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湘教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.章末复习第1章有理数湘教版七年级数学第1章有理数全章复习资料前言：本章是初中数学开篇基础章节，数的范围从小学正数扩充到有理数，首次引入负数、数轴、相反数、绝对值、有理数运算。是初中所有计算的基础，贯穿整个初中代数、几何计算，核心考察概念辨析、有理数混合运算、数形结合思想，是期末考试必考基础重点章节。1.1具有相反意义的量核心知识点1.相反意义的量：生活中意义相反、数值对应平衡的两种量，如上升与下降、收入与支出、盈利与亏损、向东与向西。2.正数与负数定义：大于0的数叫做正数；在正数前面加上负号“-”的数叫做负数，负数小于0。3. 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，0是正负数的分界点，是最小的自然数。4.有理数分类：整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。1.2数轴、相反数与绝对值核心知识点1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。2.数轴性质：右边的数总比左边的数大；正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点。3.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。若a、b互为相反数，则\(a+b=0\)。互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。4.绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作\(|a|\)。5.绝对值性质（必考）：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即\(|a|\ge0\)，绝对值具有非负性。6.有理数大小比较：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。1.3有理数的加减法核心知识点1.有理数加法法则：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值；互为相反数的两数和为0；一个数加0仍得原数。2.加法运算律：加法交换律\(a+b=b+a\)；加法结合律\((a+b)+c=a+(b+c)\)，可用于凑整、简化运算。3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即\(a-b=a+(-b)\)。所有减法均可统一转化为加法运算。1.4有理数的乘除法核心知识点1.有理数乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0都得0。2.倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数。0没有倒数，1和-1的倒数是本身。3.多个有理数相乘：负因数个数为偶数时，积为正；负因数个数为奇数时，积为负；只要有一个因数为0，积为0。4.乘法运算律：交换律、结合律、分配律，可简化复杂乘法计算。5.有理数除法法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；同号得正，异号得负，绝对值相除。1.5有理数的乘方核心知识点1.乘方定义：求n个相同因数的积的运算，结果叫做幂。\(a^n\)中，a是底数，n是指数，读作a的n次方。2.乘方符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂为负，偶次幂为正；0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂为1，-1的奇次幂为-1、偶次幂为1。3.易错区分：\(-a^n\)与\((-a)^n\)意义不同，底数不同，结果不一定相等。1.6有理数的混合运算核心知识点1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右依次计算；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）。2.简便运算技巧：凑整、结合相反数、拆分分数、活用运算律，减少计算失误。1.7近似数与有效数字核心知识点1.准确数与近似数：真实数值为准确数，通过测量、估算得到的数为近似数。2.精确度：常见保留方式为保留整数、保留一位小数、精确到十分位、百分位等。3.科学记数法：把大数写成\(a×10^n\)（\(1\le|a|＜10\)，n为整数）的形式，用于简化大数书写。全章易错点汇总1. 0的概念误区：0不是正数也不是负数，0有相反数、有绝对值，无倒数。2.绝对值易错：绝对值等于一个正数的数有两个，互为相反数，容易漏解。3.乘方底数混淆：区分\(-2^2=-4\)和\((-2)^2=4\)，是高频计算错题。4.符号判断错误：多个负因数乘除、负数乘方时，符号判断失误。5.运算顺序混乱：忽略先乘方、后乘除、最后加减的顺序，盲目从左计算。6.科学记数法出错：a的取值范围不符合\(1\le a＜10\)，指数n数错位数。全章核心公式与解题模板1.相反数关系：a、b互为相反数\(\Leftrightarrow a+b=0\)2.倒数关系：a、b互为倒数\(\Leftrightarrow ab=1(a≠0,b≠0)\)3.绝对值公式：\(|a|=\begin{cases}a & (a＞0) \\ 0 & (a=0) \\ -a & (a＜0)\end{cases}\)4.减法转加法：\(a-b=a+(-b)\)5.除法转乘法：\(a÷b=a×\frac{1}{b}(b≠0)\)6.混合运算模板：看符号→定顺序→用定律→细计算知识结构
负数的引入，
有理数的分类
相关概念
乘方的意义
数轴
有理数
有理数的大小比较
加、减运算
有理数的运算
相反数
绝对值
乘、除运算
乘方运算
混合运算
科学记数法
思考回顾
1.为什么要引入负数？有理数可以如何分类？
为了表示某一问题中具有相反意义的两种量.
