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浙江乐清市荆山公学等校2025-2026学年下学期高三模拟卷数学
1．已知集合，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
将2代入可得，解得，
此时，则.
故答案为：D.
【分析】由题意可得，将2代入解得，求得，再根据集合的并集运算求解即可.
2．复数的虚部是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，所以复数的虚部为.
故答案为：D
【分析】根据复数的运算法则需要进行化简得到，结合复数的概念z=a+bi，b为虚部，即可求解.
3．“”是“函数在内单调递增”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】函数的单调递增区间为，由函数在内单调递增，得0，解得，
所以“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件．
故答案为：A．
【分析】先根据二次函数的对称轴求出单调性，从而确定出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断谁可以推出谁即可得到答案.
4．若，，成等比数列，则公比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；等比中项
【解析】【解答】，，成等比数列，所以，即，整理得，由于，所以，此时，，，
故公比为，所以公比为.
故答案为：C
【分析】利用等比中项得出关系，代入x，y，z值并进行整理得，再运用等比的定义通过即可得答案.
5．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（　　）
A．16 B．24 C．32 D．48
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】前两次测试的是一件稳定的，一件不稳定的，第三件是不稳定的，共有 种方法．
【分析】本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是根据实际情况结合排列组合公式计算即可.
6．已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，如图所示：
则，即，整理得，
当且仅当，即时等号成立，圆柱体积取得最大值，
故当圆柱的体积最大时，，即.
故答案为：C.
【分析】设球半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，作出立体图形，由勾股定理，结合均值不等式求最值，注意等号成立时圆柱体积最大，据此求圆柱的高即可.
7．已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，则，，，
由，则，故，
所以，可得，则，
所以，，又，
所以，可得，即（负值舍）.
故答案为：C
【分析】利用椭圆的定义（椭圆上点到两焦点距离和为2a）结合向量垂直的性质（勾股定理），建立关于a、c的齐次方程，进而求解离心率。
8．定义在R上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（　　）
A．（1，+∞） B．（1，+∞）
C．（∞，1） D．（∞，1）
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】的图像关于点（，1）对称，所以是奇函数，
因为对任意的实数均有成立，
所以对任意的实数均有成立，
令，则，
所以在上递增，因为，又，所以，
故答案为：A
【分析】由已知得到为奇函数，构造函数，通过求导以及式子即可得到在上递增，将转化为利用单调性定义即可求解x的范围.
9．下列命题正确的是（　　）
A．，
B．若，且，则的最小值是9
C．，则
D．是的充要条件
【答案】A,B,C
【知识点】充要条件；命题的真假判断与应用；一元二次不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】A、当时，不等式成立，A符合题意；
B、因为，且，所以，
所以，解得或（舍去），
所以，当且仅当时取到等号，B符合题意；
C、，
因为，所以，所以，C符合题意；
D、当时，成立，此时，推不出，D不符合题意；
故答案为：ABC.
【分析】对于A，代入特殊值，当时，只有有一个真的就说该命题为真，就可判断真假；对于B，利用基本不等式以及解一元二次不等式可判断真假；对于C，直接利用作差法判断；对于D，当时，可判断真假.
10．已知函数，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．若在区间上恰有一个极值点，则的取值范围是
D．若在区间内没有零点，则的取值范围是
【答案】A,B
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【解答】A、，A符合题意；
B、当时，，因为在单调递增，是增函数，所以在区间单调递增，B符合题意；
C、由得的极值点为，
因为在区间恰有一个极值点，所以，解得，C不符合题意；
D、在区间无零点，即在无解，
由得，当时，由解得，
又，所以的取值范围是，D不符合题意；
故答案为：AB.
【分析】将通过降幂公式以及辅助角公式进行化简为，结合函数的性质可利用换元简化式子，再利用单调性、零点逐项分析即可判断出选项.
