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安徽省安庆市怀宁县部分学校2025-2026学年八年级下学期6月期末
数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面所给的二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.的三条边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
4.下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )
A. B. C. D.
5.两个矩形的位置如图所示，若，则( )
A. B. C. D.
6.八年级某小组的名同学每分钟跳绳的个数分别为，，，，，，，这一组数据中的第三四分位数是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是 ( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，下列结论中错误的是( )
A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是正方形 D. 当平分时，它是菱形
9.若实数，满足，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.如图，在矩形中，，点是边上的一动点，连接，过点作交于点，垂足为点，若且平分，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，共15分。
11.要使代数式有意义，则的取值范围是 ．
12.“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第个图形里的正方形比第个图形多 个．
13.如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是 ．
14.在矩形中，是边上一点，，，分别是上的点，且，且．
若，则 ；
若，，则 ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
15.计算：．
四、解答题：本题共8小题，共95分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解方程：．
17.本小题分
如图，在的网格中每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，线段的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图．
在图中，以为一边画平行四边形，使其面积为；
在图中，以为一边画一个菱形；
18.本小题分
【阅读材料】我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，
当且仅当即时，取得最小值，最小值为．
【模仿探究】请利用以上结果解决下面的问题：
当时，求的最小值，并求出此时的值；
【应用意识】如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为平方米，斜边需要用栅栏围上，求栅栏的最小值．
19.本小题分
如图，在中，点，分别是的中点，延长至点，使得，连接．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求的长．
20.本小题分
艺术测评主要是为了掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在八年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对抽取到的位同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值分
方式一按平均分相同分组 Ⅰ组 ，，，，
Ⅱ组 ，，，，
方式二按分数段分组 甲组 ，，，，
乙组 ，，，，
【描述与分析】分组数据统计量分析表
分组方式 组别 中位数分 众数分 方差 组内离差平方和
方式一 Ⅰ组
Ⅱ组
方式二 甲组
乙组
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的总体离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近．
根据以上信息，解答下面问题：
扇形统计图中“分”对应的圆心角度数为 ．
， ， ．
【判断与决策】为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由．
21.本小题分
情景呈现：小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系．
提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？
探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度：
矩形中，，，则 ；
在菱形中，，，则 ；
再通过几何图形一般化具体分析找规律：
如图，在正方形中，，则 ；请用含的代数式表示
如图，在矩形中，，，则 请用含、的代数式表示
猜想并证明：如图，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为 ，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程．
22.本小题分
年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．
某电商平台数据显示，该毛绒小马月份销量为万件，月份销量已增至万件．求该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率．
某商铺以每件元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为元件时，日销量为件．售价每降低元，日销量可增加件．
借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到元，则每件应降价多少元？
若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付元快递费，且线上日销量固定为件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润．
23.本小题分
已知点在正方形内，点在边上，是线段的垂直平分线，连接，．
如图，若的延长线经过点，，求的长；
如图，点是的延长线与的交点，连接．
求证：；
如图，设相交于点，连接，，，若，判断的形状，并说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】【小题】
度
【小题】

15.【答案】解：原式

16.【答案】解：
或
解得

17.【答案】【小题】
解：如图中，平行四边形即为所求；
【小题】
解：如图中，菱形即为所求．

18.【答案】【小题】
解：当时，，
当且仅当即时，取得最小值，最小值为．
【小题】
解：设，
由得，
，
，
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为．
即当时，的最小值是．

19.【答案】【小题】
证明：点，分别是的中点，
是的中位线，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
【小题】
解：由得：四边形是平行四边形，
，
，，，
，，
是直角三角形，，
点是的中点，
，
．

20.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
我会选择方式二进行分组．理由如下：
两种分组方式的中位数与众数都相同，但方式二的组内离差平方和更小，说明分组方式二下的同组成员之间的水平更接近，有利于开展同级别水平训练的理解和合作，促进同学间的互帮互助，共同进步．

21.【答案】【小题】

【小题】
，证明如下，
方法一：采用几何法：
如图，过点作于，过点作交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
设，则，，
，，
同理可得：，
．
方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
由平行四边形性质，点的坐标为：
，，，

22.【答案】【小题】
解：设该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得，不符合题意，舍去．
答：该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率为；
【小题】
解：设每件应降价元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
根据题意得：，
整理得：
解得：，
又要尽快减少库存，
，
答：每件应降价元．
设线上和线下的日利润总和为元，售价为元件
则
，
，
当时，有最大值，最大值为，
当售价为元件，即降价元件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为元．

23.【答案】【小题】
解：四边形是正方形，的延长线经过点，
，，，
由垂直平分线的性质知，，，
又，
，
．
又，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【小题】
证明：由题意知，，
，．
，
．
是等腰直角三角形．理由如下：
作交于点，交于点．
，
为的中点，．
，
，
在上取点，使，
在与中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，
是的中位线，．
，，且，
，
，
即为的中点．
又，
，
．
同理可证，
．
是等腰直角三角形．

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