资源简介

(共42张PPT)
湘教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.4.3.2.2余角和补角第4章图形的认识湘教版七年级数学4.3.2.2余角和补角练习题核心知识点回顾1.余角定义：如果两个角的和等于\(90°\)（直角），那么这两个角互为余角，简称互余。即若\(\angle1+\angle2=90°\)，则\(\angle1\)与\(\angle2\)互余。2.补角定义：如果两个角的和等于\(180°\)（平角），那么这两个角互为补角，简称互补。即若\(\angle1+\angle2=180°\)，则\(\angle1\)与\(\angle2\)互补。3.重要性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。这是几何角度推理、等量代换的核心依据，也是考试高频考点。4.取值范围：互余的两个角都必须是锐角；互补的两个角可以是一锐一钝，也可以是两个直角。余角、补角只与角度和有关，与角的位置无关。一、选择题（每题4分，共20分）1.若\(\angle A=35°\)，则\(\angle A\)的余角为（）A. \(55°\) B. \(65°\) C. \(145°\) D. \(135°\)2.若\(\angle\alpha=120°\)，则它的补角为（）A. \(30°\) B. \(60°\) C. \(80°\) D. \(120°\)3.下列说法正确的是（）A.任意两个锐角都互余B.钝角一定有余角C.直角没有补角D.同角的余角一定相等4.已知\(\angle1+\angle2=90°\)，\(\angle2+\angle3=90°\)，则\(\angle1=\angle3\)，依据是（）A.同角的补角相等B.同角的余角相等C.等角的余角相等D.对顶角相等5.一个角的补角一定比它的余角大（）A. \(45°\) B. \(90°\) C. \(180°\) D.不一定二、填空题（每题4分，共20分）1.若两个角的和为\(90°\)，这两个角________；若和为\(180°\)，这两个角________。2. \(28°\)的余角是________，\(75°\)的补角是________。3.若一个角为\(x°\)，则它的余角为________°，补角为________°。4.若\(\angle\alpha\)与\(\angle\beta\)互余，\(\angle\alpha=42°15′\)，则\(\angle\beta=\)________。5.若两个等角互补，则这两个角都等于________°。三、解答题（共60分）1.（18分）求下列各角的余角和补角：（1）\(\angle A=26°\)（2）\(\angle B=63°30′\)（3）\(\angle C=45°18′\)2.（14分）已知一个角的余角是它本身的2倍，求这个角的度数。3.（14分）已知一个角的补角比它的余角大\(90°\)，请说明这个结论恒成立。4.（14分）已知\(\angle1\)与\(\angle2\)互补，\(\angle3\)与\(\angle2\)互余，且\(\angle1=128°\)，求\(\angle3\)的度数。参考答案与详细解析一、选择题1. A解析：余角\(=90°-35°=55°\)。2. B解析：补角\(=180°-120°=60°\)。3. D解析：钝角大于\(90°\)，没有余角；两个锐角和不一定为\(90°\)；直角补角为直角。4. B解析：\(\angle1\)、\(\angle3\)都是\(\angle2\)的余角，依据同角的余角相等。5. B解析：补角减余角恒为\((180°-x)-(90°-x)=90°\)。二、填空题1.互为余角；互为补角2. \(62°\)；\(105°\)3. \(90-x\)；\(180-x\)4. \(47°45′\)5. \(90\)三、解答题1.解：（1）余角：\(90°-26°=64°\)，补角：\(180°-26°=154°\)；（2）余角：\(90°-63°30′=26°30′\)，补角：\(180°-63°30′=116°30′\)；（3）余角：\(90°-45°18′=44°42′\)，补角：\(180°-45°18′=134°42′\)。2.解：设这个角为\(x°\)，则余角为\((90-x)°\)。由题意得：\(90-x=2x\)，解得\(x=30\)。答：这个角为\(30°\)。3.解：设任意角为\(x°\)，余角\((90-x)°\)，补角\((180-x)°\)。补角\(-\)余角\(=(180-x)-(90-x)=90°\)，与角度大小无关，故此结论恒成立。4.解：∵\(\angle1\)与\(\angle2\)互补，∴\(\angle2=180°-128°=52°\)。∵\(\angle3\)与\(\angle2\)互余，∴\(\angle3=90°-52°=38°\)。答：\(\angle3=38°\)。练习总结本节重点掌握余角、补角的定义与两大核心性质，熟练进行角度的余补计算。解题关键是区分互余（和为\(90°\)）、互补（和为\(180°\)），熟记“同角、等角的余补角相等”的推理依据。常考题型为直接计算、列方程求角度、几何推理填空，是后续相交线、对顶角、平行线几何证明的重要基础，需准确区分概念、规范推理语言，避免混淆余角与补角公式。1. 在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质.
