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湘教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.8三元一次方程组第3章一次方程（组）湘教版七年级数学3.8三元一次方程组练习题核心知识点回顾1.三元一次方程组定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。方程组的解是能同时满足三个方程的未知数一组值。2.解题核心思想：消元思想，将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元”，逐步简化方程求解，承接二元一次方程组的消元解法，是消元思想的延伸应用。3.通用解题步骤：观察方程组系数特征，选定一个未知数，利用代入消元或加减消元法消去该未知数，得到二元一次方程组；求解二元一次方程组，得到两个未知数的值；将结果回代原方程，求出第三个未知数；最后检验、规范作答。4.解题技巧：优先消去系数最简单、有倍数关系或系数为±1的未知数，最大程度简化计算，减少运算失误。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列方程组属于三元一次方程组的是（）A. \(\begin{cases}x+y=1\\y+z=2\\x+z=3\end{cases}\) B. \(\begin{cases}x+y=2\\y^2+z=3\\x+z=1\end{cases}\) C. \(\begin{cases}x+y=1\\2y+z=3\\xy+z=2\end{cases}\) D. \(\begin{cases}x+2y=3\\3y+z=1\end{cases}\)2.解三元一次方程组\(\begin{cases}x+y+z=6①\\x-y=1②\\2x+y-z=5③\end{cases}\)，最简便先消去的未知数是（）A. \(x\) B. \(y\) C. \(z\) D.无法确定3.已知\(\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}\)是三元一次方程组的解，则该组解满足的方程是（）A. \(x+y-z=0\) B. \(x+y+z=6\) C. \(2x+y-z=2\) D. \(x-y+z=1\)4.解方程组\(\begin{cases}x+y+z=10\\x=y\\2x+z=12\end{cases}\)，消元后得到的二元一次方程组为（）A. \(\begin{cases}2y+z=10\\2y+z=12\end{cases}\) B. \(\begin{cases}y+z=10\\2x+z=12\end{cases}\) C. \(\begin{cases}2y+z=10\\x+z=12\end{cases}\) D. \(\begin{cases}x+y=10\\2x+z=12\end{cases}\)5.三元一次方程组的求解核心是（）A.统一未知数系数B.逐步消元降次C.直接代入计算D.估算数值求解二、填空题（每题4分，共20分）1.三元一次方程组\(\begin{cases}x+y=5\\y+z=7\\x+z=6\end{cases}\)，三个方程相加可得________，化简可快速求整体值。2.解三元一次方程组时，若方程中某个未知数只出现在两个方程中，优先________该未知数，转化为二元方程组。3.已知\(x+y+z=9\)，\(x=2\)，\(y=3\)，则\(z=\)________。4.方程组\(\begin{cases}x-y+z=0\\x+2y-z=3\\2x+y+3z=8\end{cases}\)，将前两个方程相加可直接消去未知数________。5.若\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)满足\(\begin{cases}x+y+z=7\\2x-y+z=k\end{cases}\)，则\(z=\)________，\(k=\)________。三、解答题（共60分）1.（18分）用消元法解下列三元一次方程组：（1）\(\begin{cases}x+y+z=12\\x=y\\x+2y+z=16\end{cases}\)（2）\(\begin{cases}x+y=3\\y+z=5\\x+z=4\end{cases}\)2.（14分）解三元一次方程组\(\begin{cases}x+2y+3z=14\\2x+y+z=7\\3x+y+2z=11\end{cases}\)，写出完整规范解题步骤。3.（14分）已知三元一次方程组\(\begin{cases}x+y+z=10\\2x+3y+z=17\\3x+2y-z=8\end{cases}\)，求\(x、y、z\)的值，并计算\(x+y-z\)的结果。4.（14分）列三元一次方程组求解应用题：有甲、乙、丙三个数，甲、乙两数之和为15，乙、丙两数之和为18，甲、丙两数之和为13，求甲、乙、丙三个数分别是多少。