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5.2　三角函数的概念
5.2.1　三角函数的概念(一)
素养目标 思维导图
借助单位圆,理解三角函数的定义(数学抽象).
课前自主学习
问题1.在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数,如图所示.
定义sin α=,cos α=,tan α=.
定义的三个三角函数,对于同样大的一个角来说,如果三角形的大小改变,其三角函数值是否改变
提示:不变.
问题2.如图,如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(x,y),
根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义,你
能否用点P的坐标表示sin α,cos α,tan α
提示:能.sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0).
继续探究:如果角α的终边落在y轴上,这时其终边与单位圆的交点坐标是什么
sin α,cos α,tan α的值是否还存在
提示:终边与单位圆的交点坐标是(0,1)或(0,-1),这时tan α的值不存在,因为分母不能
为零,但sin α, cos α的值仍然存在.
【核心概念】
1.任意角的三角函数定义
在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与________交于点P(x,y),那么:
(1)正弦函数:把点P的________叫做α的正弦函数,记作______,即y=sin α;
(2)余弦函数:把点P的_________叫做α的余弦函数,记作______,即x=cos α;
(3)正切函数:把点P的纵坐标与横坐标的______叫做α的正切函数,记作______,
即=tan α(x≠0).
单位圆
纵坐标y
sin α
横坐标x
cos α
比值
tan α
2.三角函数的概念
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为__________.通常将它们记为:
正弦函数:____________;
余弦函数:_____________;
正切函数:_____________________.
三角函数
y=sin x,x∈R
y=cos x,x∈R
y=tan x,x≠+kπ(k∈Z)
3.用角的终边上的点的坐标表示三角函数
如图,若α是一个任意角,它的终边上任意一点P(不与原点重合)的坐标为(x,y),点P与原点的距离为r(r=),则sin α=,cos α=,tan α=.

注意:三角函数值的大小只与角的大小有关,与终边上点P的位置无关.
课堂合作探究
探究点　利用三角函数的定义求三角函数值
【典例】(1)已知角α的始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆的交点为P(-,-),则
cos α=(　　)
A.- B. C.- D.
(2)在平面直角坐标系xOy中,若点P从点(3,0)出发,沿圆心在原点,半径为3的圆按逆时针方
向运动 rad到达点Q,则点Q的坐标为(　　)
A.(-,) B.(-,) C.(,-) D.(,-)
(3)若α=,则sin α=　　　　　,cos α=　　　　　　,tan α=　　　　　.
【思维导引】(1)利用任意角的三角函数的定义求值.
(2)根据题意作出示意图,并利用三角函数定义即可求得点Q的坐标.
(3)在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解.
【解析】(1)选A.角α的终边与单位圆的交点为P(-,-),则cos α=-.
(2)选C.根据题意作出图示如下:
根据题意可得OP=3,∠POQ=,作QQ1⊥x轴且垂足为Q1.
利用三角函数定义可得OQ1=3×cos∠POQ=,
QQ1=3×sin∠POQ=.又点Q在第四象限,
所以点Q的坐标为(,-).
(3)在直角坐标系中,作∠AOB=(如图).
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(-,),
所以sin =,cos =-,tan =-.
答案:　-　-
【类题通法】由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的解题方法
已知角α的终边在射线上时,常用的解题方法有以下两种:
①单位圆法:先利用射线与单位圆相交,求出交点坐标,再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值;
②终边点法:在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0),则sin α=,cos α=.已知α的终边求α的三角函数值时,用这几个公式更方便.
【题后反思】当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定要注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论.
【定向训练】
1.已知角α终边经过点P(-3,y),且tan α=,则cos α=(　　)
A.- B.± C.- D.±
【解析】选A.根据三角函数定义可得:tan α==,解得y=-4,
则cos α==-=-.
2.已知角α的终边落在射线y=2x(x>0)上,求sin α,cos α的值.
【解析】设射线y=2x(x>0)与单位圆x2+y2=1的交点为P(x,y),则,
解得x=,y=,即P(,),由三角函数的定义,可得sin α=y=,cos α=x=.
课堂练习
1.如果角α的终边过点(1,-),则sin α的值等于(　　)
A. B.-
C.- D.-
【解析】选C.点(1,-)到原点的距离r==2,由定义知sin α==-.
√
2.(2024·西安高一检测)已知sin α=,cos α=-,则角α的终边与单位圆的交点坐标
是(　　)
A.(,-)　 B.(-,) C.(,-)　 D.(-,)
【解析】选D.设交点坐标为P(x,y),则y=sin α=,x=cos α=-,
故点P的坐标为(-,).
√
3.在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点(,)和(-,),那么sin αcos β=(　　)
A.-　 B.-　
C.　 D.
【解析】选B.因为角α,β的终边与单位圆分别交于点(,)和(-,),
故由定义知sin α=,cos β=-,所以sin αcos β=×(-)=-.
√
4.如果角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则cos α的值等于 (　　)
A. B.-
C.- D.
【解析】选A.2sin 30°=1,-2cos 30°=-,所以r=2,所以cos α=.
√
5.若角α的终边与射线y=-2x(x≤0)重合,则sin α=　　　　.
【解析】因为角α的终边与射线y=-2x(x≤0)重合,所以不妨在终边上取一点P(-1,2),
则r==,所以sin α=.
答案:
谢 谢

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