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第五章　三角函数
5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
素养目标 思维导图
1.了解任意角的概念及角的分类(数学抽象). 2.熟练掌握象限角、轴线角、终边相同的角的概念,并会用集合符号表示这些角(直观想象).
课前自主学习
问题1.当钟表慢了或快了一点时,我们会将分针按某个方向转动,把时间调整准确,在调整的过程中,分针转动的方向是否相同
提示:不同,当钟表慢了,要顺时针转动分针,当钟表快了,要逆时针转动分针.
问题2.在跳水比赛中,运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作,做上述动作时,运动员转体多少度 转过的度数还能用0°到360°的角表示吗
提示:因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同,所以运动员“转体两周”可以是顺时针旋转720°或逆时针旋转720°,“向前翻腾两周半”可以是顺时针旋转900°或逆时针旋转900°.显然这些角都不在0°~360°,不能用0°到360°的角表示.
【核心概念】
1.角的概念
(1)角的形成:角可以看成是__________绕其______旋转形成的图形.
(2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:
①正角:按照________________形成的角;
②负角:按照________________形成的角;
③零角:当射线没有做__________时,我们也把它看成一个角,叫做零角.
一条射线
端点
逆时针方向旋转
顺时针方向旋转
任何旋转
2.角与角之间的关系
(1)相等角:设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β.
(2)两角和:设α,β是任意两个角.我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.
(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角,角α的相反角记为-α.
3.象限角
(1)象限角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的
终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角;
(2)轴线角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,并且角的
终边落在坐标轴上时,称这个角为轴线角,这时,这个角不属于任何象限.
4.终边相同的角
设α表示任意角,所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合,这个集合可
记为{β|β=_________,k∈Z}.
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
α+k·360°
课堂合作探究
探究点一　任意角的概念
【典例1】(1)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置绕端点O旋转到达OC位置,得∠AOC=-150°,则射线OB旋转的方向与角度分别为(　　)
A.逆时针,270° B.顺时针,270°
C.逆时针,30° D.顺时针,30°
(2)经过5小时25分钟,时钟的分针和时针各转多少度
【思维导引】(1)由题意可得∠AOB=120°,∠AOC=∠AOB+∠BOC=-150°,从而可求出∠BOC,进而可得答案.
(2)明确时钟的分针和时针的旋转方向及运行特点是解题的关键.
【解析】(1)选B.由题意可得∠AOB=120°,设∠BOC=θ,则∠AOC=∠AOB+∠BOC
=120°+θ=-150°,解得θ=-270°,所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°.
(2)时针走一周用12小时,即12小时转-360°,那么时针每小时应转-30°,而5小时25分钟为5小时,而分针每小时转-360°,所以时针转过的角度为-(5+)×30°=-162.5°,分针转过的角度为-(5+)×360°=-1 950°.
【类题通法】
1.判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键:正确理解有关角的概念.
(2)技巧:通过特值或反例进行判断.
2.处理任意角问题的两个关键点
(1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,否则为负角.
(2)定大小:根据旋转角度的绝对值确定角的大小.
【定向训练】
若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为(　　)
A.120°　　B.-120°　　C.-60°　　D.60°
【解析】选B.由于时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,
即为-×360°=-120°.
探究点二　终边相同的角
【典例2】(1)在下列各组的两个角中,终边不重合的一组是(　　)
A.-43°与677° B.900°与-1 260°
C.-120°与960° D.150°与630°
(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合.
【思维导引】(1)根据终边相同角的概念判断.
(2)先写出终边落在OA,OB上的角,然后结合图形
将所求范围内的角写出.
【解析】(1)选D.A选项,由于677°=360°×2-43°,所以-43°和677°终边相同;
B选项,由于-1 260°=-360°×6+900°,所以900°和-1 260°终边相同;
C选项,由于960°=360°×3-120°,所以-120°和960°终边相同;
D选项,由于630°=360°+270°,所以150°和630°终边不相同.
(2)若角α的终边落在OA上,则α=30°+360°·k,k∈Z.
若角α的终边落在OB上,则α=135°+360°·k,k∈Z.
所以角α的终边在题图中阴影区域内时,30°+360°·k≤α≤135°+360°·k,k∈Z.
故角α的取值集合为{α|30°+360°·k≤α≤135°+360°·k,k∈Z}.
【类题通法】终边相同的角的问题的注意点
(1)α为任意角.
(2)k·360°与α之间是“+”号,k·360°-α可理解为k·360°+(-α).
(3)相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.
(4)k∈Z这一条件不能少.
【定向训练】
1.若角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,则集合{α|k·180°+45°≤α≤ k·180°+90°,k∈Z}中的角α的终边在图中的位置(阴影部分)是(　　)
【解析】选C.当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),则有n·360°+45°≤α≤n·360°+90°,角α的终边在介于45°~90°角终边所在的区域内;
当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则有n·360°+225°≤α≤n·360°+270°,角α的终边在介于225°~270°角终边所在的区域内.
