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北京市第四中学2025--2026学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题
1.使有意义的的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列图象中，不能表示是的函数的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，平分交于点，，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.若一次函数的图象平移后经过原点，则下列平移方式正确的是( )
A. 向上平移个单位 B. 向下平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
5.已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴交于点，则关于的不等式的解为( )
A. B. C. D.
6.在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，要使个数相差较小的同学分在一组，下表是种分法的各组离差平方和其中有一处数据丢失：
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和
第个间隔
第个间隔
第个间隔
第个间隔
根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
7.孙子算经是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树步的地方，竖立一根尺长的标杆，再向后退步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为尺，则树高为( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
8.如图，已知点，，，是矩形各边的中点，，动点从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点运动的路程为，过点作于点，则的面积关于的函数关系的图象如图所示，那么这条路径可能是图中的( )
A. B.
C. D.
二、填空题
9.把化为最简二次根式，结果是 ．
10.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ．
11.如图，在中，点、分别是的中点，，点是中点，连接，若，则的长度是 ．
12.某校举办班级合唱比赛，评委根据音乐技巧、精神风貌、作品表现力三项内容打分每项满分均为分，再按照如图所示的占比计算最终成绩．已知八年级班三项内容得分依次为分，分，分，则八年级班的最终成绩为 分．
13.已知点，在反比例函数的图象上．若，则点的坐标可以是 写出一种可能的情况即可．
14.已知，是关于的方程的两个根，满足，则的值是 ．
15.如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交线段于点，当时， ．
16.如图，在等腰中，，，点为的中点．以为顶点作，其两边分别与，交于点，不与点，，重合取中点，连接，，则的最小值为 ．
三、解答题
17.解方程：
；
．
18.下面是李明设计的作矩形的尺规作图过程．
已知：中，．
求作：矩形
作法：如图，
作的垂直平分线，直线交于点；
作射线，在射线上截取，使得；
连接．
四边形就是所求作的矩形．
根据李明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规补全图形作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：直线是的垂直平分线，
，
，
四边形是 填“平行四边形”、“矩形”、“菱形”或“正方形” 填推理的依据．
，
四边形是矩形 填推理的依据．
19.如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作交于点，过点作交于点，交于点，连接、．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．
20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
求一次函数和反比例函数的表达式；
当时，请直接写出的取值范围： ；
请直接写出的面积： ；
以点为位似中心，将放大得到，其中点和点分别是点和点的对应点，且满足放大后的三角形面积是原来的倍，请直接写出点的坐标： ．
21.已知关于的方程．
求证：方程总有实数根；
若方程有两个不相等的正整数根，求整数的值．
22.为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩单位：分进行分析数据已从小到大排列．
七年级：，，，，，，，，，，，；
八年级：，，，，，，，，，，，．
七、八年级抽取的学生的成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级
请补全七年级的箱线图；使用铅笔和直尺作图，并标注必要数据
在上述数据和图表中， ， ， ；
若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过分的人数．
23.某物理兴趣小组进行了如下实验：将一壶的实验所需液体加热到后，让其在室温下可以认为温度恒定在自然冷却，一开始每隔分钟记录一次温度，一段时间后，每隔分钟记录一次，最终得到下表数据：
时间分钟
温度
小组成员发现可以用函数刻画液体的温度与时间之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请你补充图中缺失的点，并用平滑的曲线连接，画出该函数图象．使用铅笔作图
根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
记第，，分钟的液体温度分别是，，，若，，则 填写“”、“”或“”；
若后续的实验需要的液体，根据本次实验数据记录，回答下列问题：
需要将的液体在该环境下放置 分钟得到符合实验要求的液体结果精确到整数；
小华在的液体自然冷却第分钟后才想起来要进行后续实验，此时恰好小洋刚烧好了等质量的的液体，他们可以再在该环境下放置 分钟，将两份液体混合得到两份符合后续实验要求的液体结果精确到整数．
注：已知两份温度是和的等质量的液体混合后的温度是不计混合时间及混合期间的热量损耗．
24.如图，正方形边长为，连接对角线，点、分别是线段的中点．点是线段上的动点不与点、重合，过作交于点，过作交的延长线于点．
求证：；
当 时，面积最大，最大面积为 ；
判断线段与线段的数量关系，并给出证明．
25.在学习了分式与函数的内容后，某学习小组对分式展开进一步的探究．
【发现】
若直线过点和，其中，则斜率，是分式形式．反过来，分式也可以看成是过点和的直线的斜率．
【探究】
当时，分式可以看成过点和的直线的斜率，其中点可以是直线上的任意一点，画图可以得到的取值范围是 ；
【应用】当时，代数式的最小值是 ；
当，时，代数式的取值范围是 ．
26.在平面直角坐标系中，已知点和点，对于实数，定义：点和是线段的两个“加权点”，线段含端点是线段的“加权线段”．
已知点，．
线段的“加权点”是 ；
若线段是线段的“加权线段”，则当线段与轴有交点时，的取值范围是 ；
记直线和直线组成的图形为对于点，，线段和分别是线段和的“加权线段”，满足以线段和为对角线的四边形与图形恰有个不同的交点，则的值是 ．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】答案不唯一，满足即可
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题】
解：，
，
，，，
，
【小题】
解：，
，
，
或，
解得．

18.【答案】【小题】
【小题】

平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
有一个角是直角的平行四边形是矩形

19.【答案】【小题】
证明：四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【小题】
解：，，，
，
，
，即，
，
，，
，
菱形的面积为．

20.【答案】【小题】
解：把代入中得，
反比例函数的解析式为，
把代入中得，
，
把、代入中得
解得
一次函数的解析式为；
【小题】
或
【小题】
【小题】
或

21.【答案】【小题】
证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为，
解得，有实数根；
当时，原方程是一元二次方程，



，
任意实数的平方非负，
，即，方程总有实数根；
综上，不论为何值，方程总有实数根．
【小题】
解：方程有两个不相等的正整数根，
，且，即，得．
将方程因式分解得，
解得，．
两个根都是不相等的正整数，是整数，
为整数，且为正整数，
因此是的约数，可能取值为．
逐一验证：已排除，不符合；
时，，不是正整数，舍去；
时，，是正整数，且，符合条件；
时，，是正整数，且，符合条件；
因此整数的值为或．

22.【答案】【小题】
补全七年级的箱线图如图：
【小题】
【小题】
解：人，
答：该校此次活动中八年级学生成绩超过分的人数为人．

23.【答案】【小题】
【小题】
【小题】

24.【答案】【小题】
证明：四边形是正方形，
，
点、分别是线段的中点．
是的中位线，，
，
，
又，
，
设，则，，
；
，
，
，
，
，
，
，
；
【小题】

【小题】
解：，证明如下：
如图所示，延长交于点，过点作于点，
四边形是正方形，
，，
点为的中点，
，
，
；
由得是的中位线，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
由可得，
．

25.【答案】【小题】

【小题】

【小题】


26.【答案】【小题】
和
【小题】
【小题】

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