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湘教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.7.2解决所列方程中含x，y系数不都为1的实际问题第3章一次方程（组）湘教版七年级数学3.7.2解决所列方程中含x、y系数不都为1的实际问题练习题核心知识点回顾本节在3.7.1基础上升级，重点学习未知数系数不都为1的二元一次方程组实际应用题。区别于简单的和差问题，此类题型的等量关系中，两个未知量往往带有2、3、5等整数系数，代表数量倍数、单价总价、分段计费等实际场景，无法直接用简单和差列式求解。核心解题思路：依旧遵循“设、列、解、验、答”五步解题法。根据题目两组独立实际等量关系，列出一组二元一次方程组，方程组中至少一个方程的未知数系数不为1。解题优先选用加减消元法，通过找系数最小公倍数统一未知数系数，消元求解，部分简单题型也可使用代入消元法。常见题型特征：单价×数量、单产量×数量、行程变速、分段消费、工程配比等问题，题干会出现多倍数量、组合总价、组合总量等条件，是考试高频应用题题型。一、选择题（每题4分，共20分）1.已知2支圆珠笔和3本笔记本共26元，设圆珠笔单价x元，笔记本单价y元，正确的方程是（）A. \(x+y=26\) B. \(2x+3y=26\) C. \(3x+2y=26\) D. \(2x-3y=26\)2.某工厂生产零件，3个甲零件和5个乙零件总重400g，设甲零件单重xg，乙零件单重yg，所列方程为（）A. \(3x+5y=400\) B. \(5x+3y=400\) C. \(3x-5y=400\) D. \(x+y=400\)3.方程组\(\begin{cases}2x+3y=19\\5x+2y=16\end{cases}\)最适合的解法是（）A.直接相加B.直接相减C.代入消元法D.加减消元法（统一系数）4.购买4千克橘子和2千克桃子共花费36元，已知橘子单价比桃子贵3元，设橘子x元/千克，桃子y元/千克，方程组正确的是（）A. \(\begin{cases}4x+2y=36\\x-y=3\end{cases}\) B. \(\begin{cases}2x+4y=36\\x-y=3\end{cases}\) C. \(\begin{cases}4x+2y=36\\y-x=3\end{cases}\) D. \(\begin{cases}x+y=36\\x-y=3\end{cases}\)5.解系数不为1的二元一次方程组应用题，最核心的步骤是（）A.设未知数B.找准两组独立等量关系C.书写答案D.检验结果二、填空题（每题4分，共20分）1. 5张课桌和2把椅子共800元，设课桌x元，椅子y元，列方程________。2.方程组\(\begin{cases}2x+y=14\\3x+2y=22\end{cases}\)，若消去y，需将第一个方程两边同时________。3. 3袋大米和4袋面粉共重220千克，2袋大米和5袋面粉共重210千克，设每袋大米x千克，面粉y千克，可列方程组________。4.已知\(\begin{cases}2x+3y=27\\3x+2y=23\end{cases}\)，则\(x+y=\)________。5. 4支钢笔和1个文具盒共52元，文具盒单价12元，则钢笔单价为________元。三、解答题（共60分）1.（18分）根据题意列出方程组并求解：（1）2千克苹果、3千克香蕉共34元；3千克苹果、2千克香蕉共31元，求苹果和香蕉的单价。（2）工地运送建材，4辆大车和5辆小车一次可运55吨，2辆大车和3辆小车一次可运29吨，求每辆大车、小车的运货量。2.（14分）文具店进货，6本笔记本和4支中性笔共48元，4本笔记本和6支中性笔共42元，求笔记本和中性笔的单价。3.（14分）学校购买体育器材，3个篮球和5个排球共490元，2个篮球和4个排球共360元，求单个篮球、排球的价格。4.（14分）农户种植瓜果，5亩西瓜和2亩甜瓜总产量2800千克，3亩西瓜和2亩甜瓜总产量2000千克，求每亩西瓜和每亩甜瓜的产量。参考答案与详细解析一、选择题1. B解析：总价=单价×数量，2支圆珠笔为2x，3本笔记本为3y，合计26元，方程为\(2x+3y=26\)。2. A解析：3个甲零件总重3x，5个乙零件总重5y，总重量400g，对应方程\(3x+5y=400\)。3. D解析：方程组中x、y系数均不相同且不为±1，无法直接加减消元，需统一系数后用加减消元法求解。4. A解析：4千克橘子、2千克桃子总价36元，即\(4x+2y=36\)；橘子比桃子贵3元，即\(x-y=3\)。5. B解析：应用题解题关键是找准两组独立、不重复的等量关系，才能列出正确方程组。二、填空题1. \(5x+2y=800\)2.乘以23. \(\begin{cases}3x+4y=220\\2x+5y=210\end{cases}\)4. 10解析：两式相加得\(5x+5y=50\)，化简得\(x+y=10\)。5. 10解析：代入得\(4x+12=52\)，解得\(x=10\)。三、解答题1.解：（1）设苹果单价x元/千克，香蕉单价y元/千克。列方程组：\(\begin{cases}2x+3y=34①\\3x+2y=31②\end{cases}\)①×3得\(6x+9y=102③\)，②×2得\(6x+4y=62④\)，③-④得\(5y=40\)，解得\(y=8\)。