11．已知四棱锥中，平面，四棱锥的外接球的球心为．记四棱锥的体积分别为，三棱锥的体积分别为，则下列说法中正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．若二面角的平面角大小为，则的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为四棱锥有外接球，所以四边形有外接圆，
因为，所以，因为平面，平面，
所以，而，平面，所以平面，
又平面，所以，故选项A正确；
B、因为平面，所以球心到平面的距离等于，所以，故选项B正确；
C、均在以线段为直径的圆上，但面积无任何关系，
不能确定，故选项C错误；
D、因为，所以是二面角的平面角，即，
令，，所以
，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】由，，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而利用线面垂直的性质可得即可判断选项A；由平面可得球心到平面的距离等于，利用锥体的体积计算可判断选项B和选项C；由可知是二面角的平面角，且，列出锥体的体积关系，再利用基本不等式求出最大值判断选项D.
12．在数列中，，，若，则正整数　 　．
【答案】10
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】由，，令，则，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即，
又为正整数，所以，即，解得或（舍去）．
故答案为：10．
【分析】由题意令m=1 ，则可得数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，求出an ， 结合题意，即可得出答案.
13．如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则　 　.
【答案】8
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为
，所以，
则.
故答案为：
【分析】根据平面向量的线性运算，结合向量的数量积运算求解即可.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的两个动点，满足 ，则△PAB面积的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】
设圆心 到直线 距离为d，则
所以
令 （负值舍去）
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为 ，
故答案为：
【分析】根据条件得 ，再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.
15．在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表：
　 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计
优秀 200 150 350
合格 100 50 150
总计 300 200 500
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？
（2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：零假设：认为这次考核结果与经验丰富无关，
由题意，
所以根据小概率值的独立性检验，推断成立，
即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关；
（2）解：由题意，名教师中经验丰富的教师人数为人，经验不丰富的教师人数为人，
则可取的值有，
，，
，，，
的分布列如下表：
0 1 2 3 4
则.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再计算，与临界值比较判断即可；
（2）根据分层抽样先计算经验丰富和经验不丰富的人数，由题意可得可取的值有，再根据超几何分布求出对应的概率，列出分布列，最后根据期望公式求解即可.
（1）零假设：认为这次考核结果与经验丰富无关，
由题意，
所以根据小概率值的独立性检验，推断成立，
即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关.
（2）由题意，名教师中经验丰富的教师人数为人，经验不丰富的教师人数为人，
则可取的值有，
，，
，，，
的分布列如下表
0 1 2 3 4
所以.
16．在四面体中，底面、、 分别是的中点，点 在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小．
【答案】（1）证明：取 的中点为 ，在线段上取点 ，
使得，连接、、.
因为，所以，
所以，且.
因为 和 分别为和 的中点，
所以，且
因此且，
所以四边形是平行四边形，因此．
又因为平面平面，
所以平面.
（2）因为，所以．
因为底面，所以三棱锥的高为，
又因为
故.
连接．因为分别是的中点，
所以，又因为平面
所以平面
过点 作，垂足为点 ，连接
因为平面，且平面，
所以，又因为，且，
所以平面.
又因为平面，所以，又，
所以即为二面角的平面角，
因为平面，且平面，所以．
故为直角三角形．
在Rt中，，所以
所以平面与平面的夹角大小为.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例及中位线性质可得且，利用一组对边平行且相等即可证明出平行四边形从而得到另一组对边平行即得出线线平行，再结合判定定理可证明出线面平行；
（2）作辅助线，先证明即为二面角的平面角，再通过边长关系再解直角三角形即可.
（1）略
（2）因为，所以．
因为底面，所以三棱锥的高为，
又因为
故.
连接．
因为分别是的中点，
所以，又因为平面
所以平面
过点 作，垂足为点 ，连接
因为平面，且平面，
所以，又因为，且，
所以平面.
又因为平面，所以，又，
所以即为二面角的平面角，
因为平面，且平面，所以．
故为直角三角形．
在Rt中，，所以
所以平面与平面的夹角大小为.
17．某公路自行车比赛赛道的平面示意图为如图的五边形根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务通道不考虑宽度，，，，，为赛道，，，， 注：为千米．
（1）若，求服务通道的长；
（2）在（1）的条件下，求折线赛道的最大值即最大结果保留根号
【答案】（1）在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，整理得，
解得，
所以服务通道的长为；
（2）在中，由余弦定理得，
由知，又，
所以 ，所以 ，
因为，所以，
则，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以折线赛道的最大值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理求出AC的长度，再结合余弦定理即可求解AD的长度；
（2）利用余弦定理求出角，再次用余弦定理建立关系结合，结合基本不等式变形公式即可求解最值.
