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5.3　诱导公式(二)
素养目标 思维导图
借助单位圆中的三角函数线推导出±α的正弦、余弦、正切的诱导公式(逻辑推理).
课前自主学习
问题:观察如图单位圆及角α与-α的终边.
(1)角α的终边与-α的终边有何关系
提示:它们的终边关于y=x对称.
(2)若设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x,y),
那么角-α的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么
提示:由于角α的终边与角-α的终边关于y=x对称,所以P2与P1关于y=x对称,所以P2点的坐标为(y,x).
(3)结合问题(1),(2)思考-α与α的正弦、余弦值有何关系
提示:sin(-α)=cos α,cos(-α)=sin α.
(4)你能利用sin(-α)=cos α,cos(-α)=sin α推导出sin(+α)与cos α,cos(+α)与sin α的关系式吗
提示:sin(+α)=sin[-(-α)]=cos(-α)=cos α,cos(+α)=cos[-(-α)]=sin(-α)=-sin α.
cos α
sin α
cos α
-sin α
【核心概念】
1.诱导公式五
sin (-α)=______;cos (-α)=______.
2.诱导公式六
sin (+α)=______;cos (+α)=______.
课堂合作探究
探究点一　利用诱导公式求值
【典例1】(1)(多选题)已知sin(-x)=,且0A.sin(+x)= 　 B.sin(+x)=
C.cos(+x)=- 　 D.cos(+x)=-
(2)(多选题)已知cos α=,α∈(-,0),则(　　)
A.sin(π+α)= B.cos(+α)=- C.tan(π-α)=- D.sin(+α)=-
【思维导引】(1)结合题目条件得0<-x<,再利用同角三角函数的基本关系得cos(-x)=,再利用诱导公式,计算sin(+x)和cos(+x)的值,得结论.
(2)利用平方关系求得sin α的值,再结合诱导公式、商数关系逐项化简判断即可.
【解析】(1)选BD.因为00,
因此0<-x<,所以cos(-x)==,
因此sin(+x)=sin[-(-x)]=cos(-x)=,cos(+x)=cos[π-(-x)]=-cos(-x)=-.
(2)选AD.因为cos α=,α∈(-,0), 所以sin α=-=-,
则sin(π+α)=-sin α=,cos(+α)=-sin α=,tan(π-α)=-tan α=-=,sin(+α)=-cos α=-,
则A,D正确,B,C错误.
【类题通法】
1.求值问题中角的转化方法
2.解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系
如-α与+α,+α与-α,-α与+α等互余,+θ与-θ,+θ与-θ等互补,遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换来解决问题.
探究点二　利用诱导公式进行化简、求值
【典例2】(规范解答)
(13分)已知α是第三象限角,且=.
(1)求tan α的值;
(2)求sin2α+3sin αcos α的值;
(3)角β的终边与角α关于x轴对称,求的值.
【解析】(1)===,…………2分
因为α是第三象限角,所以tan α>0,所以tan α=. …………4分
(2)sin2α+3sin αcos α====. …………8分
(3)因为α是第三象限角,且tan α=,角β的终边与角α关于x轴对称,则tan β=-,
…………10分
所以====. ………………13分
【类题通法】三角函数式化简的方法和技巧
(1)方法:三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,据此灵活应用相关的公式及变形,解决问题.
(2)技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦.
【定向训练】
若tan θ=2,求的值.
【解析】利用诱导公式将原式化简可得,原式=
=====2+.因为tan θ=2,
所以=.
探究点三　证明三角恒等式
【典例3】求证:=.
【证明】左边==
==
==.
右边===.
所以左边=右边,故原式得证.
【类题通法】三角恒等式的三种证法
【定向训练】
证明:=(-1)ncos α,n∈Z.
【证明】当n为偶数时,令n=2k(k∈Z),
左边===cos α=(-1)2kcos α=右边,
当n为奇数时,令n=2k+1(k∈Z),左边
====-cos α
=(-1)2k+1cos α=右边,
所以=(-1)ncos α,n∈Z,等式得证.
课堂练习
1.已知f(x)=sin x,下列式子中成立的是 (　　)
A.f(x+π)=sin x B.f(2π-x)=sin x C.f(x-)=-cos x D.f(π-x)=-f(x)
【解析】选C.f(x+π)=sin(x+π)=-sin x,
f(2π-x)=sin(2π-x)=-sin x,f(x-)=sin(x-)=-cos x,f(π-x)=sin(π-x)=sin x=f(x).
√
2.已知sin(π+α)=,则cos(α-)的值为 (　　)
A. B.- C. D.-
【解析】选A.由sin(π+α)=得sin α=-,
所以cos(α-)=cos(-α)=-sin α=.
√
3.如果α+β=且sin α=,则cos β=　　　　.
【解析】因为α+β=,所以β=-α,
所以cos β=cos (-α)=sin α=.
答案:
4.已知α是第四象限角,且cos α=,则cos(α+90°)=　　　　　.
【解析】由诱导公式六知cos(α+90°)=-sin α.
又cos α=且α是第四象限角,
所以sin α=-=-=-,
所以cos(α+90°)=.
答案:
5.化简:=　　　　.
【解析】原式==
==-tan θ.
答案:-tan θ
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