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四川广元市2026年春季八年级期末综合素养测评数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列各组长度的线段能组成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为，则的长为( )
A. B. C. D.
5.对于一次函数，下列结论错误的是( )
A. 图象经过第二、三、四象限
B. 图象与轴交于负半轴
C. 当时，
D. 图象过点，若，则
6.已知某校甲、乙两个篮球队人数相等，两队队员身高的箱线图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 甲队身高数据比乙队更集中 B. 甲队身高的下四分位数是
C. 乙队身高超过的人数占 D. 乙队身高的中位数比甲队大
7.已知，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
8.在正比例函数的图象上有两点、，则该函数图象一定经过的点是( )
A. B. C. D.
9.如图，这个图案是我国古代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空部分是一个小正方形．在图中连接四条线段得到如图的图案，若图中两个阴影三角形的面积相等，则大正方形与小正方形的边长之比是( )
A. B. C. D.
10.甲、乙两人在一条长米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离米与乙出发的时间秒之间的函数关系如图所示，正确的个数为( )
乙的速度为米秒；
离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米；
甲、乙两人之间的距离超过米的时间范围是；
乙到达终点时，甲距离终点还有米．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
12.小明列出了一个样本数据方差的计算公式：，则公式中的 ．
13.如图，的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点，若，的周长是，则 ．
14.如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，点在上，于点，于点，则 ．
15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、若点在的内部，则的取值范围是 ．
16.如图，已知中，，，在边上有两点且，则的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.计算：．
四、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
如图，在中，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若．
求证：；
若，，求线段的长．
19.本小题分
某校七、八年级各有名学生，为了调查学生对赋能课堂教学的满意度，随机抽取了七、八年级各名学生对赋能课堂教学满意程度赋分百分制，将收集的赋分成绩按以下六组进行整理得分用表示：：，：，：，：，：，：，
并绘制了七年级赋分成绩频数直方图和八年级赋分成绩扇形统计图：
已知八年级样本中赋分成绩为分及以上的学生有人，组中的数据从小到大排列个如下：，，，，，，，，，请根据以上信息，完成下列问题：
， ， ；
八年级赋分成绩的中位数是 ；
若赋分成绩不低于分，则认定学生对赋能课堂教学“满意”，请估计该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共多少人？
20.本小题分
如图，在中，，是边上的中线．
请用无刻度的直尺和圆规作出的平行线保留作图痕迹，不写作法．
在的条件下，若是的中点，连接并延长，交于点，连接求证：四边形是矩形．
21.本小题分
阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
李聪同学是这样解答的：
．
这种方法称为“构造乘积对偶法”．
问题：已知．
求的值；
求的值．
22.本小题分
图是某超市的购物车，图为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
判断的形状，并说明理由．
若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
23.本小题分
直线经过点，点，直线交轴于点，交轴于点，交直线于点．
求直线表达式；
点为轴上一动点，的面积为，求点的坐标．
24.本小题分
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，辆型汽车，辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车，辆型汽车的进价共计万元．
求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
若该公司计划用不多于万元购进以上两种型号的新能源汽车共辆两种型号的汽车均购买，若该汽车销售公司销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，问：进型，型汽车各几辆，全部售出后能获得最大利润？最大利润是多少？
25.本小题分
已知中，，在外作射线，作点关于的对称点，连接交于点，连接交于点．
如图，若，则 ；用表示
如图，若，猜想，，的数量关系，并说明理由；
如图，若，，，依题意补全图形，求的长．
26.本小题分
定义：若三角形某边上的高与该边长度相等，则称此三角形为该边的“等距三角形”．
例：如图，在中，，若，则为边的“等距三角形”．
如图，在中，，，，是边的“等距三角形”吗？为什么？
如图，已知点，直线与轴，轴分别交于两点．
点为直线上一点，点在轴上，若为边的“等距三角形”，求点的坐标；
点为平面内一点，若为边的“等距三角形”，且，求点的坐标．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：原式

18.【答案】【小题】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
又平分，
，
，
．
，，平分，
，
在和中，
．
，
即．
，
即．
【小题】
解：四边形是平行四边形，
，
，
在中，，，
，
由得，，，，
四边形是平行四边形，
，
故，
，
在中，．

19.【答案】【小题】

【小题】
【小题】
人，
答：该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共人．

20.【答案】【小题】
解：如图，直线即为所求方法不唯一：
【小题】
解：如图，
，是边上的中线，
，，即，
，
，，
是的中点，
，
，
，又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．

21.【答案】【小题】
解：由题意得： ，
，
；
【小题】
解：由知，
，
得：，即，
，
解得．

22.【答案】【小题】
解：是直角三角形，理由如下，
已知，，，
，即，
是直角三角形；
【小题】
解：，
，
如图所示，过点作于点，
由得，是直角三角形，
，
，
物车上篮子的左边缘到地面的距离为．

23.【答案】【小题】
解：设直线表达式为，
代入点，得，
解得
直线表达式为．
【小题】
解：如图，
联立直线与得，，
解得，
，
对于直线，当时，，
，
，
，
，
，解得，
当点在点上方时，；
当点在点下方时，，
此时点位于轴负半轴；
或．

24.【答案】【小题】
解：设每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元，
根据题意得：
解得：．
答：每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元．
【小题】
解：设该公司购进辆型汽车，则该公司购进辆型汽车，全部售出后获得的利润为元
根据题意得：，解得，
利润，
即，
，
随的增大而增大，
由题意知，当时，取得最大值，最大值为元，
此时辆．
答：购进辆型汽车，辆型汽车时，能获得最大利润，最大利润是元．

25.【答案】【小题】
【小题】
，理由如下：
如图在上截取点使，
由可得，
点关于的对称点为点，
，，
，，，
，
为正三角形，
，
，
，
，
；
【小题】
补全图形如下图所示，
如图过点作的反向延长线于点，则
在中，，
，
，
，
，
由可知，
，
为等腰直角三角形，
，
．

26.【答案】【小题】
是边的“等距三角形”，理由如下：
过点作于点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
是边的“等距三角形”；
【小题】
解：若，
当时，，
，，
根据题意则，
，，
或；
若
设，则
由题意
由题知：，
或，
或；
若，作
由题意，
，
此情况不成立；
综上：或或．
若在右侧，
对，令，则，令，则，
，，
过点作，且，过点作，且，连接，则，过点作的平行线与直线交点即为；
过点作轴于点，
，
，
，，
，
过作轴，作，
同理可证，，
，
，
设的解析式为代入，，
解得
的解析式为，
，
设解析式为，代入，
，
，
的解析式为，
解得
；
若在左侧，
过点作，且，过点作，且，连接，则，过点作的平行线与直线交点即为；
作轴，轴，
同理可得，
，，
则，
，
，
则，
设的解析式为代入，，
解得
则的解析式为，
，
设解析式为，代入，
，
的解析式为，
解得
．
综上所述，或．

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