（1）在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，整理得，
解得，
所以服务通道的长为；
（2）在中，由余弦定理得，
由知，又，
所以 ，所以 ，
因为，所以，
则，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以折线赛道的最大值为．
18．已知椭圆：上一点处的切线为，两焦点，在上的射影分别为，我们常常把过切点且与切线垂直的直线叫做法线，它平分，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点（如图），记，，当点不在轴上时，记，，的面积分别为，，若．
（1）求证：；
（2）试探究 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由；
（3）当点不在轴上时，是否存在常数，使得恒成立？并给出证明或解释．
（4）若椭圆的离心率为，且当时，四边形的面积，求椭圆的方程．
【答案】（1）记，，，则，．
在中，．
又，两式相减，得，．
．
（2）由题意得
故，，则，
由（1）知，，则．．
当为椭圆左右顶点时，也满足上式．
故，为定值．
（3）存在，
由，则，同理，
则．由（1）知，，则．
（4），，
则，
则，由，知，故．
椭圆的方程为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义，余弦定理和三角形面积公式以及二倍角公式和同角三角函数公式化简即可得结果；
（2）结合（1）的结论，再求出，，带入即可求结果；
（3）根据焦点三角形的面积公式代入式子即可得结果；
（4）由可求出，再利用椭圆离心率求出b，即可得椭圆方程.
（1）略
（2）由题意得
故，，则，
由（1）知，，则．．
当为椭圆左右顶点时，也满足上式．
故，为定值．
（3）略
（4），，
则，
则，由，知，故．
椭圆的方程为．
19．已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【答案】解：（I）函数定义域为，求导可得，易知，，
则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（I）求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（II）由（1）令，解得，令，求导，利用导数判断函数的单调性，作出大致图像，问题转化为证明与仅有一个交点，数形结合求解即可；
（III）由（II）知，此时，令，问题等价于存在，使得，即，求导，利用导数判断函数的单调性，求的最小值即可.
1 / 1浙江乐清市荆山公学等校2025-2026学年下学期高三模拟卷数学
1．已知集合，，若，则（　　）
A． B． C． D．
2．复数的虚部是（　　）
A． B． C． D．
3．“”是“函数在内单调递增”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要
4．若，，成等比数列，则公比为（　　）
A． B． C． D．
5．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（　　）
A．16 B．24 C．32 D．48
6．已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（　　）
A． B． C． D．
7．已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．定义在R上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（　　）
A．（1，+∞） B．（1，+∞）
C．（∞，1） D．（∞，1）
9．下列命题正确的是（　　）
A．，
B．若，且，则的最小值是9
C．，则
D．是的充要条件
10．已知函数，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．若在区间上恰有一个极值点，则的取值范围是
D．若在区间内没有零点，则的取值范围是
11．已知四棱锥中，平面，四棱锥的外接球的球心为．记四棱锥的体积分别为，三棱锥的体积分别为，则下列说法中正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．若二面角的平面角大小为，则的最大值为
12．在数列中，，，若，则正整数　 　．
13．如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则　 　.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的两个动点，满足 ，则△PAB面积的最大值是　 　．
15．在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表：
　 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计
优秀 200 150 350
合格 100 50 150
总计 300 200 500
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？
（2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16．在四面体中，底面、、 分别是的中点，点 在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小．
17．某公路自行车比赛赛道的平面示意图为如图的五边形根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务通道不考虑宽度，，，，，为赛道，，，， 注：为千米．
（1）若，求服务通道的长；
（2）在（1）的条件下，求折线赛道的最大值即最大结果保留根号
18．已知椭圆：上一点处的切线为，两焦点，在上的射影分别为，我们常常把过切点且与切线垂直的直线叫做法线，它平分，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点（如图），记，，当点不在轴上时，记，，的面积分别为，，若．
（1）求证：；
（2）试探究 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由；
（3）当点不在轴上时，是否存在常数，使得恒成立？并给出证明或解释．
（4）若椭圆的离心率为，且当时，四边形的面积，求椭圆的方程．
19．已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
将2代入可得，解得，
此时，则.
