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湘教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.4.2工程问题第3章一次方程（组）湘教版数学七年级上册3.4.2工程问题同步练习题一、核心知识点回顾1.工程问题核心思想：通常把工作总量看作单位“1”，是一元一次方程应用题的经典基础题型。2.三大基本量关系：工作总量=工作效率×工作时间；工作效率= $$\frac{\text{工作总量}}{\text{工作时间}}$$；工作时间= $$\frac{\text{工作总量}}{\text{工作效率}}$$。3.合作工作规律：多人合作总效率=各单人效率之和；合作工作量=总合作效率×合作时间。4.通用等量关系：单独工作量+合作工作量=总工作量（单位1）；已完成工作量+未完成工作量= 1。5.解题技巧：已知单独完成时间，可直接求出对应效率；多人分工、轮流工作问题，分段计算工作量再求和。6.高频易错点：忘记将工作总量设为1；效率与时间对应混淆；多人合作漏加效率；剩余工作量计算出错。二、基础练习题（含答案解析）（一）选择题（每题4分，共20分）1.一项工程，甲单独做10天完成，则甲的工作效率是（）A. 10 B. $$\frac{1}{10}$$ C. $$\frac{1}{5}$$ D. 52.甲单独做需6天完成，乙单独做需3天完成，甲乙合作的效率是（）A. $$\frac{1}{2}$$ B. $$\frac{1}{3}$$ C. $$\frac{1}{6}$$ D. 93.一项工程，甲效率为$$\frac{1}{8}$$，甲工作x天的工作量是（）A. $$8x$$ B. $$\frac{1}{8}x$$ C. $$\frac{x}{8}$$ D. $$1-\frac{1}{8}x$$4.甲单独12天完成，乙单独24天完成，两人合作x天完成工程，列方程正确的是（）A. $$12x+24x=1$$ B. $$x+2x=1$$ C. $$\frac{x}{12}+\frac{x}{24}=1$$ D. $$\frac{12}{x}+\frac{24}{x}=1$$5.一项工程，甲乙合作2天完成$$\frac{1}{2}$$，则两人合作完成全部工程需要（）A. 2天B. 4天C. 6天D. 8天（二）填空题（每题4分，共20分）1.工程问题中，没有给出具体总量时，通常把工作总量看作________。2.一项工作甲单独5天完成，甲的工作效率是________。3.甲效率$$\frac{1}{4}$$，乙效率$$\frac{1}{6}$$，甲乙合作效率是________。4.一项工程，甲先做2天，再由甲乙合作x天完成，总工作量可表示为________。（甲效率$$\frac{1}{10}$$，乙效率$$\frac{1}{15}$$）5.一项工程，单独做甲8天、乙16天完成，两人合作________天可以完成。（三）解答题（共60分）1.（20分）基础合作问题：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作多少天可以完成全部工程？2.（20分）分段工作问题：一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需24天完成，甲先单独做3天，剩下的由甲乙合作完成，还需要多少天？3.（20分）综合工程问题：有一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，两人合作2天后，甲因故离开，剩余工程由乙单独完成，乙还需做多少天？三、参考答案与解析选择题：1.B 2.A 3.B 4.C 5.B解析：工程问题核心是设工作总量为1，根据单独时间求单人效率，合作效率为各效率之和，结合“工作量之和=总工作量1”列方程求解，严格区分效率、工作时间、工作量三者关系。填空题：1.单位1 2. $$\frac{1}{5}$$ 3. $$\frac{5}{12}$$ 4.$$\frac{2}{10}+(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x=1$$ 5. $$\frac{16}{3}$$解答题：1.解：设两人合作$$x$$天完成全部工程。甲效率：$$\frac{1}{10}$$，乙效率：$$\frac{1}{15}$$列方程：$$(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x=1$$通分合并：$$\frac{3+2}{30}x=1$$，即$$\frac{1}{6}x=1$$解得：$$x=6$$答：两人合作6天可以完成全部工程。2.解：设还需要合作$$x$$天。甲效率：$$\frac{1}{12}$$，乙效率：$$\frac{1}{24}$$列方程：$$\frac{3}{12}+(\frac{1}{12}+\frac{1}{24})x=1$$化简：$$\frac{1}{4}+\frac{3}{24}x=1$$，$$\frac{1}{4}+\frac{1}{8}x=1$$移项合并：$$\frac{1}{8}x=\frac{3}{4}$$，解得：$$x=6$$答：还需要6天完成。3.解：设乙还需做$$x$$天。甲效率：$$\frac{1}{8}$$，乙效率：$$\frac{1}{12}$$列方程：$$2\times(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})+\frac{1}{12}x=1$$化简计算：$$2\times\frac{5}{24}+\frac{1}{12}x=1$$，$$\frac{5}{12}+\frac{1}{12}x=1$$移项得：$$\frac{1}{12}x=\frac{7}{12}$$，解得：$$x=7$$答：乙还需做7天。总结：本节课重点掌握工程问题“总量为1”的核心思想，熟练掌握效率、时间、工作量三者关系，能解决双人合作、分段工作、中途离岗等基础工程应用题，找准分段工作量等量关系，是方程应用题的重点必考题型。情境导入
甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲速度为20 km/h，乙速度为30 km/h，出发 x小时后，两人相遇.
