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广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷
1．若，则=（　　）
A． B． C． D．
2．若，则（　　）
A． B． C． D．
3．疫情期间，某医院召集4位医生，1位护士共5人赶赴，，三个核酸检测点进行核酸采样工作，每个检测点至少派1人，且护士不去检测点，则不同的安排方法有（　　）
A．76 B．88 C．100 D．124
4．设A，B是两个随机事件，且，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．若A与B互斥，则 D．若，则A与B相互独立
5．若是上的单调函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（　　）
A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种
7．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．事件与事件B相互独立
C． D．
8．某居委会派小王、小李等6人到甲乙两个路口做引导员，每人去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（　　）
A．40 B．28 C．20 D．14
9．下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量服从两点分布，且，则
B．某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从二项分布，且，则，
10．已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（　　）
A． B．
C． D．
11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．如图示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是，此数列记为，其前项的和记为，则（　　）
A． B． C． D．
12．某中学举办诗词大会选拔赛，选手需要从7道选择题，3道填空题中任选2题作答，每次随机抽取一道题，抽出的题不再放回，甲同学在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到填空题的概率是　 　.
13．若三个正整数的位数之和为，且组成的个数码能排列为则称为“幸运数组”，例如是一个幸运数组.则满足的幸运数组的个数为　 　.
14．已知函数的图象在某两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围为　 　.
15．设，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
16．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值
17．某气象观测网在沿海某干线上部署了个自动气象站，按照自南向北依次编号为1，2，…，.为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均从这个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）.记第一次指令选中的气象站的编号为，第二次指令选中的气象站编号为.
（1）若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传输”的概率；
（2）为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将与中的较大值记为（即相对偏北的站点编号），将与中的较小值记为（即相对偏南的站点编号）.
（ⅰ）记两次指令的选中编号之和为，即，求；
（ⅱ）定义两次指令的空间跨度，证明：.
（参考公式：）
18．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的最小值．
19．某地政府为了帮助当地农民提高经济收入，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元．当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元．每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃，则销售量为5000件；若气温在内，则销售量为3500件；若气温低于25℃，则销售量为2000件．为制定今年9月份的生产计划，统计了前三年9月份的气温数据，得到下表：
气温/℃
天数 4 14 36 21 15
以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．
（1）求今年9月份这种食品一天的销售量X（单位：件）的分布列和均值；
（2）设今年9月份一天销售这种食品的利润为Y（单位：元），这种食品一天的生产量为n（单位：件），若，求Y的均值的最大值及对应的n的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】组合数公式；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：由，得，则，解得.
故答案为：C.
【分析】由，得，根据组合数公式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：，令，即，可得，即.
故答案为：A.
【分析】由题意，令，求展开式中各项系数的和即可.
3．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：首先将护士安排去、两个核酸检测点中的一个有种安排方法，
再将4位医生安排去两个检测点或三个检测点，
若安排去两个检测点，则有种安排方法，
若安排去三个检测点，则有种安排方法，
综上一共有种安排方法.
故答案为：C.
【分析】利用分组、分配，结合分类、分步计数原理计算求解即可.
4．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、，若，则，不符合题意，故A不正确；
B、，若，
则，所以，即，不符合题意，故B不正确；
C、因为A与B互斥，所以，又，，
所以，，所以，故，故C正确；
D、，不能说明成立，故D不正确.
故答案为：C.
【分析】根据条件概率公式即可判断A；根据条件概率，结合对立事件概率公式计算即可判断B；根据互斥事件的定义，结合，，可得，即可判断C；根据独立事件的定义，由已知不能说明成立即可判断D.
5．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：函数，
当时，函数，
求导可得，
则在上单调递增，则在上单调递增；
当时，，由题意知，在上恒成立，
即在上恒成立，又，
当且仅当，即时取等号，则，
又因为，得到，所以，
则实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】当时，求导，利用导数判断函数的单调性，当时，求导，由题意可得在上恒成立，且，求解即可得实数a的范围.
6．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先把字相同的卡片看成一组，
第一步：从这5组中选出一组有种选法，
第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片有，
第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学有，
所以不同的分配方案有种.
故答案为：D.
【分析】利用分步乘法计数原理求解即可.