参考答案与详细解析一、选择题1. A解析：B含未知数二次项，C含未知数乘积项，D只有两个方程，均不符合三元一次方程组定义。2. C解析：方程②无未知数z，可直接将①③联立消去z，快速得到二元方程组，计算最简便。3. B解析：将三组数值代入验证，\(1+2+3=6\)，仅B等式成立。4. A解析：将\(x=y\)代入第一个方程，即可消去x，得到关于y、z的二元方程组。5. B解析：三元一次方程组的解题核心是消元，将三元逐步降为二元、一元，实现简化求解。二、填空题1. \(2x+2y+2z=18\) 2.消去3. 4 4. \(z\) 5. 4、7三、解答题1.解：（1）\(\begin{cases}x+y+z=12①\\x=y②\\x+2y+z=16③\end{cases}\)，③-①得\(y=4\)，由\(x=y\)得\(x=4\)，代入①得\(z=4\)。方程组的解为\(\begin{cases}x=4\\y=4\\z=4\end{cases}\)。（2）\(\begin{cases}x+y=3①\\y+z=5②\\x+z=4③\end{cases}\)，①+②+③得\(2x+2y+2z=12\)，即\(x+y+z=6④\)。④-②得\(x=1\)，④-③得\(y=2\)，④-①得\(z=3\)。解为\(\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}\)。2.解：\(\begin{cases}x+2y+3z=14①\\2x+y+z=7②\\3x+y+2z=11③\end{cases}\)，③-②得\(x+z=4④\)，②×2-①得\(3x-z=0⑤\)。联立④⑤解得\(x=1，z=3\)，代入②得\(y=2\)。故此方程组的解为\(\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}\)。3.解：\(\begin{cases}x+y+z=10①\\2x+3y+z=17②\\3x+2y-z=8③\end{cases}\)，②-①得\(x+2y=7④\)，①+③得\(4x+3y=18⑤\)。联立④⑤解得\(x=3，y=2\)，代入①得\(z=5\)。则\(x+y-z=3+2-5=0\)。4.解：设甲数为\(x\)，乙数为\(y\)，丙数为\(z\)，列方程组：\(\begin{cases}x+y=15\\y+z=18\\x+z=13\end{cases}\)。三式相加化简得\(x+y+z=23\)，分别相减求得\(x=5，y=10，z=8\)。答：甲数为5，乙数为10，丙数为8。练习总结三元一次方程组是二元一次方程组的延伸，核心解题思想始终是消元转化。解题关键是观察方程组结构，找准最优消元对象，将陌生的三元问题转化为熟练的二元、一元方程求解。解题过程中需注意方程变形的等价性，避免符号、计算失误，解完后可代入原方程组检验。本节内容完善了初中方程组的知识体系，是后续学习复杂方程、函数问题的基础，需熟练掌握消元转化的数学思想。 已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的2倍，百位数字是十位数字的3倍，三位数字之和为12.设个位数字x，十位数字为y，百位数字为z，请列出这个方程组.
做一做
x=2(y+z) ，
z=3y ，
x+y+z=12 .
对于未知数为x，y ，z的三元一次方程组，若x ，y ，z分别用数c1， c2， c3代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1， c2， c3)叫作这个方程组的一个解.
习惯上也记作
解二元一次方程组的思路是通过消元将其转化为一元一次方程来求解，这种思路是否适合解三元一次方程组呢？
思 考
以 为例来探究三元一次方程组的解法.
①
②
③
①
②
③
将方程①两边都乘2，得
2x+2y+4z=6 .
④
④+②，得
①-③，得
y+5z=3 .
⑤
-y+6z=8 .
⑥
解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得
y=-2，z=1.
把y=-2，z=1代入方程①，得
x=3.
因此，是原三元一次方程组的解.
加减消元法
代入消元法
三元
二元
一元
三元一次方程组
二元一次方程组
先消去一个未知数
一元一次方程组
再消去一个未知数
得出一个未知数的值
得出第二个未知数的值
得出第三个未知数的值
代入所得二元一次方程组中的一个方程
已知的两个数代入所得三元一次方程组中的一个方程
解三元一次方程组的基本思路是什么？
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
问题3：如何解这个方程呢？
合作探究
可以消元求解！
解三元一次方程组
2
x＋2y－4z＝－5 ③
x＋y＋2z＝3， ①
－x－y＋z＝－3，②
将方程①两边同乘 2，得
2x＋2y＋4z＝6.