将\(y=8\)代入①，得\(2x+24=34\)，解得\(x=5\)。答：苹果单价5元/千克，香蕉单价8元/千克。（2）设大车每辆运x吨，小车每辆运y吨。列方程组：\(\begin{cases}4x+5y=55①\\2x+3y=29②\end{cases}\)②×2得\(4x+6y=58③\)，③-①得\(y=3\)，代入②得\(2x+9=29\)，解得\(x=10\)。答：大车每辆运10吨，小车每辆运3吨。2.解：设笔记本单价x元，中性笔单价y元。列方程组：\(\begin{cases}6x+4y=48①\\4x+6y=42②\end{cases}\)①化简得\(3x+2y=24\)，②化简得\(2x+3y=21\)，联立解得\(x=6，y=3\)。答：笔记本单价6元，中性笔单价3元。3.解：设篮球单价x元，排球单价y元。列方程组：\(\begin{cases}3x+5y=490①\\2x+4y=360②\end{cases}\)②化简得\(x+2y=180\)，变形为\(x=180-2y\)，代入①得\(3(180-2y)+5y=490\)，解得\(y=50\)，\(x=80\)。答：篮球单价80元，排球单价50元。4.解：设每亩西瓜产量x千克，每亩甜瓜产量y千克。列方程组：\(\begin{cases}5x+2y=2800①\\3x+2y=2000②\end{cases}\)①-②得\(2x=800\)，解得\(x=400\)，代入②得\(1200+2y=2000\)，解得\(y=400\)。答：每亩西瓜、甜瓜产量均为400千克。练习总结本节题型是二元一次方程组应用题的重点和难点，核心区别是方程中未知数系数不都为1，无法直接简单消元。解题核心是读懂题干中的倍数、组合总价、组合总量等关系，准确列出带系数的方程组。解题时优先观察系数特征，灵活化简方程、统一系数，使用加减消元法求解。同时要牢记检验步骤，保证结果符合实际生活意义。熟练掌握此类题型，能全面掌握二元一次方程组的各类实际应用，应对考试核心应用题考点。探索新知
小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路. 假设他始终保持上坡路每分钟走40m，平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，则他从家里到学校需15min，从学校到家里需10min. 试问：小华家离学校多远
思 考
15min
10 min
40m/min
60m/min
60m/min
80m/min
通过图示，你有什么发现？
小华家向家所走的下坡路上等于小华去学校所走的上坡路长.
根据图示，你能找到其中得等量关系吗？
本问题中的等量关系：
走上坡路的时间+走平路的时间=15min
走平路的时间+走下坡路的时间=10min
设小华家到学校的上坡路长 x m，平路长 y m，则
根据等量关系，得
___________
___________
解得
于是，上坡路与平路的长度之和为 x+y=400+300=700 (m).
因此，小华家离学校700m.
练一练
小李骑电动自行车，预计用相同的时间往返于甲、乙两地，去时电动自行车的车速是18 km/h，结果早到20 min；返回时，以15 km/h 的速度行进，结果晚到4 min. 求预计时间和甲、乙两地间的距离．
例2 某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂， 分两次租用了某汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如下表所示：
第一次 第二次
甲种货车数 / 辆 2 5
乙种货车数 / 辆 3 6
累计运货量 / t 26 56
该果园第三次打算继续租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果. 如果每吨运费为 30 元，果园三次总共应付运费多少元
解：设甲、乙两种货车每次分别运货 x 吨、y 吨，
解得
x = 4，
y = 6.
2x + 3y = 26，
5x + 6y = 56.
本问题涉及的等量关系为：
2 辆甲种货车运货量＋3 辆乙种货车运货量 = 26 t，
5 辆甲种货车运货量＋6 辆乙种货车运货量 = 56 t.
于是，第三次运输了 3×4 + 5×6 = 42 ( t ).
因而合计运输了 26 + 56 + 42 = 124 ( t ).
因此，三次总共应付运费 124× 30 = 3 720 (元).
答：该果园三次总共应付运费 3 720 元.
如图，长青化工厂与 A，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原料运回工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地．公路运价为 1.5 元/(t·km)，铁路运价为 1.2 元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费 15 000 元，铁路运费 97 200 元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
练一练
产品 x 吨 原料 y 吨 合 计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
借助列表分析，确定题目中的数量关系.