7．【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】由题意得，所以A不符合题意；
因为，
，所以，即，
故事件事件与事件B不相互独立，所以B不符合题意，D符合题意；
，所以C不符合题意；
故答案为：D
【分析】A选项，根据题意求出，判断A选项；
B选项，利用全概率公式求出，得到，判断事件事件与事件B不相互独立，得到D选项正确；
C选项，利用条件概率公式求解即可.
8．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口，
两个路口为人分布，共有种方案，
两个路口为人分布，共有种方案，
此时共有种方案；
同理若小王在乙路口，小李在甲路口，也共有种方案；
所以一共有28种不同的安排方案种数．
故答案为：B．
【分析】 由小王和小李不能去同一路口，先分配特殊的小王和小李两个人，再将剩余4个人分到两个路口，根据分组、分配相关知识计算即可．
9．【答案】A,B,D
【知识点】超几何分布；二项分布；两点分布
【解析】【解答】解：A、因为随机变量服从两点分布，且，所以，所以，故A正确；
B、恰好有2只测量过该指标的概率为，故B正确；
C、随机变量服从二项分布，则，，即，故C错误；
D、随机变量服从二项分布，则，，又，所以，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据两点分布的定义，期望公式求解即可判断A；根据超几何分布求概率即可判断B；根据二项分布求解即可判断C；根据二项分布的期望和方差公式以及期望和方差的性质求解即可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】充分条件；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
设切点为，则切线的斜率为，
切线方程为，
整理可得：，
由题意可知：此方程有且恰有两个解，令，
，
，
令，则，
所以在上单调递增，因为，
所以当时，；当时，，
当，即时，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
所以只要或，即或；
当，即时，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
所以只要，即，而；
当，即时，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，，
所以只要或，由可得：，
由得；
当时，，所以函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；
综上：当时，；
当时，或；
当时，或.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，设切点坐标为，利用导数的几何意义集合点斜式求切线方程，以问题转化为方程恰有两个解，令，求导，分情况，利用导数判断函数的单调性，求解其零点即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可得：当n为奇数时，，当n为偶数时，，
A 、当n=20时， ，故A正确；
B、当n=39时，，故B正确；
D 、当第n项为偶数时，
，
则，故D正确；
C、当第n项为奇数时，
，
则，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据数列的前10项，利用观察法写出数列的通项公式，再利用分类讨论思想的应用求出数列的和逐项判断即可.
12．【答案】
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解|：设第1次抽到选择题为事件A，第2次抽到填空题为事件B，
则，，即.
故答案为：.
【分析】先设事件，利用条件概率公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为，所以有两类不同情形：
（1）是两位数，都是三位数：先不考虑的大小，由于的首位均不能排0，
所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法，
其余三个数5，6，7有种的排法，共有种不同的排法，
又因为不可能有，可知与的排法各占一半，所以有300个满足条件的幸运数组；
（2）是两位数，是四位数：先不考虑的大小，由于的首位均不能排0，
所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法，
其余三个数5，6，7有种的排法，共有种不同的排法.
如果，则只有，的四个位置上的数字为0，5，6，7，共有种排法，
此外，与的排法各占一半，即，所以有291个满足条件的幸运数组；
综上，所求幸运数组的个数为591.
故答案为：591.
【分析】分是两位数，都是三位数和是两位数，是四位数两种情况讨论，利用分类计数原理，结合排列组合知识求解即可.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
设两个切点为，，则两切线的斜率分别为，，
假设函数的图象上存在互相垂直的切线，
不妨设在与处的切线互相垂直，可得，
则有解，
因为，
又因为有解，所以，
所以，
或，
要有解，则，解得，即实数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，设切点分别为，，问题转化为有解，由题意列不等式，求解实数a的取值范围即可.
15．【答案】解：令，可得；
（1）令，可得，则；
（2）令，可得，
则，
即；
（3）对两边同时求导，
得到，
将，代入得.
【知识点】二项式定理的应用；基本初等函数导函数公式；二项展开式
【解析】【分析】令，求得；
（1）令，结合，求解即可；
（2）令，根据（1）的结果，求解即可；
（3）对两边同时求导，将代入求解即可.
16．【答案】（1）解：函数 定义域为，，
当 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调递增；
当 时，，得舍去，，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）解：因为对任意 ， 恒成立，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
设 ，则 ，
设 ， ，则 在 上单调递减，
因为 ， ，
所以 ，使得 ，即 ，
当 时， ；
当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故整数 m 的最小值为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和两种情况，利用导数讨论函数的单调性即可；
（2）分离参数可得 在 上恒成立，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性，求最值，即可得整数m的最小值.
