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专题02 不等式与不等关系
考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律
考点01 不等式的性质 2026北京卷、2026上海卷、 2024上海卷、 2022上海卷 高考对不等式性质的考查虽单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，是进行不等式变形、证明及解题的核心工具
考点02 一元二次不等式、分式不等式 2026上海卷、 2025年全国二卷、2025天津卷、 2025上海卷、 2024上海卷、 2023年新高考卷Ⅰ、 2022上海卷 一元二次不等式、分式不等式常与集合运算、函数定义域、导数求单调区间等综合考查
考点03 基本不等式 2026天津卷、2026上海卷、 2025北京卷、2025上海卷、 2024北京卷、2024上海卷、 2023上海卷、 2022年新高考卷Ⅱ 基本不等式是求最值的常用工具，难度不定
考点04 线性规划（新高考已经删除，思想具有参考意义） 2024年全国甲卷 2023年全国甲卷、2023年全国乙卷 2022年全国乙卷、2022浙江卷 新高考已经剔除，但是在直线与圆的位置关系求最值问题中，它的思想有所体现
考点01 不等式的性质
1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（ ）
A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数
B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数
C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数
D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数
【答案】B
【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论.
【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为，
高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为，
∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：，
∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，
∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得，
∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误.
2．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C.
【详解】对于A,取，则故，所以A错误，
对于B，取则，此时，故B错误，
对于C，由于，故，因此，C正确，
对于D,取，则，此时，故D错误，
故选：C
3．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断.
【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误；
对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确；
对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误．
故选：B．
4．（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】因为，则，故，A对B错；
，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.
故选：A.
5．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】用不等式的基本性质得解.
【详解】，但，，A、C错
，，所以.B正确.
，但，D错.
故选:B.
6．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是___________.
【答案】/
【分析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值.
【详解】设，则，解得，
所以，，
因此，的最小值是.
故答案为：.
考点02 一元二次不等式、分式不等式
1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【详解】即为即，故，
故解集为.
故选：C.
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
3．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________.
【答案】
【分析】由可得:，解不等式可得其解集.
【详解】由可得:，
解得:，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
4．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______
【答案】
【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【详解】设，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的，，
不妨代入，得，得，
当时，原不等式可化为，
即，
观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，
故的最小值为.
故答案为：
5．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________．
【答案】
【分析】转化为一元二次不等式，解出即可.
【详解】原不等式转化为，解得，
则其解集为.
故答案为：.
6．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____．
【答案】
【分析】将不等式化为，即可得答案.
【详解】由题意得不等式即，
即不等式的解集为，
故答案为：
7．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.
【答案】
【分析】分与两段求解二次不等式可得.
【详解】根据题意知.
当时，,即，解得，则有；
当时，,即，，即时，不等式都成立.
综上所述，的的取值范围为.
故答案为：.
8．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.
【详解】方程的解为或，
故不等式的解集为，
故答案为：.
9．（2022·上海·高考真题）不等式的解集为_____________.
【答案】
【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.
【详解】或，解第一个不等式组，得，第二个不等式组的解集为空集.
故答案为：
【点睛】本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.
考点03 基本不等式
1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】B
【详解】因为，
当且仅当，即，时，等号成立,
所以的最小值为9.
2．（2025·北京·高考真题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当时，，故A错误；
对于BD，取，此时，
，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得，故C正确.
故选：C.
3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
4．（多选题）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
5．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________．
【答案】/
【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论.
【详解】因为，当且仅当时等号成立，
结合可得，，
当且仅当，或，时等号成立，
所以当，或，时，取最大值，最大值为.
6．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______．
【答案】2
【分析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值．
【详解】解：∵，，
∴
∴，当且仅当时取等号，即，时取等号
故答案为：2．
【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题
7．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________．
【答案】4
【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知，
当且仅当，即时取得最小值.
故答案为：4
8．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______．
【答案】12
【分析】利用不等式即可求解.
【详解】,
当且仅当,即或时,等号成立,
故的最小值为12.
故答案为：12.
9．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________．
【答案】
【分析】由，代入即可得出答案.
【详解】，
当且仅当“”，即时取等，
所以的最大值为.
故答案为：
考点04 线性规划（新高考已经删除，思想具有参考意义）
1．（2024·全国甲卷·高考真题）若满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.
【详解】实数满足，作出可行域如图：
由可得，
即的几何意义为的截距的，
则该直线截距取最大值时，有最小值，
此时直线过点，
联立，解得，即，
则.
故选：D.
2．（2022·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件则的最大值是（ ）
A．20 B．18 C．13 D．6
【答案】B
【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线后可求最大值.
【详解】不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线过时有最大值.
由可得，故，
故，
故选：B.
3．（2022·全国乙卷·高考真题）若x，y满足约束条件则的最大值是（ ）
A． B．4 C．8 D．12
【答案】C
【分析】作出可行域，数形结合即可得解.
【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数为，
上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，
所以.
故选：C.
4．（2023·全国甲卷·高考真题）若x，y满足约束条件，设的最大值为____________．
【答案】15
【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.
【详解】作出可行域，如图，