故答案为：D.
【分析】由题意可得，将2代入解得，求得，再根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，所以复数的虚部为.
故答案为：D
【分析】根据复数的运算法则需要进行化简得到，结合复数的概念z=a+bi，b为虚部，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】函数的单调递增区间为，由函数在内单调递增，得0，解得，
所以“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件．
故答案为：A．
【分析】先根据二次函数的对称轴求出单调性，从而确定出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断谁可以推出谁即可得到答案.
4．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；等比中项
【解析】【解答】，，成等比数列，所以，即，整理得，由于，所以，此时，，，
故公比为，所以公比为.
故答案为：C
【分析】利用等比中项得出关系，代入x，y，z值并进行整理得，再运用等比的定义通过即可得答案.
5．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】前两次测试的是一件稳定的，一件不稳定的，第三件是不稳定的，共有 种方法．
【分析】本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是根据实际情况结合排列组合公式计算即可.
6．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，如图所示：
则，即，整理得，
当且仅当，即时等号成立，圆柱体积取得最大值，
故当圆柱的体积最大时，，即.
故答案为：C.
【分析】设球半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，作出立体图形，由勾股定理，结合均值不等式求最值，注意等号成立时圆柱体积最大，据此求圆柱的高即可.
7．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，则，，，
由，则，故，
所以，可得，则，
所以，，又，
所以，可得，即（负值舍）.
故答案为：C
【分析】利用椭圆的定义（椭圆上点到两焦点距离和为2a）结合向量垂直的性质（勾股定理），建立关于a、c的齐次方程，进而求解离心率。
8．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】的图像关于点（，1）对称，所以是奇函数，
因为对任意的实数均有成立，
所以对任意的实数均有成立，
令，则，
所以在上递增，因为，又，所以，
故答案为：A
【分析】由已知得到为奇函数，构造函数，通过求导以及式子即可得到在上递增，将转化为利用单调性定义即可求解x的范围.
9．【答案】A,B,C
【知识点】充要条件；命题的真假判断与应用；一元二次不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】A、当时，不等式成立，A符合题意；
B、因为，且，所以，
所以，解得或（舍去），
所以，当且仅当时取到等号，B符合题意；
C、，
因为，所以，所以，C符合题意；
D、当时，成立，此时，推不出，D不符合题意；
故答案为：ABC.
【分析】对于A，代入特殊值，当时，只有有一个真的就说该命题为真，就可判断真假；对于B，利用基本不等式以及解一元二次不等式可判断真假；对于C，直接利用作差法判断；对于D，当时，可判断真假.
10．【答案】A,B
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【解答】A、，A符合题意；
B、当时，，因为在单调递增，是增函数，所以在区间单调递增，B符合题意；
C、由得的极值点为，
因为在区间恰有一个极值点，所以，解得，C不符合题意；
D、在区间无零点，即在无解，
由得，当时，由解得，
又，所以的取值范围是，D不符合题意；
故答案为：AB.
【分析】将通过降幂公式以及辅助角公式进行化简为，结合函数的性质可利用换元简化式子，再利用单调性、零点逐项分析即可判断出选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为四棱锥有外接球，所以四边形有外接圆，
因为，所以，因为平面，平面，
所以，而，平面，所以平面，
又平面，所以，故选项A正确；
B、因为平面，所以球心到平面的距离等于，所以，故选项B正确；
C、均在以线段为直径的圆上，但面积无任何关系，
不能确定，故选项C错误；
D、因为，所以是二面角的平面角，即，
令，，所以
，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】由，，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而利用线面垂直的性质可得即可判断选项A；由平面可得球心到平面的距离等于，利用锥体的体积计算可判断选项B和选项C；由可知是二面角的平面角，且，列出锥体的体积关系，再利用基本不等式求出最大值判断选项D.
12．【答案】10
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】由，，令，则，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即，
又为正整数，所以，即，解得或（舍去）．
故答案为：10．
【分析】由题意令m=1 ，则可得数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，求出an ， 结合题意，即可得出答案.
13．【答案】8
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为
，所以，
则.
故答案为：
【分析】根据平面向量的线性运算，结合向量的数量积运算求解即可.