有理数
整数
分数
正整数
负整数
0
正分数
负分数
有理数
正有理数
负有理数
正整数
负整数
0
正分数
负分数
2.怎样画一条数轴？怎样用数轴上的点来表示一个有理数？
①画：即画一条水平直线；
②取：即在直线的适当位置取一点作为原点，并在这点处标上 O；
③定：即确定向右的方向为正方向，用箭头表示出来；
④标：即选取适当的长度作为单位长度.
数轴的画法:
在数轴上，原点右边的数是_____，原点左边的数是_____，原点表示的数是_____.
O
0
1
2
3
-1
-2
-3
正数
负数
0
3.如何求一个数的相反数？如何求一个数的绝对值？
任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数.
|a|=
a，a为非负数，
－a，a为负数.
4.怎样比较有理数的大小？
正数大于负数，0大于负数
两个负数，绝对值大的反而____
在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
小
① 利用正负性比较大小
② 利用绝对值比较大小
③ 利用数轴比较大小
5.怎样进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算
加法法则：
两个负数相加，结果是____，并且把它们的绝对值_____.
异号两数相加，当它们的绝对值不相等时，取绝对值____的加数的符号，并且用较大的绝对值_____较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加得__；一个数与0相加，仍得______.
减法法则：
减去一个数，等于____这个数的相反数.
负数
相加
较大
减去
0
这个数
加上
乘法法则：
异号两数相乘得____，并且把绝对值____.同号两数相乘得_____，并且把绝对值_____.任何数与0相乘，仍得____ .
除法法则：
同号两数相除得____，异号两数相除得____，并把它们的绝对值相除；
0 除以任何一个不等于0的数都得____ .
除以一个不为0的数，等于乘这个数的_____ .
负数
相乘
正数
相乘
0
正数
负数
0
倒数
求 n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方.
在 an 中， a 叫做底数，n 叫做指数.
an
幂
底数
指数
含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算，称为有理数的混合运算.
有理数的混合运算顺序是:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,就先进行括号里面的运算(先小括号,再中括号，最后大括号).
6.有理数的运算满足哪些运算律
加法交换律：a+b =b+a
加法结合律：a+b+c =(a+b)+c=a+(b + c)
乘法交换律：a × b = b × a
乘法结合律：(a × b)× c = a ×( b × c )
乘法对加法的分配律：a ×(b + c) = a × b + a× c
有理数加法：
有理数乘法：
1.0既不是正数也不是负数.如绝对值等于本身的数有正数和0,绝对值等于相反数的数有负数和0.
2.数轴是一条直线,由原点、正方向、单位长度三要素确定,三者缺一不可.
3.把一个大于10(小于-10)的数用科学记数法表示成a×10n的形式时，一定要注意a的取值范围,其中n为正整数.
4. 有理数的减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法,乘方实质是求几个相同因数的乘积.
注意事项
考点1 正、负数
1. [长沙雨花区模拟] 在,,,,0,, ,
中，负数有( )
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 下列说法正确的是( )
D
A. “向东”与“向西 ”不是相反意义的量
B. 若气球上升记作，则 的意义就是下降
C. 若气温下降记作，则 的意义就是气温下降
D. 若将高设为标准，高记作 ，则
所表示的高是
考点2 有理数的概念与分类
3. 下列说法中，不正确的有______________.（填序号）
①是有理数；②是分数；③ 是有理数；
④整数可以分为素数和合数；⑤分数可以分为真分数和假分
数；⑥有理数可以分为自然数、负数和分数；⑦ 是正数；
⑧一个数可以同时是正数和负数；⑨分数一定可以写成有限
小数或循环小数；⑩任何一个数都是有理数.