由图可知，当目标函数过点时，有最大值，
由可得，即,
所以.
故答案为：15
5．（2023·全国乙卷·高考真题）若x，y满足约束条件，则的最大值为______.
【答案】8
【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.
【详解】作出可行域如下图所示：
，移项得，
联立有，解得，
设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大，
代入得，
故答案为：8.

6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知.
(1)求不等式的解集；
(2)在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积.
【答案】(1)；
(2)8.
【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.
（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.
【详解】（1）依题意，，
不等式化为：或或，
解，得无解；解，得，解，得，因此，
所以原不等式的解集为：
（2）作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，

由，解得，由, 解得，又，
所以的面积.中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 不等式与不等关系
考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律
考点01 不等式的性质 2026北京卷、2026上海卷、 2024上海卷、 2022上海卷 高考对不等式性质的考查虽单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，是进行不等式变形、证明及解题的核心工具
考点02 一元二次不等式、分式不等式 2026上海卷、 2025年全国二卷、2025天津卷、 2025上海卷、 2024上海卷、 2023年新高考卷Ⅰ、 2022上海卷 一元二次不等式、分式不等式常与集合运算、函数定义域、导数求单调区间等综合考查
考点03 基本不等式 2026天津卷、2026上海卷、 2025北京卷、2025上海卷、 2024北京卷、2024上海卷、 2023上海卷、 2022年新高考卷Ⅱ 基本不等式是求最值的常用工具，难度不定
考点04 线性规划（新高考已经删除，思想具有参考意义） 2024年全国甲卷 2023年全国甲卷、2023年全国乙卷 2022年全国乙卷、2022浙江卷 新高考已经剔除，但是在直线与圆的位置关系求最值问题中，它的思想有所体现
考点01 不等式的性质
1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（ ）
A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数
B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数
C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数
D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数
2．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是___________.
考点02 一元二次不等式、分式不等式
1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________.
4．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______
5．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________．
6．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____．
7．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.
8．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______．
9．（2022·上海·高考真题）不等式的解集为_____________.
考点03 基本不等式
1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
2．（2025·北京·高考真题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选题）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________．
6．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______．
7．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________．
8．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______．
9．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________．
考点04 线性规划（新高考已经删除，思想具有参考意义）
1．（2024·全国甲卷·高考真题）若满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件则的最大值是（ ）
A．20 B．18 C．13 D．6
3．（2022·全国乙卷·高考真题）若x，y满足约束条件则的最大值是（ ）
A． B．4 C．8 D．12
4．（2023·全国甲卷·高考真题）若x，y满足约束条件，设的最大值为____________．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）若x，y满足约束条件，则的最大值为______.
6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知.
(1)求不等式的解集；
(2)在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积.
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