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(共26张PPT)
5.2.1　三角函数的概念(二)
素养目标 思维导图
1.会判断给定角的三角函数值的符号(逻辑推理). 2.会利用公式一把任意角的三角函数值转化为[0,2π)范围内的角的三角函数值(数学运算、逻辑推理).
课前自主学习
问题1.如图,一个角α的终边与单位圆的交点是P(x,y).
(1)点P的坐标与角α的正弦、余弦、正切有哪些关系
提示:sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0).
(2)点P在哪些位置时点P的纵坐标为正,在哪些位置时点P的纵坐标为负,在哪些位置时点P的纵坐标为0
提示:当点P在x轴上方时点P的纵坐标为正,当点P在x轴下方时点P的纵坐标为负,当点P在x轴上时点P的纵坐标为0.
(3)点P在哪些位置时点P的横坐标为正,在哪些位置时点P的横坐标为负,在哪些位置时点P的横坐标为0
提示:当点P在y轴右侧时点P的横坐标为正,当点P在y轴左侧时点P的横坐标为负,当点P在y轴上时点P的横坐标为0.
问题2.30°,390°,-330°三个角的终边有什么关系 它们与单位圆的交点坐标相同吗 这三个角的正弦值、余弦值、正切值相等吗
提示:终边相同,与单位圆的交点坐标相同,三个角的正弦值、余弦值、正切值相等.
继续探究:
(1)终边相同的角的同名三角函数值相等吗
提示:相等.由三角函数的定义可知,终边相同的角的三角函数值相等.
(2)若sin α=sin β,则一定有α=β吗
提示:不一定.由终边相同的角的表示可知,当α与β的终边相同时,它们的正弦值虽然相等,但这两个角不一定相等.
【核心概念】
1.三角函数值在各象限的符号
如图所示:
正弦:________象限正,________象限负;
余弦:________象限正,________象限负;
正切:________象限正,________象限负.
简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
一、二
三、四
一、四
二、三
一、三
二、四
2.诱导公式一
(1)语言表示:____________________________________.
(2)式子表示:(k∈Z).
终边相同的角的同一三角函数的值相等
课堂合作探究
探究点一　三角函数值符号的判断
【典例1】(1)(多选题)(2025·衡水高一检测)若角x是第二象限角,则(　　)
A.sin x>0 B.cos x>0
C.sin(cos x)<0 D.cos(sin x)>0
(2)已知sin α<0,tan α>0.
①求的终边所在的象限;
②试判断tansincos的符号.
【思维导引】(1)由角x是第二象限角可得0(2)①由三角函数值的符号可得α角的集合,由不等式的性质可得的范围,可得终边所在象限;
②由的象限分类可得三角函数值的符号,可得乘积的符号.
【解析】(1)选ACD.若角x是第二象限角,则0则sin(cos x)<0,cos(sin x)>0,故A,C,D正确,B错误.
(2)①因为sin α<0,tan α>0,所以α的集合为{α|2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z},
所以{|kπ+<②当在第二象限时,tan<0,sin>0,cos<0,所以tansincos>0,
当在第四象限时,tan<0,sin<0,cos>0,所以tansincos>0,
综上,tansincos取正号.
【类题通法】判断三角函数值正负的两个步骤
(1)定象限:确定角α所在的象限.
(2)定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”来判断.
提醒:若sin α>0,则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内,有可能落在y轴的非负半轴上.
【定向训练】
1.(多选题)下列选项中,符号为负的是(　　)
A.sin(-100°)　 B.cos(-220°)
C.tan 10　 D.cos π
【解析】选ABD.-100°在第三象限,故sin(-100°)<0;-220°在第二象限,
故cos(-220°)<0;10∈(3π,),在第三象限,故tan 10>0;cos π=-1<0.
2.判断下面各式的符号:
(1)sin·cos;(2)cos 6·sin 6.
【解析】(1)因为<<π,所以是第二象限角,所以sin>0,cos<0,
所以sin·cos<0.
(2)因为<6<2π,所以6弧度的角为第四象限角,所以cos 6>0,sin 6<0,
所以cos 6·sin 6<0.
探究点二　诱导公式一的应用
【典例2】求下列各式的值.
(1)cos +tan(-)=　　　　;
(2)sin 420°cos 750°+sin(-690°)cos(-660°)=　　　　.
【思维导引】利用诱导公式一,将任意角的三角函数转化为0~2π(或0°~360°)角的三角函数,再求值.
【解析】(1)因为cos =cos(+8π)=cos =,tan(-)=tan(-4π+)=tan =1,
所以cos +tan(-)=+1=.
(2)因为sin 420°=sin(360°+60°)=sin 60°=,cos 750°=cos(2×360°+30°)=cos 30°=,
sin(-690°)=sin(-2×360°+30°)=sin 30°=,cos(-660°)=cos(-2×360°+60°)=cos 60°=,
所以sin 420°cos 750°+sin(-690°)cos(-660°)==1.
答案:(1)　(2)1
【类题通法】利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤
【定向训练】
1.sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°=　　　　.
【解析】sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°
=sin(-1 440°+45°)cos(1 080°+30°)+cos(-1 080°+60°)sin(720°+30°)
=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°==.
答案:
2.计算:tan 405°-sin 450°+cos 780°.
【解析】原式=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(2×360°+60°)
=tan 45°-sin 90°+cos 60°=1-1+=.
课堂练习
1.若点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,那么角θ终边落在 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.由题设cos θ<0,sin θ>0,故角θ的终边在第二象限.
√
2.cos 390°= (　　)
A. B.
C.- D.-
【解析】选B.cos 390°=cos(360°+30°)=cos 30°=.
√
3.(多选题)若sin θ·cos θ>0,则θ的终边在 (　　)
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
【解析】选AC.因为sin θ·cos θ>0,所以sin θ>0,cos θ>0或sin θ<0,cos θ<0,
所以θ的终边在第一象限或第三象限.
√
√
4.sinπ+cosπ+cos(-5π)+tan=　　　　.
【解析】原式=sinπ+cos+cos π+1=-1+0-1+1=-1.
答案:-1
谢 谢

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