资源简介

(共35张PPT)
5.1.2　弧度制
素养目标 思维导图
1.了解弧度制(数学抽象). 2.能进行弧度和角度的互化(直观想象).
课前自主学习
问题1.在初中学过的角度制中,1度的角是如何规定的
提示:周角的等于1度的角.
继续探究:
问题2.在弧度制中,1弧度的角是如何规定的,如何表示
提示:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角,弧度单位用符号rad表示.
问题3.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗
提示:“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角,是一个定值,与所在圆的半径大小无关.
【核心概念】
1.度量角的单位制
(1)角度制
用____作单位来度量角的单位制叫做角度制,规定1度的角等于周角的.
(2)弧度制
①弧度制的定义
长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示,
读作弧度.以______为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
度
半径长
弧度
②任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个______;负角的弧度数是一个______;零角的弧度数是___.
③角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|=.
正数
负数
0
2.角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°=____rad 2π rad= _____
180°=___rad π rad= _____
1°=rad≈0.017 45rad 1rad=()°≈57.30°
2π
360°
π
180°
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,圆心角用α表示,则:
项目 α为度数 α为弧度数
扇形的弧长 l= l= ___
扇形的面积 S= S==αR2
αR
lR
课堂合作探究
探究点一　有关角度与弧度概念的理解
【典例1】(1)下列命题中,正确的命题是　　　　.(填序号)
①1°的角是周角的,1 rad的角是周角的;
②1 rad的角等于1度的角;
③180°的角一定等于π rad的角;
④“度”和“弧度”是度量角的两种单位.
(2)在半径不等的两个圆内,1弧度的圆心角所对的弧长　　　　.(填“相等”或“不相等”)
【思维导引】从两种度量制的定义上,把握解题角度,从弧度制和角度制的定义出发解题.
【解析】(1)由弧度制的概念及换算关系知①③④正确.
(2)由于1弧度的圆心角所对的弧长等于圆的半径,而两个圆的半径不等,因此在两个圆中,1弧度的圆心角所对的弧长不相等.
答案:(1)①③④　(2)不相等
【类题通法】角度与弧度的理解
(1)理解弧度实质:引入弧度制后,角的集合与实数集建立了一一对应关系.
(2)区别:①0°与0:用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);
②非零角:用角度制和弧度制度量任意非零角,单位不同,数量也不同.
(3)牢记180°=π rad,充分利用其进行角度制与弧度制的互化.
(4)角度的单位“°”不可省略,而弧度的单位“rad”可以省略.
(5)在同一个式子中,角度、弧度不能混合使用.
【定向训练】
下列命题中,正确的是(　　)
A.1弧度的角就是长度等于半径长的弦所对的圆心角
B.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关
C.若α是第一象限的角,则-是第四象限的角
D.若α是第一象限的角,则-α也是第一象限的角
【解析】选D.对于选项A,由弧度制的定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,故A错误;对于选项B,用角度制和弧度制度量角,由定义可知都与圆的半径无关,故B错误;对于选项C,因为α是第一象限角,所以α∈(2kπ,+2kπ),k∈Z,所以-∈(--kπ,-kπ),k∈Z.当k=-1时,-∈(,π),为第二象限角,故C错误;对于选项D,因为α是第一象限角,所以α∈(2kπ,+2kπ),k∈Z,所以(-α)∈(-2kπ,-2kπ),k∈Z,是第一象限的角,故D正确.
探究点二　弧度与角度的互化及应用
【典例2】(1)(多选题)将下列角度与弧度进行互化正确的是(　　)
A.π=1 530° B.-=-105° C.10°= D.-855°=-
(2) (一题多解)
已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,φ=π,试比较它们的大小.
【思维导引】
【解析】(1)选BCD.对于A,因为π=×180°=15 330°,故A错误;
对于B,-=-×180°=-105°,故B正确;对于C,10°=10×=,故C正确;
对于D,-855°=-855×=-,故D正确.
(2)方法一(化为弧度):α=15°=15×=,θ=105°=105×=,
显然<<1<.故α<β<γ<θ=φ.
方法二(化为角度):β==×()°=18°,γ=1≈57.30°,φ=×()°=105°.
显然,15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ=φ.