④＋②，得 y＋5z＝3. ⑤
①－③，得 －y＋6z＝8. ⑥
解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得
y＝－2，z＝1.
把 y＝－2，z＝1 代入方程①，得 x＝3.
因此， 是原三元一次方程组的解.
z＝1
x＝3，
y＝－2，
x＋2y－4z＝－5 ③
x＋y＋2z＝3， ①
－x－y＋z＝－3，②
x＋y＋z＝－2
5x＋4y＋z＝0，
3x＋y－4z＝1，
①
②
③
例1 解三元一次方程组：
解 ③×5－①，得
y＋z＝－10. ④
③×3－②，得 2y＋7z＝－7. ⑤
④×2－⑤，得 z＝－13.
把 z 用－13 代入方程④，得
y＝42.
把 y 用42，z 用－13 代入方程③，得 x＝－31.
因此， 是原三元一次方程组的解.
z＝－13
x＝－31，
y＝42，
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
解三元一次方程的基本思路：
方法总结
消元的方法仍是代入消元法或加减消元法.
3x＋y－5z＝－14.
5x－3y＋2z＝－15，
2x－y＋3z＝－9，
①
②
③
例2 解三元一次方程组：
解 ②×3－①，得
x＋7z＝－12. ④
②＋③，得 5x－2z＝－23. ⑤
④×5－⑤，得 37z＝－37.
把 z 用－1 代入方程④，得
z＝－1.
把 x 用 －5，z 用－1 代入方程②，得 y＝－4.
因此， 是原三元一次方程组的解.
z＝－1
x＝－5，
y＝－4，
两边都除以 37，得
x＝－5.
知识点1 三元一次方程（组）的有关概念
1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
D
A. B.
C. D.
2. 若 是一个三元一次方程，
则___, ___.
3. 关于,,的方程组的解是 则
___.
1
0
3
知识点2 三元一次方程组的解法
4. 解方程组 最简便的消元方法是( )
B
A. 先消去 B. 先消去
C. 先消去 D. 先消去常数项
5. [成都青羊区期末] 若方程组 的解满足
，则 的值为___.
3
6. 解方程组:
【解】，得，
，得，解得 .
将代入，得，解得 .
将代入，得，解得 .
所以方程组的解为
知识点3 三元一次方程组的应用
7. 设 ， ， 表示三种不同的物体，如图，前两架天平保
持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，右边应放“ ”的
个数为( )
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 用3.50元买了面值分别为10分、20分、50分的三种邮票共
18枚，其中10分邮票的总价与20分邮票的总价相同，则50分
邮票买了___枚.
3
【点拨】设面值为10分、20分、50分的邮票各买了枚、
枚、 枚.
则由题意得
由③得 ,
把代入①，得 , ④
把代入②，得 , ⑤
由④得 , ⑥
把⑥代入⑤，得, 所以 .即50分邮票买了3枚.
9. 已知多项式中，，，为常数， 的取值与
多项式对应的值如下表：
1 2
M 7 N
则 的值为( )
D
A. 15 B. 19 C. 21 D. 23
【点拨】当时， ，①
当时， ，②
当时， ，③
当时， ，④
③①，得，即 ,
④②，得 ,
所以.所以 .
所以 .
11. 有,,三种货物，甲购件，件， 件，共200
元.乙购件，件，件，共250元，则丙购,, 各1件，
应付_____元.
100
12. 在由边长为1的小正方形组成的方
格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶
点全在格点上的多边形为“格点多边形”.格
点多边形的面积记为 ，其内部的格点数
记为，边界上的格点数记为 ，如图，
三角形是格点三角形，其中，， ；格点
多边形所对应的，， .经探究发现，
任意格点多边形的面积可表示为，其中 ，
，为常数，求当，时， 的值.
解法
三元一次方程组
概念
含有___个未知数
3
每个方程中含未知数的项的次数______
都是 1
一共含有____个方程
三
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程组
消元
消元

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