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湘教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.章末复习第4章图形的认识湘教版七年级数学第4章图形的认识全章复习资料前言：本章是初中几何入门核心章节，主要认识基础几何图形，区分平面与立体图形，掌握线段、射线、直线、角的基本概念、性质、度量与计算，是后续几何学习的基础，重点考察概念辨析、规范作图、角度计算、线段求值四大题型。4.1立体图形和平面图形核心知识点1.平面图形：所有部分在同一平面内，无空间厚度，常见有线段、三角形、长方形、正方形、圆、多边形等。2.立体图形：占有空间、不都在同一平面内，分为三类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体。3.图形转化：立体图形可展开为平面展开图，平面图形可拼接围成立体图形。正方体展开图为高频考点，共11种标准形式，田字形、凹字形无法拼成正方体。4.几何体特征：棱柱侧面为长方形，底面是全等多边形；圆锥侧面是曲面，底面是圆；球体仅由曲面围成，无棱、无顶点、无平面。4.2.1线段、射线、直线核心知识点1.三者区别：线段有2个端点，长度有限、可度量；射线有1个端点，单向无限延伸、不可度量；直线无端点，双向无限延伸、不可度量。2.表示规范：线段AB、直线AB无方向；射线AB端点必须写在前，与射线BA不是同一条射线。3.基本事实：两点确定一条直线（固定木条、定点画线的依据）。4.延伸规则：线段可双向延长；射线只能向无端点一侧延伸；直线无需延伸，本身无限长。4.2.2线段长短的比较核心知识点1.比较方法：叠合法（重合端点对比位置）、度量法（刻度尺测量数值对比，最精准）。2.核心基本事实：两点之间，线段最短。两点之间线段的长度，叫做两点间的距离。3.线段中点：将线段分成两条相等线段的点。若M是AB中点，则\(AM=BM=\frac{1}{2}AB\)，\(AB=2AM=2BM\)。4.线段和差：点在线段上，总长=两段之和；点在线段延长线上，总长=两段之差，计算需注意分类讨论。4.3.1角与角的大小比较核心知识点1.角的定义：由公共端点的两条射线组成的图形，也可看作射线绕端点旋转形成的图形。2.四种表示方法：三个大写字母（通用）、单个大写字母（顶点只有一个角）、数字、希腊字母。3.大小比较：度量法、叠合法。角的大小只与两边张开程度有关，与边的长短无关。4.角的分类：锐角（0°＜α＜90°）、直角（α=90°）、钝角（90°＜α＜180°）。5.角平分线：从顶点出发，将角平分的射线。若OC平分∠AOB，则\(\angle AOC=\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB\)。4.3.2.1角的度量与计算核心知识点1.角度单位：度（°）、分（′）、秒（″），60进制：\(1°=60′\)，\(1′=60″\)。高级换低级乘60，低级换高级除60。2.特殊角：直角90°、平角180°、周角360°，1周角=2平角=4直角。3.角度运算：度分秒分别加减，满60进1，不够减向前借1当60；可结合角平分线、角的和差进行综合计算。4.3.2.2余角和补角核心知识点1.余角：两角和为90°，互为余角，互余两角均为锐角。2.补角：两角和为180°，互为补角，可一锐一钝或两个直角。3.核心性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等（几何推理高频依据）。4.常用结论：任意锐角的补角比余角大90°。全章易错点汇总1.射线书写易错：端点字母必须在前，射线无长度、不可比较长短。2.距离概念易错：两点间距离是线段长度，不是线段本身。3.角度进制易错：度分秒为60进制，区别于十进制，加减运算注意进退位。4.余补角概念易错：钝角无余角，直角补角为直角；余补角与位置无关，只与角度和有关。5.线段计算易错：三点共线问题需分类讨论，避免漏解。全章核心公式总结1.线段中点：\(AM=BM=\frac{1}{2}AB\)2.角平分线：\(\angle AOC=\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB\)3.余角公式：\(\angle余=90°-\angle\alpha\)4.补角公式：\(\angle补=180°-\angle\alpha\)5.角度换算：\(1°=60′，1′=60″\)知识图谱
图形与
几何
立体图形
平面图形
直线
射线
角
线段
两点确定一条直线
长短比较
两点之间线段最短
度量与计算
大小比较
余角与补角
角平分线
同角(或等角)的余角相等
同角(或等角)的补角相等
点
思考回顾
1.线段、射线、直线有什么区别与联系 怎样比较线段的长短
类型 端点个数 延伸性 可否度量
线段
射线
直线
2个
1个
0个
不能延伸
向一端无限延伸
向两端无限延伸
不可度量
不可度量
可度量
联系：线段和射线都是直线的一部分.