（1）因为 ，
当 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调递增；
当 时，，得舍去，，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）因为对任意 ， 恒成立，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
设 ，则 .
设 ， ，则 在 上单调递减，
因为 ， ，
所以 ，使得 ，即 .
当 时， ；
当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
因为 ，所以 ，
故整数 m 的最小值为
17．【答案】（1）解：根据题意，与均服从集合上的离散型均匀分布，
由于两次指令独立且等概率随机选择，
因此组合的所有可能结果共有种，且每种结果发生的概率相同，
设事件为“数据重载”，即，
此时可以是，，…，，共种情况，则，
设事件为“顺向传输”，即，
在种总情况中，除去的种情况，剩下的种情况分布在与两个对立且对称的事件中，
由对称性可知，包含的情况数均为种，
则；
（2）证明：（ⅰ）由于且，对于任意一对实数，其最大值与最小值之和永远等于这两数之和，
因此恒等式成立，即，
根据题干中已知随机变量期望的线性可加性，有：，对于离散型均匀分布的随机变量和，其可能的取值为1，2，…，，对应的概率均为，
故，
因此，；
（ⅱ）证明：依题意，，所有可能的取值为0，1，2，…，，当时，对应，
概率为，当时，满足的站点对有两类组合方式：
第一类，此时为，，…，，共种；
第二类，此时为，，…，，共种；
即有种基本事件组合.所以，，
，
，
而，因为且，显然，
所以.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可；
（2）（ⅰ）由题意可得恒等式成立，即，
根据公式，结合（1）的结果，分别求和，即可求；
（ⅱ）依题意，，所有可能的取值为0，1，2，…，，分和时，，再代入期望公式求解即可.
（1）根据题意，与均服从集合上的离散型均匀分布.由于两次指令独立且等概率随机选择，因此组合的所有可能结果共有种，且每种结果发生的概率相同.设事件为“数据重载”，即.此时可以是，，…，，共种情况.故.
设事件为“顺向传输”，即.在种总情况中，除去的种情况，剩下的种情况分布在与两个对立且对称的事件中.由对称性可知，包含的情况数均为种.故.
（2）（ⅰ）由于且，对于任意一对实数，其最大值与最小值之和永远等于这两数之和，因此恒等式成立，即.根据题干中已知随机变量期望的线性可加性，有：.对于离散型均匀分布的随机变量和，其可能的取值为1，2，…，，对应的概率均为.
故.
因此，.
（ⅱ）证明：依题意，.所有可能的取值为0，1，2，…，.当时，对应，概率为.当时，满足的站点对有两类组合方式：
第一类，此时为，，…，，共种；
第二类，此时为，，…，，共种；
即有种基本事件组合.所以，.
，
而，因为且，显然.
所以，.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，求导得，
当时，由，得；由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
（2）解：由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
依题意，，即恒成立，
令函数，求导得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即，因此，即，
故以实数的最小值.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，分，，，利用导数判断函数的单调性，求出函数的单调区间即可；
（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，求出函数的最大值，问题转化为恒成立，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求出最大值即可.
（1）函数的定义域为，求导得，
当时，由，得；由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
依题意，，即恒成立，
令函数，求导得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即，因此，即
所以实数的最小值.
19．【答案】（1）解：由题意可得：X的可能取值为2000，3500，5000，
，，，
故X的分布列为
X 2000 3500 5000
P 0.2 0.4 0.4
；
（2）解：由题知，这种食品一天的需求量最多为5000件，最少为2000件，
当时，
若气温不低于30℃，则；
若气温在内，则；
若气温低于25℃，则，
，
当时，取得最大值11900，
故Y的均值的最大值为11900，此时．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意可得：X的可能取值为2000，3500，5000，利用古典概型概率公式分别计算概率，再求数学期望即可；
（2）由题知，这种食品一天的需求量最多为5000件，最少为2000件，分别计算气温不低于，气温位于，以及气温低于的总利润，再根据期望公式求数学期望的最大值以及对应的的值.
（1）X的可能取值为2000，3500，5000．
，，．
故X的分布列为
X 2000 3500 5000
P 0.2 0.4 0.4
．
（2）由题知，这种食品一天的需求量最多为5000件，最少为2000件．
当时，
若气温不低于30℃，则；
若气温在内，则；
若气温低于25℃，则．
．
当时，取得最大值11900．
故Y的均值的最大值为11900，此时．
1 / 1广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷
1．若，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】组合数公式；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：由，得，则，解得.
