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北京市昌平区2025=2026学年第二学期初二年级期末质量抽测
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 杨辉三角 B. 割圆术
C. 赵爽弦图 D. 洛书
2.下列各曲线中，能表示是的函数的是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数是常数的随的增大而增大，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.一元二次方程根的情况是( )
A. 有两个相等的根 B. 没有根 C. 无法确定 D. 有两个不相等的根
5.小田在整理一组数据时，列式如下：，则下列结论不正确的是( )
A. 众数是 B. 方差是 C. D. 离差平方和是
6.我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是( )
A. B. C. D.
7.如图，在 中，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程米与所用的时间分的函数关系如图所示．给出下面四个结论：比赛全程米；分钟时，甲、乙相距米；乙到达终点时，甲距离终点还有米；分秒时，乙追上甲．上述结论中，所有正确选项的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.已知点，点与点关于轴对称，则点的坐标是 ．
10.一次函数的图象经过一、二、四象限，则 填“”或“”．
11.为了解某校初二年级名女生的跳绳情况，从中随机抽取名女生进行调查，体育委员统计了秒跳绳的次数，列出如下频数分布表：
次数
频数
根据以上数据，估计全年级女生跳绳次数在范围的女生的人数共 ．
12.一元二次方程的解为 ．
13.菱形的对角线，交于点，，，则菱形的周长为 ．
14.若点，都在一次函数的图象上，则 填“”或“”．
15.设，是关于的方程的两个根，且，则 ．
16.如图，在平面直角坐标系中，点，，四边形为正方形，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形给出下面四个结论：
当时，点的纵坐标是；
点与原点距离的最小值是；
若点在轴正半轴上，则点的横坐标是；
若直线将正方形分为面积相等的两部分，则点的纵坐标是．
上述结论中，所有正确的结论的序号是 ．
三、解答题(本题共68分，第17，19-21，25-26题，每小题6分，第18，24题，每小题5分，第22-23题，每小题4分，第27-28题，每小题7分)
17.解方程：
配方法；
．
18.如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，中三个顶点的坐标为，，．
请画出与关于原点成中心对称的图形的对应点分别为，，；
将以点为旋转中心顺时针旋转得到的图形为的对应点分别为，，，请画出，并写出的坐标．
19.已知函数，解决下列问题：
画出此函数的图象；
根据图象直接写出当时，的取值范围．
20.如图，在中，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点．
求证：四边形是平行四边形；
已知，，求的长．
21.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于轴的直线交于点．
求这个一次函数的解析式及点的坐标：
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
22.【课本再现】
下面是直角三角形关于斜边中线的一个性质定理及证明此定理的两种添加辅助线的方法：
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，点为斜边的中点，连接求证：．
方法一：如图，延长到点、使，连接，． 方法二：如图，过点作，交于点，，交于点．
请你选择其中一种证法，继续完成证明过程．
23.某区成功举办公路自行车骑行赛事，年该赛事约有人参赛，年参赛人数达到约人，若这两年参赛人数的年平均增长率保持一致，求参赛人数的年平均增长率．
24.某数学小组在主题为折纸中的数学活动课上，进行了如下的实践操作：
如图，一张矩形纸片．
【实践操作】
步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为；
步骤二：然后左右对折，折痕为；
步骤三：将原纸片展开还原后，连接，，，．
如图所示得到四边形．
【实践探索】
四边形的形状为 ；
判定四边形的形状的依据是 ．
【实践操作】
步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折；
步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕；
步骤三：将原纸片展开还原后，连接，．
如图所示，得到四边形．
【实践探索】
判断四边形的形状，并加以证明．
25.数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整：
函数的自变量的取值范围是 ：
下列表格是与几组对应值：
直接写出的值 ；
在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象小方格的边长为：
结合函数图象，发现函数的下列特征：
该函数当时，随的增大而 填增大或减小；
若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围．
26.某校图书馆为了解八年级学生的阅读习惯，以便优化图书采购与阅读推广策略，随机抽取八年级名学生，调查他们本学年月至次年月的课外书籍借阅数量．将借阅数量单位：本分为个区间，具体分组如下表：
组别 借阅数量本
整理数据如下：
借阅数量频数分布表如下表：
借阅数量本 频数 频率
合计
借阅数量频数分布直方图如图：
填空： ； ；
补全频数分布直方图；
抽取的名学生的中位数落在区间 内；上四分位数落在区间 内；填写、、、、中的字母
若规定学年借阅数量在本以上包括本为阅读活跃者，学校计划对阅读活跃者进行表彰．如果八年级共有名学生，请估算八年级阅读活跃者大约有多少人？
27.已知菱形，对角线与交于点，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
当时，判断的形状，是 三角形；
猜想的度数： ，并证明；
直接用等式表示线段，，之间的数量关系．
28.在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标，，，，对于平面内点和点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在正方形上，称点为正方形的创新点．
已知点的坐标为．
如图，在点，，中，正方形的创新点是 ；
如图，若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围；
如图，点，直线：若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】名
12.【答案】，
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题】
解：
解得，；
【小题】
解：
或
解得，．