2. 运用余角和补角的性质进行计算和简单的推理.
3. 通过余角和补角的学习过程，进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想.
重点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，
并能运用性质.
难点：运用余角和补角的性质进行计算和简单的推理.
教学目标
情境导入
如图，将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
1
2
3
4
1.∠1和∠2有什么数量关系？
2.∠3和∠4有什么数量关系？
∠1+∠2=90°
∠3+∠4=180°
探索新知
余角和补角的定义
如果两个角的和等于一个直角(90°)，那么就说这两个角互为余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的余角.
若∠1＋∠2＝ 90°，则∠1 与∠2 互为余角，其中∠1 是∠2 的余角， ∠2 也是∠1的余角.
1
2
几何语言：
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1与∠2互为余角.
如果两个角的和等于一个平角(180°)，那么就说这两个角互为补角(简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角.
若∠3＋∠4 ＝ 180°，则∠3 与∠4 互为补角，其中∠3 是∠4 的补角， ∠4 也是∠3 的补角.
几何语言：
∵∠3+∠4=180°，
∴∠3与∠4互为补角.
3
4
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
45°
60°
77°
81°15′
x° （0＜x＜90）
85°
175°
45°
135°
30°
120°
13°
103°
8°45′
98°45′
(90-x)°
(180-x)°
锐角的补角比它的余角大______.
90°
填表：
判断：
(1) 一个角的余角必为锐角.
(2) 一个角的补角必为钝角.
(3) 同一个锐角的补角比它的余角大90°.
(4) 互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.
(5) 如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠ 1、 ∠ 2、∠3这三个角互为余角.
( )
( )
( )
( )
( )
√
×
√
×
×
练一练
余角和补角的性质
思 考
∠1 ∠2 ∠3
30° 150° 150°
90° 90° 90°
150° 30° 30°
观察下表，你有什么发现？
∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补，
∠2与∠3大小相等.
由于 ∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°，
所以 ∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1.
因此 ∠2 =∠3（等量代换）.
结论：
同角(或等角)的补角相等.
几何语言：
∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°
∴∠2=∠3(同角的补角相等)
等量代换是指“如果a=b且c=b，那么a=c”
试着画一画下表中的图形(顶点相同)，你有什么发现？
∠4 ∠5 ∠6
图① 30° 60° 60°
图② 45° 45° 45°
图③ 60° 30° 30°
∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余，
∠5与∠6大小相等.
图①
图②
图③
由于 ∠4 +∠5= 90°，∠4 +∠6 = 90°，
所以 ∠5 = 90°-∠4，∠6 = 90°-∠4.
因此 ∠5 =∠6（等量代换）.
结论：
同角(或等角)的余角相等.
几何语言：
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°
∴∠2=∠3(同角的余角相等)
如图，已知∠ACB =∠CDB =90°
(1)图中有哪几对互余的角？
(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
解：(1)∠A+∠B=90°， ∠A+∠ACD=90°，
∠BCD+∠B=90°， ∠BCD+∠ACD=90°，
(2) ∠B=∠ACD(同角的余角相等)
∠A=∠BCD(同角的余角相等)
如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是
∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数.
解 因为∠AOB 与∠BOD 互为余角，
所以∠BOD = 90°-∠AOB
= 90°-29.66°= 60.34°.
又因为 OC 是∠BOD 的平分线，
因此，∠COD 的度数为 30.17°.