1.5×20x
1.2×110x
8000x
1.5×10y
1.2×120y
1000y
15 000
97 200
本问题涉及的等量关系为：
产品数量×产品价格＝销售款，
原料数量×原料价格＝原料费，
运输价格×运价＝运输费
解:根据图表，列出方程组
解方程组得
x = 300，
y = 400.
8 000x - 1 000y - 15 000 - 97 200
= 8000×300 - 1 000×400 - 15 000 - 97 200
= 1 887 800（元）
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 1 887 800 元.
1.5×20x + 1.5×10y = 15 000，
1.2×110x + 1.2×120y = 97 200.
例3 对于多项式 kx + b (其中 k， b 为常数)，若 x 分别用 1，－1 代入时，kx + b 的值分别为 －1， 3，求 k 和 b 的值.
解：根据题意，得
k×1＋b＝－1，
k×(－1)＋b＝3.
解方程组，得
k＝－2，
b＝1.
故所求 k 和 b 的值分别为 －2 和 1.
应用1 配套问题
1. 某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大
齿轮20个或小齿轮15个.已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，
则每天安排____名工人加工大齿轮，才能刚好配套.
18
【点拨】设每天安排名工人加工大齿轮， 名工人加工小齿轮，
根据题意，得 解得
则每天安排18名工人加工大齿轮，才能刚好配套.
2. 某工厂为加工圆柱形的茶叶盒，
购买了 块相同的金属板材，已知每块
金属板材可以有，，三种裁剪方式，如图， 方式：裁
剪成6个圆形底面和1个侧面.方式：裁剪成3个侧面. 方式：
裁剪成9个圆形底面.已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆
柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套.现已有2块金
属板材按方式裁剪，其余都按，两种方式裁剪.设有 块
金属板材按方式裁剪，块金属板材按 方式裁剪.
（1）①所有板材一共可以裁剪出圆形底面共__________个，
侧面共_________个.
②当 时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？
【解】根据题意，得
解得
所以 .
答：当 时，最多能加工36个圆柱形茶叶盒.
（2）现将 块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的
圆形底面与侧面恰好配套，则 的值可以是____________
（其中 ）.
40或45或50
【点拨】根据题意，得 ，所以
.所以.因为， 均为整数，
且,所以的值可取21,24,27，当 时，
；当 时，
；当 时，
.综上， 的值可以是40或45或
50.
应用2 几何问题
3. 如图，长方形 中放置了10个形
状、大小都相同的小长方形，与 的
差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影
部分的面积为( )
D
A. 15 B. 20 C. 25 D. 30
4. 我们都知道《乌鸦喝水》的
故事，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，
喝到了水.根据图中给出的信息，解答下列问题：#1
（1）放入一个小球水面升高___ ，放入一个大球水面升高
___ ；
3
4
（2）如果放入大球、小球共10个，且水面恰好上升到 ，
应放入大球、小球各多少个？
【解】设应放入小球个，大球 个，
由题意,得解得
答：应放入小球5个，大球5个.
（3）若放入一个钢珠可以使水面上升 ，当同时放入相
同数量的小球和钢珠时，水面上升到，则整数 的值为
_______.（小球和钢珠都完全在水面以下）
12或2
【点拨】设同时放入个小球和 个钢珠时，水面上升到
，由题意得，解得 .因为
,均为正整数，所以当时，；当 时，
，所以整数 的值为12或2.
应用3 多项式问题
5. 对于多项式（其中， 为常
数），若分别为6，时，的值分别为3,4，求
的值为5时， 的值.
【解】根据题意，得
解得 所以多项式为 .
令,解得 .
应用4 数字问题
6. 【项目主题】某校数学社团开展
“探索幻方”实践活动，旨在探究幻方的数
式规律，并尝试将幻方制作应用于社团活
动中.
【项目准备】
幻方是一种将连续自然数（或特定规则的
数）填入正方形方格中的数学结构，满足
以下数学条件：每行数的和、每列数的和
及两条对角线上的数的和都相等.相等的和叫作幻和.如图①
是由这9个数构造的一个三阶幻方（ 方格）.
【规律探究】
（1）观察图①，中心数是5，该三
阶幻方的幻和 （即幻和等于
中心数的3倍）.
若将图①中每个数修改为1，
，， ， 得到
一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和 ________
（用含 的代数式表示）.
【点拨】新幻方的中心数为
，则新幻方的幻和
.
（2）若用，， ，
， 这9个连续正整数构造
一个三阶幻方，则幻和
_________（用含 的代数式表
示）.
新幻方的中心数为 ，
则新幻方的幻和 .
1. 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.
　3. 要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
2. 这种处理问题的过程可以进一步概括为：

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