18.【答案】【小题】
如图所示：
【小题】
如图所示：
坐标：．

19.【答案】【小题】
列表：
描点并连线：
【小题】
解：由图可得时，．

20.【答案】【小题】
四边形是平行四边形，．
，，，
，四边形是平行四边形．
【小题】
四边形是平行四边形，．
四边形是平行四边形，且，
，．
，
≌，．
在中，由勾股定理，得．

21.【答案】【小题】
解：一次函数由平移得到，
，
，
图象经过点，
，
解得，
一次函数解析式为：，
过且平行于轴的直线为，
令代入，
，
解得，
点的坐标为；
【小题】
解：由题意得：
，
，
，
，
要保证时，恒成立，
．

22.【答案】方法一证明：延长到点，使，连接，，
为中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
， ，
，
，
；
方法二证明：过点作，交于点，，交于点，
，，
四边形是矩形，
，，，
，，
是中点，
，
，
，
垂直平分，
，
是中点
，
，
【分析】方法一，延长中线构造对角线互相平分的四边形，先证平行四边形，结合直角证矩形，利用矩形对角线相等完成线段等量代换．
方法二，作双垂线构造矩形与三角形全等，利用三角形全等得到，进而证明垂直平分，借助垂直平分线性质得等线段，完成证明．
【详解】略

23.【答案】解：设参赛人数的年平均增长率为，
则，
解得：，舍，
答：参赛人数的年平均增长率为．

24.【答案】【小题】
菱形
四条边相等的四边形是菱形
【小题】
四边形是菱形，证明如下：
矩形，
，
，
折叠使与重合，折痕，
垂直平分，
，，
在和中，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．

25.【答案】【小题】
【小题】
；
【小题】
如图，
【小题】
减小

26.【答案】【小题】

【小题】
补全频数分布直方图如下：
【小题】
【小题】
解：估算八年级阅读活跃者人数人，
答：八年级阅读活跃者大约有人．

27.【答案】【小题】
等边
【小题】

四边形是菱形，
，，平分，，
，，
绕逆时针旋转得，
，，
，，，
，，
为等边三角形
，，
，
，
，，
，
，
，
；
【小题】
．

28.【答案】【小题】
点，
【小题】
解：正方形的顶点坐标，，，，
正方形的对角线交点，点到正方形各边的距离都是，
如图，将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点、、、、的对应点分别为点、、、、，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，点、、、、的对应点分别为点、、、、，
、、、，点、、、，
当直线过点时，有，解得，
当直线过点时，有，解得，
当时，直线：与正方形有交点即直线上存在点，使点为正方形的创新点；
当直线过点时，有，解得，
当直线过点时，有，解得，
当时，直线：与正方形有交点即直线上存在点，使点为正方形的创新点，
综上，当或时，直线上存在点，使点为正方形的创新点．

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