②④⑥⑦⑧⑩
【点拨】①是有理数，正确；② 不是有理数，所以不是分
数，错误；③是有理数，正确；④ 不是素
数也不是合数，错误；⑤分数可以分为真分数和假分数，正
确；⑥负数和分数都包含负分数，错误；⑦ 不是正数，错
误；⑧一个数不可以同时既是正数又是负数，错误；⑨分数
一定可以写成有限小数或循环小数，正确；⑩ 不是有理数，
错误.
4. 把下列各数填在相应的集合内：
，，0，， ，，， ,
（相邻两个1之间依次多1个0）， .
（1）负整数集合：{________________…}；
（2）正有理数集合：{_______________________________
…}；
（3）负有理数集合：{_ _____________________…}；
（4）非负数集合：{__________________________________
____________________________________________________
_____________________________ …}.
（相邻两个
1之间依次多1个0），，
考点3 数轴
5. 如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为，，， .
若点， 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小
的数的点是( )
B
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
6. 如图，，分别为数轴上的两个点，点 表示的数为
，点 表示的数为90.
（1）请直接写出到，两点距离相等的点 对应的数.
【解】点 对应的数为40.
【点拨】点在原点左侧，距离原点10个单位长度，点 在原
点右侧，距离原点90个单位长度，故， 两点之间的距离为
（个）单位长度， （个）单位长
度.由题图可知，到，两点距离都等于50个单位长度的点
对应的数为40.
（2）一只电子蚂蚁从点 出发，以3个单位长度/秒的速度
向左运动，同时另一只电子蚂蚁从点 出发，以2个单位长
度/秒的速度向右运动，经过多长时间这两只电子蚂蚁在数轴
上相距35个单位长度？
相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，
（秒）；相遇后，两只电子蚂蚁在
数轴上相距35个单位长度时，秒 .
综上，经过13秒或27秒这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位
长度.
考点4 相反数、绝对值、倒数
7. 2026澳门乒乓球世界杯于3月30日至
4月5日在中国澳门银河综艺馆举行，比赛用的乒乓球质量有
严格的规定，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差.
从一批乒乓球中挑选4个进行称重检测，超过标准质量的记
为正数，低于标准质量的记为负数.那么，最接近标准质量的
是( )
B
A. B. C. D.
8. [华师一附中自主招生] 已知
，则 的最小
值为___.
-3
【点拨】因为 ,所以根
据绝对值的几何意义可知 表示数轴上一
点到与2的距离之和,所以 ,同理
.又因为
,所以
,,所以 ,
,所以当,时, 有最小值,且最小
值为 .
9. 已知，互为相反数，，互为倒数， 是绝对值最
小的负整数，数轴上数 表示的点到原点的距离为2.5个单位
长度，求 的值.
【解】因为,互为相反数，所以 .
因为,互为倒数，所以 .
因为是绝对值最小的负整数，所以 .
因为数轴上数 表示的点到原点的距离为2.5个单位长度，所
以或 .
当 时，
;
当 时，
.
综上，的值为 或0.5.
考点5 有理数的大小比较
10. 立冬是冬季的第一个节气，通常标志
着气温逐渐下降，进入冬季.如图记录了某地连续5天的日最
低气温，则这5天中日最低气温最低的一天是星期____.
二
11. [天津期中] 有四张卡片，卡片正面分别写有四个数，背
面分别写有四个字母，如下表：
正面
背面
（1）在数轴（如图）上表示出卡片正面的数；
【解】 ，卡片正面的
数在数轴上的表示如图.
（2）将卡片正面的数由小到大排列，然后按顺序写出卡片
背面的字母组成的单词.
,
故单词为 .
