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5.2.2　同角三角函数的基本关系
素养目标 思维导图
理解同角三角函数的基本关系:sin 2α+ cos 2α=1和tan α=(逻辑推理).
课前自主学习
问题:写出下列各角的三角函数值,观察它们的值,猜想它们之间的联系.
三角函数 sin α cos α tan α sin2α+cos2α
30°
45°
60°
提示:下列角的三角函数值为
由表可看出:sin230°+cos230°=1,=tan 30°,
sin245°+cos245°=1,=tan 45°,sin260°+cos260°=1,=tan 60°.
三角函数 sin α cos α tan α sin2α+cos2α
30° 1
45° 1 1 1
60° 1
继续探究:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sin α,x=cos α,=tan α.
(1)能否根据x,y的关系得到sin α,cos α,tan α的关系
提示:sin2α+cos2α=1,tan α=.
(2)公式sin2α+cos2α=1与tan α=对任意角都成立吗
提示:sin2α+cos2α=1对任意角α均成立,当α≠kπ+,k∈Z时,tan α=成立.
【核心概念】
同角三角函数的基本关系
1.平方关系:sin2α+cos2α=___.
商数关系:=______(α≠kπ+,k∈Z).
2.语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的________等于1,____等于角α的正切.
1
tan α
平方和
商
课堂合作探究
探究点一　应用同角三角函数关系求值
【典例1】(1)(2025·衡水高一检测)已知sin α=,且α是第二象限角,则tan α=(　　)
A.- B.- C.- D.-
(2)已知角A是△ABC的一个内角,若sin A+cos A=,则tan A=(　　)
A. B. C.- D.-
(3)若sin θ=,cos θ=,则m的值为　　　　　.
【思维导引】(1)根据各象限三角函数的符号和同角三角函数的基本关系进行求值.
(2)利用同角三角函数的基本关系及题意,可得sin Acos A=-,可知A为钝角,列方程组解得sin A及cos A,由tan A=代入计算可得.
(3)利用同角三角函数间的基本关系列出方程,求出方程的解即可得到m的值.
【解析】(1)选A.因为α是第二象限角,所以cos α<0.
又sin α=,sin2α+cos2α=1,所以cos α=-.所以tan α==-.
(2)选D.因为sin2A+cos2A=1,(sin A+cos A)2=,
所以sin Acos A=-,可知A为钝角,解方程组,
解得,所以tan A==-.
(3)因为sin θ=,cos θ=,又sin2θ+cos2θ=1,即()2+()2=1,
整理得m2-6m+9+16-16m+4m2=m2+10m+25,即m2-8m=0,解得m=0或m=8,
经检验是分式方程的解,则m的值是0或8.
答案:0或8
【类题通法】利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法
(1)选择合适公式:已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
(2)注意角α的范围:若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
提醒:=tan α并不是对任意角α∈R都成立,这时α≠kπ+,k∈Z.
【定向训练】
已知sin α+3cos α=0,求sin α,cos α的值.
【解析】因为sin α+3cos α=0,所以sin α=-3cos α.
又sin2α+cos2α=1,所以(-3cos α)2+cos2α=1,即10cos2α=1,所以cos α=±.
又由sin α=-3cos α,可知sin α与cos α异号,
所以角α的终边在第二或第四象限.
当角α的终边在第二象限时,cos α=-,sin α=;
当角α的终边在第四象限时,cos α=,sin α=-.
探究点二　齐次式求值问题
【典例2】(一题多问)
已知sin α=2cos α,回答下列问题:
(1)求sin α,cos α的值;
(2)求的值;
(3)求(sin α-cos α)2的值;
(4)求的值;
(5)求cos 2α-2sin αcos α-1的值.
【问题解读】(1)根据条件结合同角三角函数的平方关系求解;
(2)由题可得tan α=2,然后根据同角关系结合条件转化为齐次式;
(3)利用同角三角函数的基本关系,构造齐次式求解即可;
(4)先化简转化为齐次式,再计算;
(5)利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案.
【解析】(1)根据题意可得,,
解得或;
(2)因为sin α=2cos α,所以tan α=2,所以===-;
(3)(sin α-cos α)2===;
(4)=·=·==-;
(5)cos 2α-2sin αcos α-1=-1=-1=-1=-.