故答案为：C.
【分析】由，得，根据组合数公式求解即可.
2．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：，令，即，可得，即.
故答案为：A.
【分析】由题意，令，求展开式中各项系数的和即可.
3．疫情期间，某医院召集4位医生，1位护士共5人赶赴，，三个核酸检测点进行核酸采样工作，每个检测点至少派1人，且护士不去检测点，则不同的安排方法有（　　）
A．76 B．88 C．100 D．124
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：首先将护士安排去、两个核酸检测点中的一个有种安排方法，
再将4位医生安排去两个检测点或三个检测点，
若安排去两个检测点，则有种安排方法，
若安排去三个检测点，则有种安排方法，
综上一共有种安排方法.
故答案为：C.
【分析】利用分组、分配，结合分类、分步计数原理计算求解即可.
4．设A，B是两个随机事件，且，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．若A与B互斥，则 D．若，则A与B相互独立
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、，若，则，不符合题意，故A不正确；
B、，若，
则，所以，即，不符合题意，故B不正确；
C、因为A与B互斥，所以，又，，
所以，，所以，故，故C正确；
D、，不能说明成立，故D不正确.
故答案为：C.
【分析】根据条件概率公式即可判断A；根据条件概率，结合对立事件概率公式计算即可判断B；根据互斥事件的定义，结合，，可得，即可判断C；根据独立事件的定义，由已知不能说明成立即可判断D.
5．若是上的单调函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：函数，
当时，函数，
求导可得，
则在上单调递增，则在上单调递增；
当时，，由题意知，在上恒成立，
即在上恒成立，又，
当且仅当，即时取等号，则，
又因为，得到，所以，
则实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】当时，求导，利用导数判断函数的单调性，当时，求导，由题意可得在上恒成立，且，求解即可得实数a的范围.
6．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（　　）
A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先把字相同的卡片看成一组，
第一步：从这5组中选出一组有种选法，
第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片有，
第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学有，
所以不同的分配方案有种.
故答案为：D.
【分析】利用分步乘法计数原理求解即可.
7．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．事件与事件B相互独立
C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】由题意得，所以A不符合题意；
因为，
，所以，即，
故事件事件与事件B不相互独立，所以B不符合题意，D符合题意；
，所以C不符合题意；
故答案为：D
【分析】A选项，根据题意求出，判断A选项；
B选项，利用全概率公式求出，得到，判断事件事件与事件B不相互独立，得到D选项正确；
C选项，利用条件概率公式求解即可.
8．某居委会派小王、小李等6人到甲乙两个路口做引导员，每人去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（　　）
A．40 B．28 C．20 D．14
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口，
两个路口为人分布，共有种方案，
两个路口为人分布，共有种方案，
此时共有种方案；
同理若小王在乙路口，小李在甲路口，也共有种方案；
所以一共有28种不同的安排方案种数．
故答案为：B．
【分析】 由小王和小李不能去同一路口，先分配特殊的小王和小李两个人，再将剩余4个人分到两个路口，根据分组、分配相关知识计算即可．
9．下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量服从两点分布，且，则
B．某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从二项分布，且，则，
【答案】A,B,D
【知识点】超几何分布；二项分布；两点分布
【解析】【解答】解：A、因为随机变量服从两点分布，且，所以，所以，故A正确；
B、恰好有2只测量过该指标的概率为，故B正确；
C、随机变量服从二项分布，则，，即，故C错误；
D、随机变量服从二项分布，则，，又，所以，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据两点分布的定义，期望公式求解即可判断A；根据超几何分布求概率即可判断B；根据二项分布求解即可判断C；根据二项分布的期望和方差公式以及期望和方差的性质求解即可判断D.
10．已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】充分条件；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
设切点为，则切线的斜率为，
切线方程为，
整理可得：，
由题意可知：此方程有且恰有两个解，令，
，
，
令，则，
所以在上单调递增，因为，
所以当时，；当时，，
当，即时，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
所以只要或，即或；
当，即时，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
所以只要，即，而；
当，即时，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，，
所以只要或，由可得：，
由得；
当时，，所以函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；
综上：当时，；
当时，或；
当时，或.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，设切点坐标为，利用导数的几何意义集合点斜式求切线方程，以问题转化为方程恰有两个解，令，求导，分情况，利用导数判断函数的单调性，求解其零点即可.
