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第1章 四边形
单元测试卷
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．厨余垃圾 B．有害垃圾
C．其他垃圾 D．可回收物
2．（3分）六边形的内角和为（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
3．（3分）矩形的两边长分别是3和4，则它的对角线长是（　　）
A． B．5 C． D．6
4．（3分）某多边形的内角和是其外角和的2倍，则此多边形的边数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（3分）下列说法正确的有(　　)个
①矩形的对角线互相平分且相等，②有一组邻边相等的四边形是菱形，③平行四边形的对角相等，④有一个角是直角的菱形是正方形
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．（3分）如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分） 如图，已知点为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
9．（3分）如图， 四边形是平行四边形，平分，交边于点E，平分交边于点F，P是延长线上一点，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，，则的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
二、填空题(共8题；共24分)
11．（3分）如图， 小明要测量池塘的宽度，选取点O，使D，E分别是，中点，现测得的长为28米，则池塘的宽大约是　 　米．
12．（3分）如果正多边形的一个外角为45°，那么它的边数是　 　.
13．（3分） 顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是　 　．
14．（3分） 如图，的对角线、交于点，且，，则的周长是　 　．
15．（3分）如图，在矩形中对角线，交于点，请添加一个条件　 　，使矩形是正方形（填一个即可）
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE＝AF，则DE的长为　 　．
17．（3分）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使A点与C点重合，则折痕的长度为　 　．
18．（3分）如图，在边长为的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边的中点，连接CE，DF，点G，H分别是CE，FD的中点，连接GH，则GH=　 　.
三、计算题(共2题；共12分)
19．（6分）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
20．（6分）已知：如图，点E，F是平行四边形中边上的点，且，连接．求证：．
四、证明题(共2题；共16分)
21．（8分）如图， 在四边形中， 对角线与相交于点 O，垂足分别为E，F，．
（1）（4分）求证： 四边形是平行四边形．
（2）（4分）若，，，求的长．
22．（8分）如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，点O为的中点，的延长线交边于点E，连接
（1）（4分）求证：四边形是菱形：
（2）（4分）若平行四边形的周长为22，，，求的长.
五、作图题(共1题；共9分)
23．（9分）如图，在4╳4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）（4分）在图1中画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形．
（2）（5分）在图中画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
六、解答题(共2题；共19分)
24．（9分）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒．
（1）（3分）用含的式子表示；
（2）（3分）当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
（3）（3分）只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？
25．（10分）如图①，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连结EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．
（1）（4分）四边形EFGH的形状是 ▲ ，证明你的结论．
（2）（3分）如图②，连结四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足条件 ▲ 时，四边形EFGH是矩形，证明你的结论．
（3）（3分）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．
七、实践探究题(共1题；共10分)
26．（10分）【教材呈现】北师大版九年级上册数学教材想页《矩形的性质与判定》给出直角三角形的斜边中线定理．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．上述定理的部分推理过程如下：
已知：如图1，在中，，为斜边上的中线．
求证：．
证明：如图2，延长至点，使，连接，．
（1）（3分）【定理探索】请结合图2将证明过程补完整；
（2）（4分）【问题解决】如图3，在中，是高，是中线，点是的中点，，点为垂足，若，求出的度数；
（3）（3分）【应用探究】如图4，和均为直角三角形，，，连接交于点，已知，，请自接写出的长．
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】C
10．【答案】B
11．【答案】56
12．【答案】8
13．【答案】菱形
14．【答案】13
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】
18．【答案】
19．【答案】解：设这个多边形的边数为n． 由题意得，．
∴．
∴这个多边形的边数为8．
20．【答案】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
21．【答案】（1）证明：，，，
在和中，
，
，
∴，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
．
22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
即，
，，
O为的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2），，
，
平行四边形的周长为22，
菱形的周长为：
，
四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
.
23．【答案】（1）解：如图所示，△DEC即为所求的三角形；
（2）解：如图2所示，△DEC即为所求的三角形.

24．【答案】（1）解：P从A点以向B点运动
；

（2）解：由题意得：时，Q在上运动，
时，在上运动，
直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形是平行四边形，如图所示：
，
解得：；
②四边形是平行四边形，如图所示：
，
，
解得：
综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；
（3）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形
，
解得：，
当Q点的速度为时，四边形为菱形．
25．【答案】（1）平行四边形；
证明：如图①，连结BD．
∵E，H分别是AB ，AD的中点，∴EH∥BD ， EH=BD，
同理FG∥ BD，FG=BD，∴EH∥ FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）AC⊥BD；
证明：∵E，F，C，H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥ BD，HG∥AC．∵AC⊥BD，∴EH⊥HG．
又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．
（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：
如图②，连结AC，BD．
∵E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥ BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∵EH∥ BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
26．【答案】（1）解：∵为的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（2）解：如图3，连接，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是高，是中线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，，
∴的度数为；
（3）解：如图4，将绕点顺时针旋转到，连接，取的中点，连接，过作于，
∵，，
∴，
由旋转的性质可得，，，，，
∵和均为直角三角形，，，
∴，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
∴，即，
解得，，
由勾股定理得，，
∵，，
∴，
∴的长为．
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