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山东省济南市市中区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，将两个全等的直角三角板的一组对应边完全重合，组成以下四个图形，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3.要使分式有意义，则的取值应满足( )
A. B. C. D.
4.如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，长宽分别为，的长方形周长为，面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.关于的方程的解为正数．则的取值范围为( )
A. 且 B. C. D. 且
8.如图，在中，，，，是边上任意一点，点，分别是，的中点，则线段的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，将绕点顺时针旋转，使的对应边经过点，连接若，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.定义：关于的方程是方程的“倒方程”有下列五个结论：的“倒方程”是；如果是的“倒方程”的解，则；若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为其中，正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式： ．
12.如图，已知平行四边形的面积是，图中分割线均经过对角线、的交点，那么阴影部分的面积为 ．
13.代数式与代数式的值相等，则 ．
14.一条河的两岸，平行，河宽，村庄点到河岸的垂直距离为，村庄点到河岸的垂直距离为，且点，到河岸的垂足之间的水平距离为现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为 ．
15.如图，在正方形中，，是上一点不与端点重合，将正方形沿翻折，使点落到，连接，，若为等腰三角形，则的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程：
；
．
四、解答题：本题共9小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知：如图，在菱形中，、分别是边、的中点．求证：．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求实数的取值范围；
若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
画出将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的；
若将中看成是经过一次平移得到的，则这一平移的距离是 ；
画出关于点成中心对称的图形．
21.本小题分
为打造书香校园，学校补充班级图书角藏书，购进甲、乙两类课外读物，购买甲种图书总共花费元，购买乙种图书总共花费元，甲种图书的单价是乙种图书单价的倍，购买甲种图书的数量比乙种图书多本．
求甲，乙两种图书的单价；
恰逢书店优惠活动，所有图书全部按九折销售，学校计划再次购进甲种图书本，乙种图书本，共需要花费多少元？
22.本小题分
为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙墙的最大可利用长度为米作为一边，用米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为米的出入口出入口不用隔栏绳，将矩形表演区中的长度用米表示．
的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围；
若矩形表演区的面积为平方米，那么的长度多少米？
23.本小题分
换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使问题易于解决．
例：把因式分解．
方法一：整体换元
解：把“”看成一个整体，令．
原式．
方法二：均值换元
解：把“”看成一个整体，令．
原式．
例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为 ；
请利用“换元法”将多项式因式分解；
当式子取得最小值时，求的值．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为，点坐标为．
求直线的表达式；
如图，若点为线段的中点，，分别是线段、上的动点，，连接，，以，为邻边作平行四边形当其中一条坐标轴将平行四边形的面积分成的两部分时，求点的坐标；
如图，若点的坐标为，点的坐标为，连接，连接交轴于点，过作，交轴于点，试探究的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
25.本小题分
如图，矩形与矩形全等，点，，和点，，分别在同一条直线上，其中，，连接对角线，．
如图，线段与线段的数量关系为 ，线段与线段的位置关系为 ；
如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，连接，当点，，在同一条直线上时不重合，求点到直线的距离；
如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转到某一个位置，连接，连接并延长交于点，证明点是的中点．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】．
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】【小题】
解：
方程两边同乘，得，
解得，
检验：时，，
所以是原分式方程的解．
【小题】
解：，
移项，得，
配方，得，
即，
开方，得，
解得，．

17.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，分别是边、的中点，
，，
，
，
．

18.【答案】解：原式
．
当时，原式．

19.【答案】【小题】
解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
【小题】
方程的两实数根分别为，，
，，
解得，
．

20.【答案】【小题】
【小题】
【小题】

21.【答案】【小题】
解：设乙种图书单价为元，则甲种图书单价为元，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
则甲图书单价：元．
答：乙图书单价元，甲图书单价元．
【小题】
解：所有图书全部按九折销售，
打折后甲售价：元，打折后乙售价：元，
一共需要花费元．

22.【答案】【小题】
解：的长为米，
的长为米．
由题意可得，
解得，
即的取值范围为．
【小题】
解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
由有，
．
答：的长度为米．

23.【答案】【小题】
【小题】
解：令，则
原式
．
【小题】
解：令，则原式，
当，即时原式取得最小值，
可得，
解得：，．

24.【答案】【小题】
解：设直线的解析式为，
点坐标为，点坐标为，
解得：
．
【小题】
解：点为线段的中点，，，
，
设，
，
，
，
，
设与交于点，
四边形是平行四边形，
点是的中点，也是的中点，，
，
，
一条坐标轴将平行四边形的面积分成的两部分，
的中点在轴上或的中点在轴上，
如图，当的中点在轴上时，，
解得：，
，，
；
当的中点在轴上时，，
解得：，
，，
；
综上所述：点坐标为或．
【小题】
解：的面积为定值，理由如下：
设直线的解析式为，
，，
解得：
，
，
设直线的解析式为
把代入得，，
解得：，
直线的解析式为，
，
同理直线的解析式为，
，
的面积．

25.【答案】【小题】
【小题】
当点，，在同一条直线上时
，，由等腰三角形“三线合一”得，
设点到直线的距离为，
则由等面积法：，
矩形中，，，
，
此时点到直线的距离为；
【小题】
如图，过点作的平行线交的延长线于，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
在与中，
，
，
点是的中点．

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