考点6 科学记数法
12. 2026年1月7日《2026年中国“人工智能+”
应用趋势报告（精华版）》显示:超过1 500万知识工作者将
使用工具辅助创作与编程，个人生产力提升 以上，
文创应用成为常态.其中数字1 500万用科学记数法表示
为( )
D
A. B. C. D.
考点7 有理数的运算
13. 如图，数轴上有①②③④四部分，数轴
上的三个点分别表示数，，，且， ，则原
点落在( )
C
A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④
14. 已知有理数，，满足，则 的
值为( )
D
A. 3 B. C. 1 D. 或3
【点拨】因为，所以，所以，， 都是正
数或，，中有一正两负.当，， 都是正数时，
;当，， 中有一正两负时，设
，，，则 .所
以的值为3或 .
15. 计算： ___.
【点拨】原式
.
16. 将一个自然数的所有正奇数因数之和
减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫作
这个自然数的“完美指标”.若一个自然数的“完美指标”的绝对
值越小，这个数就越“完美”,则18,19,20,21这四个自然数中最
“完美”的数是____.
18
【点拨】18的正因数有1,2,3,6,9,18,正奇数因数有1,3,9,正偶数
因数有2,6,18,则18的“完美指标”是
.19的正因数有1,19,
正奇数因数有1,19,无正偶数因数，则19的“完美指标”是
.20的正因数有1,2,4,5,10,20,正奇数因数有
1,5,正偶数因数有2,4,10,20,则20的“完美指标”是
.21的正因数有
1,3,7,21,正奇数因数有1,3,7,21,无正偶数因数，则21的“完美指
标”是 .因为
,所以18是这四个自然数中最“完美”
的数.
17. 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式
.
（3） ；
原式
.
（4） .
原式
.
18. [长沙雨花区期中] 小明家购置了一辆续航（能行驶的最
大路程）为 的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连
续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表
（单位：,以 为标准，超过部分记为“+”,不足部分记
为“-”）.已知该汽车第三天行驶了,第六天行驶了 .
（1）“ ”处的数为____,“ ”处的数为____;
【点拨】因为第三天行驶了,第六天行驶了 ,
所以第三天记录的数为 ,第六天记录的数为
,
所以“ ”处的数为,“ ”处的数为 .
（2）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足
续航的 ,行车电脑就会发出充电提示.请通过计算说明该
汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示.
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
【解】由题意得 ,
,
.因为
,所以行车电脑不会发出充电提示.
思想1 数形结合思想
19. 在数轴上，有理数 ，
其中所有正确结论的序号是______.
①④
的位置如图，将与 的对应点间的距离六等分，这五个等
分点所对应的数依次为，，，，，且 ，
下列结论：①；② ；③
；④ .
【点拨】因为 ，
，所以 ，
且距离原点比较远， ，且距离原点比较近，所以中点所
表示的数在原点的左侧，所以 ，所以①正确；由数
轴所表示的数可知， 可能大于0，也可能小于0，所
以的符号不确定，所以②不正确；因为 可能大于0，
也可能小于0，所以与 不一定相等，所以③
不正确；因为在原点的左侧，而 在原点右侧，所以表示
数的点到表示数的点的距离为，所以到 的距
离为，即 ，所以④正确.
思想2 分类讨论思想
20. [金华模拟] 我们知道，可以理解为 ，它表
示：数轴上表示数 的点到原点的距离，这是绝对值的几何
意义.进一步地，数轴上的两个点，，分别用数， 表示，
那么，两点之间的距离为 ，反过来，式子
的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数 的点之
间的距离.利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示数 的点和表示数2的点之间的距离是___.
4
（2）数轴上点用数 表示，
①若，那么 的值是_______________.
② 的最小值是_______.
或
2 031
【点拨】表示数轴上表示 的点与表示
,3的点的距离之和，所以当 时，
有最小值，最小值是2031.
③ 的最小值是________.
【点拨】当 时，
；当
时，
，
易得当时，取最小值，最小值为 ；
当 时，
，综上
所述，的最小值为 .
④当为何值时， 有
最小值，最小值为多少？
【解】
当时， 有
最小值，
当时， 有最小值，
所以当 时，原式有最小值，
最小值为 .
综上，为时，
有最小值,最小值为 .

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