第百分位数为
(2)
【详解】（1）解：，解得.
设样本数据的第百分位数为，
因为样本数据在的频率为，
样本数据在的频率为，
则，所以，解得，
故估计样本数据的第百分位数为.
（2）解：上周体育锻炼时间在的频数为，
上周体育锻炼时间在的频数为，
按分层随机抽样的方法选取人，
则上周体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、，
体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、、，
所以从这人中随机抽取人的情况有、、、、、、、、
、，共种，
其中，事件“所抽取的人上周体育锻炼时间都不低于小时”包含的情况有、
、，共种，
则所求的概率.
16．(1)连接交于点，连接，
因为三棱柱为正三棱柱，所以侧面为矩形，所以为的中点，
又因为点为的中点，所以在中，为中位线，故，
因为平面，平面，所以平面．
（2）过点作，
在正三棱柱中，平面，，
因为平面，所以，
又为的中点，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，，所以平面，
所以为与平面所成角，
因为，点为的中点．
在中，，
所以，即与平面所成角的余弦值为．
17．(1)证明见解析
(2)或
【详解】（1）在中，由余弦定理得：
，所以
，
，
所以
因为A，B为三角形的内角，且，所以
（2）因为，，所以点D在AC上.
由（1）知，设，
在中，由余弦定理知：
化简得：.
解得或.
当时，，；
当时，，.
综合上述，或.
18．(1)因为侧面，侧面，得 ，
由，
则，
所以，所以，
又交于点B，且都在平面内，故平面.
(2)
(3)
【详解】（1）略
（2）由已知侧面，平面，知平面平面，
过作于，平面，平面平面，
则平面，因平面，故平面平面，
此时 .
（3）上存在点，使得二面角平面角的正切值为.
由（2）知：平面，平面，则，
过P作交于，且都在平面内，
所以平面，则二面角的平面角为或其补角，
设，则，，.
由，则，所以，
由，即，
解得或（舍去）.
所以，所以.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1），
．
（2）已知，由（1）知，
，即，解得或，
此方程最小的9个正实数解之和为：．
（3）已知恒成立，即恒成立，
设，则有，，
设，
①时，要满足题意则需，即，
，即；
②时，要满足题意则需，即，
设，则，
，即，整理得，
要满足题意则此不等式有解，即，解得，
当，时取等号，
综上所述，的最大值为2．
答案第1页，共2页
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