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第1章《二次函数》单元检测2026-2027学年上学期浙教版九年级数学上册（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．若函数是关于的二次函数，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值．
【详解】解：函数是关于的二次函数，
，且，
解方程，即，
解得或，
又∵，
，
．
2．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，逐步推导即可得到结果．
【详解】解：∵抛物线平移规律为左加右减自变量，上加下减常数项，原抛物线解析式为，
∴向左平移2个单位后，解析式变为，再向下平移3个单位，解析式整理得，
∴所得抛物线解析式为．
3．将二次函数化成的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用配方法，将二次函数的一般式转化为的形式，对比选项得到结果．
【详解】解：．
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【答案】A
【详解】）∵y=－x2＋4x=，
∴当x=2时，y有最大值4，
∴最大高度为4m．
故选A
5．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小
【答案】B
【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴，
∴抛物线开口向上，故错误；
顶点坐标为，故正确；
对称轴为直线，故错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，故错误．
6．已知二次函数 点 在函数图象上，则大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题根据二次函数顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上的二次函数性质，得点到对称轴的距离越大，函数值越大，通过比较各点到对称轴的距离即可得到函数值的大小关系．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为：直线，
点到对称轴的距离：，
点到对称轴的距离：，
点到对称轴的距离：，
∵抛物线开口向上时，点到对称轴的距离相等则函数值相等，距离越大，函数值越大 ，
∴．
7.如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（ ）

A．16m B．18m C．20m D．24m
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案．
【详解】解：由题意得，点A的横坐标为，
在中，
当时，，
∴，
∴点C的纵坐标为，
在中，
当时，
解得或，
∴，
∴（m），
故选：C．
8.二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象的综合，根据二次函数图象可得的符号，则可判断出一次函数和反比例函数图象经过的象限，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴，
∴，
∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，
故选：C．
二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：
①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④．
【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴，
，，
二次函数的对称轴为，
，即，
，，结论①、③正确；
二次函数图象与轴有两个交点，
有两个不等实数根，
，结论②正确；
由图象可知，当时，，
即，结论④正确．
综上，结论正确的个数是个，选项符合题意．
10．如图，在中，，，斜边在轴上，将直线从轴出发向右平移，若在该直线左侧的阴影部分的面积记为，则与之间的函数关系的图象为（ ）
A． B． ． D．
【答案】B
【分析】本题需分两个阶段分析直线平移过程中阴影面积与的函数关系：
当时：直线位于点左侧，此时阴影部分为等腰直角三角形，
利用等腰直角三角形的性质和三角形面积公式，推导出与的二次函数关系（开口向上）．
当时：直线位于点右侧，
此时阴影部分面积等于的面积减去右侧等腰直角三角形的面积，
推导出与的二次函数关系（开口向下），
再结合函数的增减性判断图像形状．
【详解】解：如图，过点作轴，垂足为点，
设直线交轴于点，
；
，，
，，；
当直线在点的左侧时，如图，设直线交于点，
是等腰直角三角形，此时，
，
；
当直线在点的右侧时，如图，设直线交于点，
是等腰直角三角形，此时，
，
．
综上，当时，图象为开口向上的抛物线；
当时，图象为开口向下的抛物线．
故与之间的函数关系的图象为选项．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．当 时，函数是二次函数．
【答案】－1
【详解】解：依题意得：a2+1=2且a-1≠0，
解得a=-1．
故答案是：－1.
12．二次函数y＝3（x+2）2﹣1图象的顶点坐标是 ．
【答案】（﹣2，﹣1）
【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可．
【详解】解：二次函数y＝3（x+2）2﹣1图象的顶点坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
13．写出一个开口向下，顶点坐标为的二次函数解析式，其顶点式可以表示为__________．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：由二次函数的顶点式为，其中 为顶点坐标．
∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴二次函数的解析式为，
∵开口向下，
∴，
二次函数的解析式为（答案不唯一）．
如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．
当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是_______
【答案】20米
【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解．
【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，
设抛物线解析式为，将点代入，得
解得
∴抛物线解析式为
令，解得（负值舍去）
即，
故答案为：20米
如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．
设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．
有下列结论：
①x的取值范围为；②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为；
③矩形菜园的面积的最大值为．其中，正确结论是____________-
【答案】③
【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可．
【详解】解：∵，则，依题意，得：
，
∵
∴，
解得，故①错误；
当时，
即，
解得：，，
当时，不在范围中，舍去，
当时，成立．故②错误；
，
∴当时，S有最大值为．故③正确，
故答案为：③
如图，抛物线与轴交于点，，把抛物线在轴及其上方的部分记作，
将向右平移得，与轴交于点，，若直线与，共有个不同的交点，
则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x＋m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x＋m过点B时m的值，结合图形即可得到答案.