那么甲车行了______km，乙车行了______km
A、B两地相距_________km.若A、B两站间的路程为500km，可得方程______________，求得x=____.
20x
30x
20x+30x
20x+30x=500
10
为进一步感悟雷锋胸怀祖国、服务人民的爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆．
探索新知
已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠每小时骑10km，他在上午10时到达，小华每小时骑15km，他在上午9时30分到达. 他俩的家到雷锋纪念馆的路程是多少？
思 考
小楠家
小华家
雷锋纪念馆
同时出发，距离相等
10 km/h
上午10时到
15 km/h
上午9时30分到
本问题中有什么等量关系？
小楠花的时间－小华花的时间=0.5h
若设他俩的家到雷锋纪念馆的路程为 x km，
则根据等量关系，得
解得 x=15 .
因此，他俩的家到雷锋纪念馆的路程为15 km.
时间=路程÷速度
路程=时间×速度
小楠花的时间－小华花的时间=0.5h
某人骑自行车去工厂上班，若每小时骑10 km，可早到6 min ；若每小时骑 8 km，就迟到6 min，则他家到工厂的路程是_______.
练一练
8 km
例2 刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类.若刺绣一件作品，甲单独绣需要 15 天才能完成，乙单独绣需要 12 天才能完成. 现在甲先单独绣 1 天，接着乙又单独绣 4 天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品
工作时间 工作效率 工作总量
甲
乙
设再合绣 x 天
x + 1
x + 4
本题中等量关系为：
甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝总工作量.
解得 x＝4.
解：设剩下的工作由甲、乙两人合绣 x 天可以完成，则根据题意，得
答：甲、乙两人再合绣 4 天就可以完成这件作品.
例3 一项工作，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成，丙单独做 24 天完成．现甲、乙合作 3 天后，甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？
解：设乙、丙还要 x 天才能完成这项工作，由甲、乙
合作 3 天的工作量 + 乙、丙合作的工作量 = 1，得
解得 x = 3.
答：乙、丙还要 3 天才能完成这项工作.
做一做
6. 一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 ，
第二天耕了剩余部分的 ，还剩下 42 公顷，则
这片地共有 公顷.
解析：设这片地共有 x 公顷. 由题意，得
解得 x = 189.
189
应用1 行程问题
1. 如图，已知正方形 的边长为4，甲、
乙两动点分别从正方形的顶点，
同时出发，沿正方形的边开始移动，甲以
顺时针方向环行移动，乙以逆时针方向环
行移动，若乙的速度是甲的速度的3倍，
则它们第2 028次相遇时所在的边是( )
A
A. B. C. D.
2. 随着人们生活水平的提高，人工智能
扫地机器人成为上班族或现代家庭的常用家电.为了测试两款
扫地机器人的清扫速度，现安排甲、乙两个不同的扫地机器
人从， 两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶清扫
（路途中没有障碍物阻挡），已知出发后经3分钟两个扫地
机器人相遇，相遇后再经2分钟乙到达地，， 两地相距
45米.则从， 两地同时出发后，经过_______分钟后两个扫
地机器人相距6米.