【类题通法】角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键:抓住互化公式π rad=180°是关键.
(2)方法:度数×=弧度数;弧度数×()°=度数.
(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
(4)角度化为弧度时,其结果写成π的形式,没特殊要求不必化成小数.
【定向训练】
1.把下列弧度化为角度:
(1)=　　　　　;(2)-=　　　　　.
【解析】(1)=×()°=690°.
(2)-=-×()°=-390°.
答案:(1)690°　(2)-390°
2.把下列角度化为弧度:
(1)-1 500°=　　　　　;
(2)67°30'=　　　　　.
【解析】(1)-1 500°=-1 500×=-π.
(2)67°30'=67.5°=67.5×=.
答案:(1)-　(2)
3.把下列角化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合.
(1)-;(2)-1 485°.
【解析】(1)-=-8×2π+,它是第二象限角,
与终边相同的角的集合为.
(2)-1 485°=-5×360°+315°=-5×2π+,
它是第四象限角,与终边相同的角的集合为.
探究点三　扇形的弧长及面积公式的计算
【典例3】(1)若扇形的面积是4 cm2,它的周长是10 cm,则扇形圆心角(正角)的弧度数为(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
(2)已知一扇形的圆心角为α(0<α<2π),所在圆的半径为R.
①当α=,R=4时,求其弧所在弓形的面积.
②若该扇形的面积S=4,当它的圆心角和半径取何值时,该扇形的周长C最小 最小值是多少
【思维导引】(1)根据扇形的面积、周长与半径和圆心角的关系求解.
(2)①由扇形面积公式可得扇形面积,再减去三角形面积即可得所求弓形面积;
②设扇形弧长为l,由扇形面积公式S=lR=4,得lR=8(定值),利用基本不等式求周长即l+2R的最小值即可.
【解析】(1)选A.设扇形的半径为r,圆心角为α(0<α<2π),
由题意,得
由②得,r=,③
把③代入①,得2α2-17α+8=0.
解得α=或α=8(舍去).
故扇形圆心角的弧度数为.
(2)①由题意,当α=,R=4时,扇形面积S=αR2=×16=;
如图,在扇形OAB中,连接AB,则OA=OB,∠AOB=,
所以△ABO是正三角形,则S△ABO=×42=4,故所求弓形面积为S-S△ABO=-4.
②设扇形弧长为l,由已知扇形的面积S=lR=4,得lR=8,
则扇形的周长C=l+2R≥2=8,
当且仅当l=2R,即R=2,l=4时等号成立,
此时半径为2,圆心角α==2,该扇形的周长C最小,最小值为8.
【题后反思】C=l+2R,S=lR,当周长C为定值时,可得面积S=(C-2R)R=-R2+CR;当面积S为定值时,可得周长C=+2R.
【类题通法】扇形周长及面积问题的求解技巧
(1)公式:明确弧度制下扇形的面积公式是S=lr=|α|r2(其中l是扇形的弧长,r是扇形的半径,α是扇形的圆心角).
(2)关键:分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
提醒:运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度.
【知识延拓】解决扇形周长、面积最值问题的方法
解决扇形的周长或面积的最值问题的关键是运用函数思想,把要求的最值问题转化为关于有关变量的函数,再求其函数的最值即可.
【定向训练】
某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=10 m,OB=x m(0(1)求θ关于x的函数解析式;
(2)记铭牌的截面面积为y,试问:x取何值时,y的值最大
并求出最大值.
【解析】(1)根据题意,可算得=θx m,=10θ m.
因为AB+CD+=30,所以2(10-x)+θx+10θ=30,所以θ=(0(2)根据题意,可知y=S扇形AOD-S扇形BOC=θ(102-x2)=
=(x+5)(10-x)=-x2+5x+50=-(x-)2+,当x= m时,ymax= m2.
综上所述,当x=m时铭牌的截面面积最大,且最大面积为m2.
课堂练习
1.把化为角度是(　　)
A.270° B.280°
C.288° D.318°
【解析】选C.=×()°=288°.
√
2.半径为2,弧长为的扇形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.扇形的面积为×2×=.
√
3.(2024·哈尔滨高一检测)与角终边相同的角是(　　)
A. B.2kπ-(k∈Z)
C.2kπ-(k∈Z) D.(2k+1)π+(k∈Z)
【解析】选B.A错误,=2π+,与角的终边不同;
B正确,2kπ-,k∈Z,当k=2时,得[0,2π)上的角为,与角的终边相同;
C错误,2kπ-,k∈Z,当k=1时,得[0,2π)上的角为,与角的终边不同;
D错误,(2k+1)π+,k∈Z,当k=0时,得[0,2π)上的角为,与角的终边不同.
√
4.时针经过一小时,转过了　　　　.(填弧度)
【解析】时针经过一小时,转过-30°,又-30°=-rad.
答案:-rad
5.(1)1°的圆心角所对弧长为1米,则此圆半径为　　　　米.
(2)1 rad的圆心角所对弧长为1米,则此圆半径为　　　　米.
【解析】(1)因为|α|=1°=,l=1,所以r===.
(2)因为l=1,|α|=1,所以r==1.
答案:(1)　(2)1
谢 谢

展开更多......

收起↑