【详解】令y＝－2x2＋8x－6＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，则点A（1,0），B(3,0)由于C1向右平移两个长度单位得C2,则C2解析式为y＝－2（x－4）2＋2（3≤x≤5），当y＝x＋m1与C2相切时，令y＝x＋m1＝y＝－2（x－4）2＋2，即2x2－15x＋30＋m1＝0，△＝－8m1－15＝0，解得m1＝－，当y＝x＋m2过点B时，即0＝3＋m2，m2＝－3，当－3＜m＜－时直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同交点，故答案是－3＜m＜－.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且该抛物线经过点A（3，3），求该抛物线解析式．
【答案】y=2（x﹣2）2+1．
【分析】根据顶点坐标设解析式为y=a(x-2)2+1，把A点坐标代入求出a的值即可．
【详解】设该抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+1，
3=a（3﹣2）2+1，
解得，a=2，
即该抛物线解析式是y=2（x﹣2）2+1．
18．已知二次函数的图像过点，．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求出该抛物线与轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）将，代入，求得，值，即可得出二次函数的解析式；
（2）令，解得值，则可得出二次函数的图像与轴的交点坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像过点，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为．
（2）当时，
则：，
∴，
解得：，．
∴该抛物线与轴的交点坐标为，．
19.小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．
他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，
铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，
落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．
根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为优秀．
请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
【答案】(1)
(2)能达到优秀
【分析】（1）由图中信息可设抛物线解析式为，然后把点代入求解即可；
（2）当时，则有，求解即可得到点C的坐标，进而问题可求解．
【详解】（1）解：依题意，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，
设该抛物线的表达式为，
由抛物线过点，有，
解得，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：令，得，
解得，（C在x正半轴，故舍去），
∴ 点的坐标为（，），
∴ ，
由，可得，
∴ 小明此次试投的成绩达到优秀．
20.如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

【答案】(1) ；（2）点P的坐标为（2，-3）
【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；
（2）设抛物线与x轴的另一交点为C，根据（1）所得的函数解析式即可求得A、B、C的坐标；在△ABP中，AB的长为定值，若三角形的周长最小，那么AP+BP的长最小；由于A、C关于抛物线的对称轴对称，若连接BC，那么BC与对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程，即可求得P点的坐标．
【详解】解：（1）根据题意，将点A（-1， 0）和点B（0，-5）代入解析式得
解得 ，
∴二次函数的表达式为，
（2）令y=0，得二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标C（5, 0）.
由于P是对称轴上一点，
连结AB，由于，
要使△ABP的周长最小，只要最小
由于点A与点C关于对称轴对称，连结BC交对称轴于点P，则= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为BC
因而BC与对称轴的交点P就是所求的点
设直线BC的解析式为，根据题意，可得解得
所以直线BC的解析式为
因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得
所求的点P的坐标为（2，-3）
图（1）是一座拱桥，图（2）是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系下，
其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为．
求这条抛物线的函数表达式；
为迎接新年，管理部门在桥下以为水平距离对称的悬挂了11个长为的灯笼，
中间的灯笼正好悬挂在处，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．
根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，
请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全．
【答案】(1)
(2)现在的悬挂方式是安全的，理由见解析
【分析】（1）根据题意得：顶点的坐标为，可设抛物线的表达式为：，再把代入，即可求解；
（2）根据题意可得最右侧灯笼悬挂点到点的水平距离，从而得到它的横坐标为，再代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：顶点的坐标为，
令抛物线的表达式为：，
将点代入得：，
解得：，
（2）解：由题意得：最右侧灯笼悬挂点到点的水平距离为：，
所以它的横坐标为，
当时，．
因为，
所以现在的悬挂方式是安全的．
二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．
求m的值
求点B的坐标
该二次函数图象上有一点（其中，，使，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点D的坐标为
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，待定系数法就是将已知的点代入解析式中列方程或方程组求解，对于抛物线与轴的交点，令代入即可，抛物线与轴的交点，令代入即可．
（1）直接将点的坐标代入到二次函数的解析式即可求出的值，写出二次函数的解析式；
（2）分别计算当和时的值，写出、两点的坐标；
（3）因为，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与的长相等即可，因此要计算时对应的点即可．
【详解】（1）解：把代入二次函数得：
，
解得：；
（2）解：由（1）可知，二次函数的解析式为：；
当时，，
，
当时，，
，
，
或3，
；
（3）解：如图，
，
∴，
而
∴，
当时，，
，
，
，
或2，
只有符合题意．
综上所述，点的坐标为．
小王投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，在销售过程中发现，每月销量y（件）
与销售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数：．
当销售单价x为多少时，每月获得的利润最大？
要想每月获得2000元的利润，则销售单价应定为多少元？
物价部门规定，护眼台灯的销售单价不得高于32元，若小王想要每月获得的利润不低于2000元，
那么他每月的成本最少需多少元？
【答案】(1)35元
(2)30元或40元
(3)3600元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，
对于（1），由题意根据列出关系式；
对于（2），令可得一元二次方程，求出解即可；
对于（3），根据抛物线的图象的性质可得单价的取值范围，再结合一次函数图象的性质可得最小值.