2.已知α=-1 845°,在与α终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最小的正角;(2)最大的负角;(3)-360°~720°的角.
【解析】因为-1 845°=-45°+(-5)×360°,即-1 845°角与-45°角的终边相同,
所以与角α终边相同的角的集合是{β|β=-45°+k·360°,k∈Z},
(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为-45°.
(3)-360°~720°的角分别是-45°,315°,675°.
探究点三　象限角的判定
【典例3】(一题多问)
已知α为第四象限角,回答下列问题:
(1)确定终边所在的位置;
(2)确定终边所在的位置;
(3)确定2α终边所在的位置;
(4)确定180°-终边所在的位置.
【问题解读】先由α为第四象限角,写出角α的范围,再逐一运算,确定角的终边在坐标系上的位置.
【解析】因为α为第四象限角,所以270°+k·360°<α(1)135°+k·180°<<(k+1)180°,当k=2n时,135°+2n·180°<<(2n+1)180°,终边在第二象限,
当k=2n+1时,135°+(2n+1)180°<<(2n+2)180°,终边在第四象限,
所以的终边在第二或第四象限;
(2)90°+k·120°<<30°+90°+k·120°,当k=3n时,90°+n·360°<<30°+90°+n·360°,终边在第二
象限,当k=3n+1时,90°+120°+n·360°<<30°+90°+120°+n·360°,终边在第三象限,
当k=3n+2时,90°+240°+n·360°<<30°+90°+240°+n·360°,终边在第四象限,
所以的终边在第二、第三或第四象限;
(3)(4k+3)180°<2α<(4k+4)180°,所以2α的终边在第三或第四象限,也可在y轴的非正半轴上;
(4)因为α为第四象限角,所以270°+k·360°<α所以135°+k·180°<<(k+1)180°,所以-k·180°<180°-<45°-k·180°,
当k=2n时,-2n·180°<180°-<45°-2n·180°,终边在第一象限,当k=2n+1时, -(2n+1)180°<180°-<45°-(2n+1)180°,终边在第三象限,
所以180°-的终边在第一或第三象限.
【类题通法】象限角判定的两种方法
一是根据图象.
二是利用终边相同的角将角转化成0°~360°范围内,利用图象实际操作时,依据的还是终边相同的角的思想.
【知识延拓】
1.各象限角的表示
第一象限角:S={α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z};
第二象限角:S={α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z};
第三象限角:S={α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z};
第四象限角:S={α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}.
2.轴线角的表示
角α的终边所在的坐标轴 集合表示
x轴的非负半轴 {α|α=k·360°,k∈Z}
x轴的非正半轴 {α|α=180°+k·360°,k∈Z}
y轴的非负半轴 {α|α=90°+k·360°,k∈Z}
y轴的非正半轴 {α|α=270°+k·360°,k∈Z}
x轴 {α|α=k·180°,k∈Z}
y轴 {α|α=90°+k·180°,k∈Z}
坐标轴 {α|α=k·90°,k∈Z}
【定向训练】
(多选题)下列命题,为真命题的是(　　)
A.-75°角是第四象限角 B.225°角是第三象限角
C.475°角是第二象限角 D.-225°角是第一象限角
【解析】选ABC.对于A,因为-75°=285°-360°,285°角是第四象限角,则-75°角是第四象限角,A正确;对于B,225°角是第三象限角,B正确;对于C,475°=115°+360°,115°角是第二象限角,则475°角是第二象限角,C正确;对于D,-225°=135°-360°,135°角是第二象限角,则-225°角是第二象限角,D错误.
√
√
√
课堂练习
1.钟表的分针一个半小时转了 (　　)
A.180° B.-180°
C.540° D.-540°
【解析】选D.分针旋转的角为负角,其值为-(360°+180°)=-540°.
√
2.与600°角终边相同的角可表示为 (　　)
A.k·360°+220°(k∈Z)　 B.k·360°+240°(k∈Z)
C.k·360°+60°(k∈Z) D.k·360°+260°(k∈Z)
【解析】选B.与600°终边相同的角α=n·360°+600°=n·360°+360°+240°
=(n+1)·360°+240°=k·360°+240°,n∈Z,k∈Z.
√
3.与角-1 825°的终边相同,且绝对值最小的角的度数是　　　　.
【解析】因为-1 825°=-5×360°-25°,所以绝对值最小的角的度数是-25°.
答案:-25°
4.若α,β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β=　　　　.
【解析】先求出β的一个角,β=α+180°=60°.
再由终边相同的角的概念知β=k·360°+60°,k∈Z.
答案:k·360°+60°,k∈Z
5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是
　　　　.

【解析】观察题图可知,角α的集合是{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}.
答案:{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}
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