比较长短的方法：度量法、叠合法.
2.什么样的图形是角
把一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置时所成的图形叫作角.
有公共端点的两条射线组成的图形，叫作角.
动态定义：
静态定义：
3．角的大小用什么单位表示 怎样比较两个角的大小
比较角大小的方法：度量法、叠合法、尺规作图法.
度、分、秒.
4.怎样进行角的度量与计算
用借位法和进位法进行角度的和、差运算
度
分
秒
× 60
×3 600
× 60
÷3 600
÷ 60
÷ 60
角的单位换算.
5．同角或等角的补角有什么关系 同角或等角的余角有什么关系
互余 互补
两角间的 数量关系
对应的图形
性质
∠1+∠2=90°
(90°-∠1=∠2)
∠3+∠4=180°
(180°-∠3=∠4)
同角（或等角）的余角相等
同角（或等角）的补角相等
为了区分有公共顶点的几个角，一般用三个大写字母表示角.
角的大小由始边绕顶点旋转到终边位置的旋转量确定，与所画角的边的长短无关(角的边是两条射线).
角的度、分、秒之间的换算是六十进制.
如果没有特别说明，本书中所讲的角只限于不大于平角的角.
注意事项
考点1 立体图形与平面图形
1. 下列图形中，____________是立体图形,________是平面
图形.（填序号）
①④⑤⑥⑦
②③⑧
考点2 立体图形的展开与折叠
2. 下面的平面展开图与图下方的立体图形名称不相符的是
( )
A
A. 三棱锥
B. 长方体
C. 正方体
D. 圆柱体
3. [“新希望杯”竞赛] 将如图所示的正方体展开后，不可能是
( )
B
A. B. C. D.
考点3 直线、射线、线段
4. 下列几何图形与相应语言描述相符的是( )
C
A. 如图①，延长线段到点
B. 如图②，射线经过点
C. 如图③，直线和直线相交于点
D. 如图④，射线和线段 没有交点
5. 岳麓山古镇，作为
湖南的重要景点，承载着丰富的历史文化，
散发着古韵质朴的气息，如同一幅见证时光
变换的风情画卷.为了游客的便利，某十字路
两点之间,线段最短
口设有俯视示意图如图.若想走近路，在从位置到位置 的
两条路径“”和“ ”中，你会选择路径_______，
选择的依据是__________________.
考点4 线段的计算
6. 已知线段,直线上有一点,且
是线段的中点，则线段 的长为____________.
或
【点拨】分两种情况，当点在线段 上时，如图①.
因为是线段的中点，所以 .
又因为 ,所以
;
当点在线段 的延长线上时，如图②.
因为是线段的中点，所以 .
又因为 ，所以
.
综上所述，线段的长为或 .
解题支架
7. 如图，已知和的公共部分 ，线段
，的中点分别为，，则， 的长
分别为______________.
，
【点拨】因为所以.因为 是
的中点，所以.因为是 的
中点，所以 ，所以
.所以
，所以
，所以 .
8. 如图，点在线段上,且，点在线段 的
延长线上,，点为 的中点.
（1）当线段时，用含的代数式表示线段 的长度.
【解】因为,, ，
所以, ,
所以 .
因为点为的中点，所以 .
（2）当线段时，求线段 的长度.
设 ,由（1）知
,
又因为,所以，解得 .
因为点为的中点，所以 则
.