或
【点拨】根据题意，得乙扫地机器人的速度为
（米/分）.设甲扫地机器人的速度为 米/分，
则，解得.设经过 分钟后两个扫地机器人
相距6米.当两个扫地机器人相遇前相距6米时，
，解得 ；当两个扫地机器人相遇后相
距6米时，，解得.综上，经过或 分
钟后两个扫地机器人相距6米.
3. 台州西站到永康南站现有一条设计时速为 的单
轨普速铁路.客车以 的平均速度行驶，从“铁路
12306”可查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表：
到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南
到达时间 11:03 11:25 11:53 12:04 12:23
驶出时间 11:05 11:27 11:55 12:07
（1）求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁
路长度.
【解】客车的行驶速度为 .
易知临海南到仙居南的铁路长度：
仙居南到磐安南的铁路长度： ,
磐安南到壶镇的铁路长度： .
（2）一列货车以 的速度匀速行驶开往永康南站，
在10：55通过临海南站.
货车的速度为 .
①若货车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与
客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海
南站多少千米时会追尾.
首先判断到终点永康南站前，客车是否与货车有追尾危险.由
题意可得，以临海南站为起点，客车比货车晚 出发，
壶镇到永康南的铁路长度为 ，所以临海南
至永康南的铁路总长度为
货车行驶时间为 ；
客车行驶时间为 ，易知三站停车总时
长为 .
因为 ，所以客车比货车
早到永康南，但时间很接近，所以两车有追尾危险，猜测两
车在壶镇至永康南段有追尾危险.
验证：假设两车在壶镇至永康南段追尾，设此时货车的行驶
时间为.根据题意可知 ，解
得，所以在货车驶离临海南站 时会
追尾.
②为确保列车运行安全，货车需要在客车追上前进入火车站，
停靠在货车等待轨道等待客车通过.则该货车应该停靠在
________站等待客车通过能使等待的时间最少.且停靠等待的
时间为___.（精确到 ）.
磐安南
3
【点拨】为避免两车追尾，货车可以停靠在仙居南站、磐安
南站或壶镇站等待客车先通过.
停仙居南站： ，货车等待时间为
所以货车停仙居南站等待客车通过
要 .
停磐安南站： ，
，所以货车停磐安南站等待客车
通过约要 .
停壶镇站： ，
，所以货车停壶镇站等待客车
通过约要 .
综上所述，货车停靠在磐安南站等待的时间最少，最少为
.
应用2 调配问题
4. 3月12日植树节，为贯彻“绿水青山就是
金山银山”的生态理念，某校组织植树活动.已知在甲处植树
的有23人，在乙处植树的有17人.现调20人去支援，使在甲处
植树的人数比在乙处植树的人数的2倍多3人，则应调往甲处
____人.
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5. 体育课上，体育老师要求男、女生各站成一队，记男
生队为队，女生队为 队.
（1）已知队有32人，队有28人.从队调人到队后，
队人数比队剩余人数的2倍多3人，则 的值为____；
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（2）若队人数是队人数的2倍，从队调人到 队，又从
队回调人到队（回调的人里有男有女），试判断回调后
队中的女生人数和 队中的男生人数是否相同，并说明理由.
【解】相同.理由：设队有人，则队有 人.
从队调人到队后队有人，队有 人，
所以此时队比 队多
人.
设回调的人中有名男生，则回调后队的女生有
人，回调后队的男生有人，所以回调后 队中的女
生人数和 队中的男生人数相同.
应用3 间隔问题
6. 某市计划在一段公路的一侧栽上银杏树，要求路的两
端各栽一棵，并且相邻两棵树的间隔都相等.现有树苗 棵，
如果每隔栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔 栽1棵，则
树苗正好用完，则下列说法正确的是( )
B
A. B.
C. 现有树苗105棵 D. 这段公路长
应用一元一次方程解决问题的步骤：
1. 审：审题，分析题目中的数量关系；
2. 设：设适当的未知数，并表示未知量；
3. 列：根据题目中的数量关系列方程；
4. 解：解这个方程；
5. 答：检验并作答.

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