【详解】（1）解：由题意，得
∵，
∴抛物线的开口向下，函数有最大值，
即当（元）时，每月获得的利润最大；
（2）解：由题意，得，
解得，
所以要想每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元；
（3）解；∵，
∴抛物线的开口向下，当时，元，
∴当时，.
∵，
∴当时，.
设成本为P，根据题意，得，
∵，
∴函数值P随着x的增大而减小，
∴当时，，
所以他每月的成本最少需要3600元.
已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，
点P是线段上方抛物线上的一个动点．
求抛物线解析式；
当点P运动到什么位置时，的面积最大？
过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，
请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意得点在抛物线上，使用待定系数法求解函数解析式即可；
根据点A和B求得直线解析式，设点P的横坐标并表示出点P和点F，
求出的长，将分成与的面积和，
根据三角形面积公式表示为函数求最值即可；
设点P横坐标，表示出点P和点D及的长，
根据对称性可知点P和点E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得点D横坐标，
进而求得的长．由于要成为等腰直角三角形，，，
分类讨论t的范围，即可求得点P坐标．
【详解】（1）解：抛物线过点，则
，解得∶
故抛物线解析式为．
（2）过点P作轴于点H，交于点F，如图，
当时，，
则，
设直线解析式为，
∵过点A和B，则，，
∴直线解析式为，
∵点P在线段上方的抛物线上，设点P的横坐标为t，
∴，，
则，
，
故点，的面积最大
（3）设，
则，那么，
∵抛物线，
∴对称轴为直线，
∵轴交抛物线于点E，
∴，且，
∴，
．
则，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
当时，，
有
解得∶(舍去)，，
则点，
当时，
有，解得，(舍去)，
则点，
故点或时，为等腰直角三角形．
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第1章《二次函数》单元检测2026-2027学年上学期浙教版九年级数学上册
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．若函数是关于的二次函数，则为（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．将二次函数化成的形式为（ ）
A． B．
C． D．
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
5．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小
6．已知二次函数 点 在函数图象上，则大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7.如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（ ）

A．16m B．18m C．20m D．24m
8.二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（ ）
A． B． C． D．
二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：
①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，在中，，，斜边在轴上，将直线从轴出发向右平移，若在该直线左侧的阴影部分的面积记为，则与之间的函数关系的图象为（ ）
A． B． ． D．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．当 时，函数是二次函数．
12．二次函数y＝3（x+2）2﹣1图象的顶点坐标是 ．
13．写出一个开口向下，顶点坐标为的二次函数解析式，其顶点式可以表示为__________．
如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．
当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是_______
如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．
设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．
有下列结论：
①x的取值范围为；②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为；
③矩形菜园的面积的最大值为．其中，正确结论是____________-
如图，抛物线与轴交于点，，把抛物线在轴及其上方的部分记作，
将向右平移得，与轴交于点，，若直线与，共有个不同的交点，
则的取值范围是 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且该抛物线经过点A（3，3），求该抛物线解析式．
18．已知二次函数的图像过点，．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求出该抛物线与轴的交点坐标．
小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．
他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，
铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，
落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．
根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为优秀．
请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
20.如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

图（1）是一座拱桥，图（2）是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系下，
其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为．
求这条抛物线的函数表达式；
为迎接新年，管理部门在桥下以为水平距离对称的悬挂了11个长为的灯笼，
中间的灯笼正好悬挂在处，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．
根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，
请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全．
二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．
求m的值
求点B的坐标
该二次函数图象上有一点（其中，，使，求点的坐标．
小王投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，在销售过程中发现，每月销量y（件）
与销售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数：．
当销售单价x为多少时，每月获得的利润最大？
要想每月获得2000元的利润，则销售单价应定为多少元？
物价部门规定，护眼台灯的销售单价不得高于32元，若小王想要每月获得的利润不低于2000元，
那么他每月的成本最少需多少元？
已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，
点P是线段上方抛物线上的一个动点．
求抛物线解析式；
当点P运动到什么位置时，的面积最大？
过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，
请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
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