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2025-2026学年浙江省宁波市江北区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.传统建筑中的建筑构件体现着无数古人的智慧，每种窗花都有它美好的寓意，下列窗花纹饰是中心对称图形的是( )
A. 卷草纹 B. 涡旋纹
C. 冰裂纹 D. 牛角纹
2.计算的结果是( )
A. B. C. D.
3.用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设( )
A. B. C. D.
4.将一元二次方程化为一般形式，正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图是某班名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有( )
视力
人数
A. 中位数，上四分位数 B. 中位数，下四分位数
C. 众数，上四分位数 D. 众数，下四分位数
6.如图，在梯形中，，，顺次连结四边中点，得到的四边形一定是( )
A. 等腰梯形
B. 正方形
C. 矩形
D. 菱形
7.如图是甲、乙、丙三个班级学生立定跳远测试成绩的箱线图，根据图中信息，下列说法错误的是( )
A. 三个班级中，甲班跳远成绩的方差最小
B. 丙班跳远成绩低于的人数多于高于的学生人数
C. 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大
D. 若每班有名学生，则这三个班级的第名中，丙班的分数最高
8.如图，在直角三角形中，，，，点是上的一个动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
9.设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在 中，点在边上，连结，，且，分割成的三部分恰好可以拼成菱形若在线段上存在点，使得，，四边形能拼成一个和菱形全等的四边形，若，，则的长度为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ．
12.若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是 ．
13.有个数据，它们的方差是；现将这十个数据分成两组，若两组数据的组内离差平方和是，则它们的组间离差平方和是 ．
14.如图， 的对角线，相交于点，平分交于点，点是的中点连结，若，，则的长为 ．
15.如图，将矩形沿着它的对角线翻折，若点恰好落在的中垂线上，那么的值为 ．
16.定义：如果一类关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做的偏向方程已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数，都满足的偏向方程，则的取值范围是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
17.计算：
；
．
18.解方程：
；
．
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图是由相同的正六边形组成的网格图，每个网格图中有个小正六边形已涂上阴影，请在余下的空白小正六边形中，分别按要求选取一个涂上阴影．
使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合；
使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合．
20.本小题分
某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加射击比赛，在最近的选拔赛中，他们每人的十次射击成绩单位：环如下：
甲：，，，，，，，，，；
乙：，，，，，，，，，．
小江利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：，______；
方差：，，可以看出，______填甲或乙的射击成绩更稳定；
小北利用四分位数、箱线图如图进行分析：
根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙的箱线图，补全甲的箱线图；
根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对甲乙两人成绩的看法．
21.本小题分
如图，在菱形中，分别以，为圆心，长为半径画圆弧，两弧分别与对角线交于，两点，连结，，，．
判断四边形的形状，并说明理由；
若，，求四边形的面积．
22.本小题分
小江和小北在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形面积问题”进行了探究他们各自查找了相关问题的资料．
小江找到的资料如下：我国南宋数学家秦九韶在数书九章中记载：如果一个三角形的三边长分别为，，，则面积秦九韶公式．
小北找到的资料如下：古希腊数学家海伦在所著度量论中记载：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则面积海伦公式．
已知的三边，，的值如下，请运用合适的公式计算的面积．
，，；
，，．
结合，谈谈你对两个公式如何选择的看法．
23.本小题分
阅读材料：我国古代数学家赵爽所作勾股圆方图注利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法以方程为例，变形得，如图，取四个全等矩形，邻边为和，每个矩形面积为把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形由面积关系：大正方形面积四个矩形面积中间小正方形面积，即，解得正数解．
【应知必会】如图，结合材料中的弦图解法，对方程变形得，拼接图形后，下列说法正确的有______多选
A.所用矩形的长为，宽为
B.中间小正方形的边长为，面积为
C.外围大正方形的边长为
D.四个矩形的总面积为
【实战演练】如图，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为，中间小正方形边长为设矩形较短边长为，列出形如的方程，则______，______．
【拓展拔高】如图，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为，若将每个矩形的长与宽同时增加，则单个矩形的面积比原来增加求原矩形两条边的长度．
24.本小题分
如图，在正方形中，，点为正方形内一点，连结，，．
如图，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连结，求证：≌．
如图，在的条件下，当时，连结，，求的面积．
如图，若将绕点按顺时针方向旋转得到，当点在直线上，且面积为时，求的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】， ，
19.【答案】如图，在图中将标注为“”的正六边形图上阴影，阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合 如图，在图中将标注为“”的正六边形图上阴影，阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合．

20.【答案】乙 数据按从小到大排列：，，，，，，，，，．
这组数据的下四分之一分位数为，分位数为，上四分之一分位数为．
根据箱线图可以看出，甲和乙的分位数相同，乙的成绩波动大于甲
21.【答案】四边形是菱形，理由如下：
连接交于，
四边形是菱形，
，，，
由题意得到，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形
22.【答案】； 对两个公式如何选择的看法结合的计算过程可知：当三角形的三边长是整数或较为简单的有理数时，使用海伦公式更为方便．因为半周长容易求得且一般为整数，代入后计算开方比较直接．当三角形的三边长是含有根号的无理数时，使用秦九韶公式更为方便．因为公式中直接用到的是边长的平方即，，，这样可以避开计算带有根号的半周长，直接利用整数进行加减乘除运算，大大降低了计算的难度和繁琐程度
23.【答案】 原矩形的两条边长为和
24.【答案】正方形，
，
线段绕点按顺时针方向旋转得到，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌ 或或
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