11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．如图示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是，此数列记为，其前项的和记为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可得：当n为奇数时，，当n为偶数时，，
A 、当n=20时， ，故A正确；
B、当n=39时，，故B正确；
D 、当第n项为偶数时，
，
则，故D正确；
C、当第n项为奇数时，
，
则，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据数列的前10项，利用观察法写出数列的通项公式，再利用分类讨论思想的应用求出数列的和逐项判断即可.
12．某中学举办诗词大会选拔赛，选手需要从7道选择题，3道填空题中任选2题作答，每次随机抽取一道题，抽出的题不再放回，甲同学在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到填空题的概率是　 　.
【答案】
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解|：设第1次抽到选择题为事件A，第2次抽到填空题为事件B，
则，，即.
故答案为：.
【分析】先设事件，利用条件概率公式求解即可.
13．若三个正整数的位数之和为，且组成的个数码能排列为则称为“幸运数组”，例如是一个幸运数组.则满足的幸运数组的个数为　 　.
【答案】
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为，所以有两类不同情形：
（1）是两位数，都是三位数：先不考虑的大小，由于的首位均不能排0，
所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法，
其余三个数5，6，7有种的排法，共有种不同的排法，
又因为不可能有，可知与的排法各占一半，所以有300个满足条件的幸运数组；
（2）是两位数，是四位数：先不考虑的大小，由于的首位均不能排0，
所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法，
其余三个数5，6，7有种的排法，共有种不同的排法.
如果，则只有，的四个位置上的数字为0，5，6，7，共有种排法，
此外，与的排法各占一半，即，所以有291个满足条件的幸运数组；
综上，所求幸运数组的个数为591.
故答案为：591.
【分析】分是两位数，都是三位数和是两位数，是四位数两种情况讨论，利用分类计数原理，结合排列组合知识求解即可.
14．已知函数的图象在某两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
设两个切点为，，则两切线的斜率分别为，，
假设函数的图象上存在互相垂直的切线，
不妨设在与处的切线互相垂直，可得，
则有解，
因为，
又因为有解，所以，
所以，
或，
要有解，则，解得，即实数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，设切点分别为，，问题转化为有解，由题意列不等式，求解实数a的取值范围即可.
15．设，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】解：令，可得；
（1）令，可得，则；
（2）令，可得，
则，
即；
（3）对两边同时求导，
得到，
将，代入得.
【知识点】二项式定理的应用；基本初等函数导函数公式；二项展开式
【解析】【分析】令，求得；
（1）令，结合，求解即可；
（2）令，根据（1）的结果，求解即可；
（3）对两边同时求导，将代入求解即可.
16．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值
【答案】（1）解：函数 定义域为，，
当 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调递增；
当 时，，得舍去，，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）解：因为对任意 ， 恒成立，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
设 ，则 ，
设 ， ，则 在 上单调递减，
因为 ， ，
所以 ，使得 ，即 ，
当 时， ；
当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故整数 m 的最小值为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和两种情况，利用导数讨论函数的单调性即可；
（2）分离参数可得 在 上恒成立，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性，求最值，即可得整数m的最小值.
（1）因为 ，
当 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调递增；
当 时，，得舍去，，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）因为对任意 ， 恒成立，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
设 ，则 .
设 ， ，则 在 上单调递减，
因为 ， ，
所以 ，使得 ，即 .
当 时， ；
当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
因为 ，所以 ，
故整数 m 的最小值为
17．某气象观测网在沿海某干线上部署了个自动气象站，按照自南向北依次编号为1，2，…，.为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均从这个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）.记第一次指令选中的气象站的编号为，第二次指令选中的气象站编号为.
（1）若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传输”的概率；
（2）为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将与中的较大值记为（即相对偏北的站点编号），将与中的较小值记为（即相对偏南的站点编号）.
（ⅰ）记两次指令的选中编号之和为，即，求；
（ⅱ）定义两次指令的空间跨度，证明：.