所以
已知一个角的余角是这个角的补角的 ，
求这个角的度数.
解 :设这个角为 x°，则这个角的余角为（90-x）°，
　　补角为（180-x）°.
根据题意，得
解得 x = 45 .
因此，这个角为 45°.
方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想解决问题.
知识点1 余角和补角的定义
1. 若 的余角为，则 的补角的度数是( )
C
A. B. C. D.
2. 下列说法中，正确的是( )
BC
A. 钝角与锐角互补
B. 的余角是
C. 的补角是
D. 若 ，则，， 互余
3. 如果 和 互补，且 ,那么
下列表示 的余角的式子：① ;② ;③
;④ .其中不正确的是____（填序号）.
③
【点拨】方法1（直接法）：
的余角 ,故①正确；因为 和 互补，所
以 ,所以 ,所以 的余角
,故②正确；因
为 ,所以 ,所以 的余角
,故③错误，
④正确.
方法2（验证法）：
将所给的四个表示 的余角的式子与 相加，如果和为
就互余，否则不互余.
4. 一位同学利用如图所示的量角
器，采用如图①所示的方法测量
锐角 的度数，其中量角器
或
有两条刻度线分别在射线，上,则 的度数为____.
另外一位同学用同样的方法，测量的余角 的度数，
如图②所示，已知射线所指示的度数为 ，则射线
所指示的度数为__________.
5. 如图，点在直线 上，
， .
（1）求 的度数.
【解】因为点在直线上,所以 .
因为 ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
所以 .
（2）图中有哪几对角互为余角？
与，与 ，
与，与 ,这4对
角互为余角.
（3）图中有哪几对角互为补角？
与，与,
与，与， 与
，与， 与
,这7对角互为补角.
知识点2 余角和补角的性质
6. 如图，将一副三角尺按不同位置摆放.
与 互补的摆法是____；
与 相等的摆法是______.（填序号）
④
①②
7. 如图， ，
，平分 ，若
，求 的度数.
解：因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 （________________）.#1.2.6
同角的余角相等
因为 ，
所以 ，
因为平分 ，
所以_______=____ （________________）.
所以____ .#1.2.11
15
角平分线的定义
75
8. 若 和 互补，且 ,则下列表示 的
余角的式子：① ;② ;③ ;④
.其中正确的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，为直线 上一点，
为直角，平分， 平分
，平分 ，以下结论：①
；②
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
；③ ；④
，其中，正确的结论有( )
【点拨】因为平分， 平分
，所以
，
，因为
,所以 ，故①正确；因为
，而 和
不一定相等，所以
不成立，故②错
误；因为 ，
，所以
，所以
.又因为
，所以
，所以 .因
为 ，
所以 ，故③正
确；由题易知 ，
，所以
，故④正确.综上，
正确的结论为①③④,有3个.
10. [北京海淀区期末] 已知 在正方形网格中的位置
如图所示.设的余角为 ，则___ .（填“ ” “
”或“=”）
【点拨】如图，取格点,，连接, ，
，，由网格特征可知 ，
四边形 是正方形，
所以 ，
.因为 的余角为
，所以 .因为
，
，所以 .
11. 在同一平面内，已知 , ,
平分 .
（1）当的位置如图①所示，且 时，
的度数为____；
（2）当的位置如图②所示，且是 的平分线时,
的度数为______；
（3）当的位置如图③所示时，若与 互补，
请你过点作射线,使得为 的余角，并求出
的度数（题中的角都是小于平角的角）.
【解】设 ,因为 , ,所以
, .
因为与互补，所以 ,所以
,所以 ,所
以 ,即 ,所以 .
因为平分,所以 .如图①,因为
为的余角， ,所以 ,因
如图②,因为为 的
余角， ,所以
,因为
,所以
综上所述，的度数为 或 .
,所以 .
互余 互补
两角间的 数量关系
对应的图形
性质
∠1+∠2=90°
(90°-∠1=∠2)
∠3+∠4=180°
(180°-∠3=∠4)
同角（或等角）的余角相等
同角（或等角）的补角相等

展开更多......

收起↑