【类题通法】关于sin α,cos α的齐次式的求值方法
(1)弦化切:关于sin α,cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值.
(2)1的代换:假如代数式中不含分母,可以视分母为1,灵活地进行“1”的代换,由1=sin2α+cos2α代换后,再同除以cos2α,构造出关于tan α的代数式.
探究点三　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
【典例3】已知x是第三象限角,且cos x-sin x=.
(1)求cos x+sin x的值;
(2)求2sin2x-sin xcos x+cos2x的值.
【解析】(1)因为(cos x-sin x)2=1-2sin xcos x=,所以2sin xcos x=,
所以(cos x+sin x)2=1+2sin xcos x=,根据x是第三象限角,可知cos x+sin x<0,
所以cos x+sin x=-;
(2)由(1)求得cos x+sin x=-,故,所以,
所以2sin2x-sin xcos x+cos2x=2×(-)2-(-)×(-)+(-)2=,
所以2sin2x-sin xcos x+cos2x的值为.
【类题通法】
知一求二:对于sin θ+cos θ,sin θcos θ,sin θ-cos θ这三个式子,利用(sin θ±cos θ)2
=1±2sin θcos θ,可以知一求二.
【定向训练】
(多选题)设α∈(0,π),已知sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,则下列等式正确的
是(　　)
A.m=- B.sin α-cos α=
C.tan α= D.cos2α-sin2α=-
【解析】选BD.sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,则有,
由(sin α+cos α)2=sin2α+2sin α·cos α+cos2α,得=1-,解得m=,A选项错误;
α∈(0,π),则sin α>0,由sin α·cos α=-=-<0,得cos α<0,(sin α-cos α)2
=sin2α-2sin α·cos α+cos2α=1+=,因为sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=,
B选项正确;由得,tan α==-,C选项错误;
cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=×(-)=-,D选项正确.
探究点四　三角函数式的化简与证明
【典例4】(1)若sin α·tan α<0,化简:.
(2)求证:=.
【思维导引】(1)对于含有根号的式子,常把根号下的式子化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的.
(2)解答本例题可以从左边推到右边,也可以作差比较.关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧.
【解析】(1)因为sin α·tan α<0,所以cos α<0.
原式=+=
===-.
(2)左边===
====右边,所以原等式成立.
【类题通法】
1.化简三角函数式的一般要求
(1)函数种类最少;
(2)项数最少;
(3)函数次数最低;
(4)能求值的求出值;
(5)尽量使分母不含三角函数;
(6)尽量使分母不含根式.
2.证明三角恒等式常用的方法
(1)由繁到简,从结构复杂的一边入手,经过适当的变形、配凑,向结构简单的一边化简,或从等式两边同时入手,使它们等于同一个数(式).
(2)比较法,证明待证等式的左、右两边之差为0.
(3)从待证的恒等式出发,利用三角恒等变形公式,找出一个显然成立的恒等式或已有的结论.
【定向训练】
(一题多解) 求证:=.
【证明】方法一:左边=====右边.
所以等式成立.
方法二:右边=====左边.
所以等式成立.
课堂练习
1.已知α是第二象限角,sin α=,则cos α=(　　)
A.- B.- C. D.
【解析】选A.利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角,所以cos α=-=-.
√
2.化简:()(1-cos α)=(　　)
A.sin α B.cos α
C.1+sin α D.1+cos α
【解析】选A.()(1-cos α)=()(1-cos α)==sin α.
√
3.化简:=　　　　　.
【解析】原式=
==|cos 40°-sin 40°|=cos 40°-sin 40°.
答案:cos 40°-sin 40°
4.若sin θ·cos θ=,θ∈(,),则cos θ-sin θ=　　　　.
【解析】(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=,故|cos θ-sin θ|=,
因为θ∈(,),故cos θ-sin θ<0,故cos θ-sin θ=-.
答案:-
5.已知α是三角形的内角,且tan α=-,则sin α+cos α的值为　　　　.
【解析】由tan α=-,得sin α=-cos α,将其代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=1,
所以cos2α=,易知cos α<0,所以cos α=-,sin α=,故sin α+cos α=-.
答案:-
谢 谢

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