（参考公式：）
【答案】（1）解：根据题意，与均服从集合上的离散型均匀分布，
由于两次指令独立且等概率随机选择，
因此组合的所有可能结果共有种，且每种结果发生的概率相同，
设事件为“数据重载”，即，
此时可以是，，…，，共种情况，则，
设事件为“顺向传输”，即，
在种总情况中，除去的种情况，剩下的种情况分布在与两个对立且对称的事件中，
由对称性可知，包含的情况数均为种，
则；
（2）证明：（ⅰ）由于且，对于任意一对实数，其最大值与最小值之和永远等于这两数之和，
因此恒等式成立，即，
根据题干中已知随机变量期望的线性可加性，有：，对于离散型均匀分布的随机变量和，其可能的取值为1，2，…，，对应的概率均为，
故，
因此，；
（ⅱ）证明：依题意，，所有可能的取值为0，1，2，…，，当时，对应，
概率为，当时，满足的站点对有两类组合方式：
第一类，此时为，，…，，共种；
第二类，此时为，，…，，共种；
即有种基本事件组合.所以，，
，
，
而，因为且，显然，
所以.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可；
（2）（ⅰ）由题意可得恒等式成立，即，
根据公式，结合（1）的结果，分别求和，即可求；
（ⅱ）依题意，，所有可能的取值为0，1，2，…，，分和时，，再代入期望公式求解即可.
（1）根据题意，与均服从集合上的离散型均匀分布.由于两次指令独立且等概率随机选择，因此组合的所有可能结果共有种，且每种结果发生的概率相同.设事件为“数据重载”，即.此时可以是，，…，，共种情况.故.
设事件为“顺向传输”，即.在种总情况中，除去的种情况，剩下的种情况分布在与两个对立且对称的事件中.由对称性可知，包含的情况数均为种.故.
（2）（ⅰ）由于且，对于任意一对实数，其最大值与最小值之和永远等于这两数之和，因此恒等式成立，即.根据题干中已知随机变量期望的线性可加性，有：.对于离散型均匀分布的随机变量和，其可能的取值为1，2，…，，对应的概率均为.
故.
因此，.
（ⅱ）证明：依题意，.所有可能的取值为0，1，2，…，.当时，对应，概率为.当时，满足的站点对有两类组合方式：
第一类，此时为，，…，，共种；
第二类，此时为，，…，，共种；
即有种基本事件组合.所以，.
，
而，因为且，显然.
所以，.
18．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1）解：函数的定义域为，求导得，
当时，由，得；由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
（2）解：由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
依题意，，即恒成立，
令函数，求导得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即，因此，即，
故以实数的最小值.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，分，，，利用导数判断函数的单调性，求出函数的单调区间即可；
（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，求出函数的最大值，问题转化为恒成立，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求出最大值即可.
（1）函数的定义域为，求导得，
当时，由，得；由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
依题意，，即恒成立，
令函数，求导得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即，因此，即
所以实数的最小值.
19．某地政府为了帮助当地农民提高经济收入，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元．当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元．每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃，则销售量为5000件；若气温在内，则销售量为3500件；若气温低于25℃，则销售量为2000件．为制定今年9月份的生产计划，统计了前三年9月份的气温数据，得到下表：
气温/℃
天数 4 14 36 21 15
以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．
（1）求今年9月份这种食品一天的销售量X（单位：件）的分布列和均值；
（2）设今年9月份一天销售这种食品的利润为Y（单位：元），这种食品一天的生产量为n（单位：件），若，求Y的均值的最大值及对应的n的值．
【答案】（1）解：由题意可得：X的可能取值为2000，3500，5000，
，，，
故X的分布列为
X 2000 3500 5000
P 0.2 0.4 0.4
；
（2）解：由题知，这种食品一天的需求量最多为5000件，最少为2000件，
当时，
若气温不低于30℃，则；
若气温在内，则；
若气温低于25℃，则，
，
当时，取得最大值11900，
故Y的均值的最大值为11900，此时．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意可得：X的可能取值为2000，3500，5000，利用古典概型概率公式分别计算概率，再求数学期望即可；
（2）由题知，这种食品一天的需求量最多为5000件，最少为2000件，分别计算气温不低于，气温位于，以及气温低于的总利润，再根据期望公式求数学期望的最大值以及对应的的值.
（1）X的可能取值为2000，3500，5000．
，，．
故X的分布列为
X 2000 3500 5000
P 0.2 0.4 0.4
．
（2）由题知，这种食品一天的需求量最多为5000件，最少为2000件．
当时，
若气温不低于30℃，则；
若气温在内，则；
若气温低于25℃，则．
．
当时，取得最大值11900．
故Y的均值的最大值为11900，此时．
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