考点5 角的计算
9. [黄冈中学预录] 小明晚上6点多外出购物，看手表上时
针与分针的夹角为 ,接近7点回到家，发现时针与分针的
夹角又是 ,则小明外出用的时间为( )
B
A. B. C. D.
【点拨】设小明外出用了 .根据题意得
,解得 .所以小明外出用了
.
10. 已知 ,
的余角为,的补角为,平分 ,
平分 .
（1）如图，当 ,且射线在 的外部时，用直
尺、量角器画出射线, 的准确位置；
【解】作射线， 如图①②所示.
（2）求（1）中 的度数，要求写出计算过程；
因为 ， 的余角为
，的补角为 ，
所以 ，
.
又因为平分，平分 ，
所以 ，
.
分两种情况：
①当位于 下方时，如图①，
;
②当位于 上方时，如图②，
.
综上，的度数为 或 .
（3）当射线在的内部时，用含 的式子表示
的度数（直接写出结果）.
或 .
思想1 方程思想
11. [湖北预录] 如图，点，，将线段 分成
的四部分，，，，分别是线段，， ,
的中点，且，则线段 的长度为___.
7
【点拨】由题意设,,, .因为
,分别是,的中点，所以 ,
.所以
整
理得，解得.又因为，分别是， 的
中点，所以
当已知几条线段之间的比例关系或倍分关系及某条
线段的长时，通常采用设未数列方程的方法求解线段的长.
. .
. .
12. [马鞍山期末] 如图，是直线
上一点，射线从出发，绕点 顺时针
旋转，每秒旋转 ，射线从 出发，
（1）当时，____ ；
90
绕点逆时针旋转，每秒旋转 ，射线与 同时旋转，
设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，, 都停
止运动.
（2）求当为何值时，与 的夹角为
.
【解】由题意易知旋转 后停止
运动， （秒），则
,由题意知 ,
.
分以下三种情况：①如图①,当, 相遇前，
，即 ，
解得 ;
②如图②，当, 相遇后，第一次形成
角时，有 ，则
，解得 ;
③如图③,当, 相遇后，第二次形成
角时，有
,易知
,
则，解得 .
综上，当与夹角为 时，的值为或或 .
思想2 分类讨论思想
13. 定义：若线段上的一个点把这条线段分成 的两条
线段，则称这个点是这条线段的三等分点.
（1）如图①，点是线段 的一个三等分点，满足
，若，则___ ；
3
（2）如图②，已知，点从点出发，点从点
出发，两点同时以的速度沿射线方向运动 .
①请直接写出当为何值时，点是线段 的三等分点.
②在点，开始出发的同时，点也从点 出发，以某一速
度沿射线方向运动，在运动过程中，当点是线段 的三
等分点时，点也是线段的三等分点，求线段 的长度.
【解】 或27.
【点拨】①由题意，得 .
当时，，所以 ,解得
;
当时， ,
所以，解得 .
综上所述，的值是 或27.
②设则， .
因为点，分别是， 的三等分点,
所以可以分四种情况讨论：
.当,时， ，
,
分别得, ,
所以,解得 ;
.当,时， ，
,
分别得, ,
所以,解得 ;
.当,时， ，
,
分别得, ,
所以，解得 ;
.当,时， ，
,
分别得, ,
所以，解得 （舍去）.
综上所述，的长度为或或 .
14. [华南师大附中自主招生] 已知
和 均为锐角
，与重合， 在
内部，将绕点逆时针旋转 ，
即， 平分
，平分 .
（1）如图，若 ， ， ，
则 ____;
【点拨】因为 , ,
,所以 .
因为平分，平分 ，所以
,
所以 .
（2）若 ， ，求 的度数
（用代数式表示）;
【解】①若在内部，因为 平分
，平分 ，所以
.所以;②若射线 在
内部，射线在 外部，则
,所以
, 所以 ；
③若在 外部，则
,所以
,
所以
.
综上所述， .
（3）在（2）的条件下，若平分 ，请
直接写出的值（用含， 的代数式表示）.
.
【点拨】因为平分 ,所以
,因为 .所以
,整理得 .

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