14．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】
设圆心 到直线 距离为d，则
所以
令 （负值舍去）
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为 ，
故答案为：
【分析】根据条件得 ，再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.
15．【答案】（1）解：零假设：认为这次考核结果与经验丰富无关，
由题意，
所以根据小概率值的独立性检验，推断成立，
即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关；
（2）解：由题意，名教师中经验丰富的教师人数为人，经验不丰富的教师人数为人，
则可取的值有，
，，
，，，
的分布列如下表：
0 1 2 3 4
则.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再计算，与临界值比较判断即可；
（2）根据分层抽样先计算经验丰富和经验不丰富的人数，由题意可得可取的值有，再根据超几何分布求出对应的概率，列出分布列，最后根据期望公式求解即可.
（1）零假设：认为这次考核结果与经验丰富无关，
由题意，
所以根据小概率值的独立性检验，推断成立，
即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关.
（2）由题意，名教师中经验丰富的教师人数为人，经验不丰富的教师人数为人，
则可取的值有，
，，
，，，
的分布列如下表
0 1 2 3 4
所以.
16．【答案】（1）证明：取 的中点为 ，在线段上取点 ，
使得，连接、、.
因为，所以，
所以，且.
因为 和 分别为和 的中点，
所以，且
因此且，
所以四边形是平行四边形，因此．
又因为平面平面，
所以平面.
（2）因为，所以．
因为底面，所以三棱锥的高为，
又因为
故.
连接．因为分别是的中点，
所以，又因为平面
所以平面
过点 作，垂足为点 ，连接
因为平面，且平面，
所以，又因为，且，
所以平面.
又因为平面，所以，又，
所以即为二面角的平面角，
因为平面，且平面，所以．
故为直角三角形．
在Rt中，，所以
所以平面与平面的夹角大小为.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例及中位线性质可得且，利用一组对边平行且相等即可证明出平行四边形从而得到另一组对边平行即得出线线平行，再结合判定定理可证明出线面平行；
（2）作辅助线，先证明即为二面角的平面角，再通过边长关系再解直角三角形即可.
（1）略
（2）因为，所以．
因为底面，所以三棱锥的高为，
又因为
故.
连接．
因为分别是的中点，
所以，又因为平面
所以平面
过点 作，垂足为点 ，连接
因为平面，且平面，
所以，又因为，且，
所以平面.
又因为平面，所以，又，
所以即为二面角的平面角，
因为平面，且平面，所以．
故为直角三角形．
在Rt中，，所以
所以平面与平面的夹角大小为.
17．【答案】（1）在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，整理得，
解得，
所以服务通道的长为；
（2）在中，由余弦定理得，
由知，又，
所以 ，所以 ，
因为，所以，
则，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以折线赛道的最大值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理求出AC的长度，再结合余弦定理即可求解AD的长度；
（2）利用余弦定理求出角，再次用余弦定理建立关系结合，结合基本不等式变形公式即可求解最值.
（1）在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，整理得，
解得，
所以服务通道的长为；
（2）在中，由余弦定理得，
由知，又，
所以 ，所以 ，
因为，所以，
则，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以折线赛道的最大值为．
18．【答案】（1）记，，，则，．
在中，．
又，两式相减，得，．
．
（2）由题意得
故，，则，
由（1）知，，则．．
当为椭圆左右顶点时，也满足上式．
故，为定值．
（3）存在，
由，则，同理，
则．由（1）知，，则．
（4），，
则，
则，由，知，故．
椭圆的方程为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义，余弦定理和三角形面积公式以及二倍角公式和同角三角函数公式化简即可得结果；
（2）结合（1）的结论，再求出，，带入即可求结果；
（3）根据焦点三角形的面积公式代入式子即可得结果；
（4）由可求出，再利用椭圆离心率求出b，即可得椭圆方程.
（1）略
（2）由题意得
故，，则，
由（1）知，，则．．
当为椭圆左右顶点时，也满足上式．
故，为定值．
（3）略
（4），，
则，
则，由，知，故．
椭圆的方程为．
19．【答案】解：（I）函数定义域为，求导可得，易知，，
则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（I）求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（II）由（1）令，解得，令，求导，利用导数判断函数的单调性，作出大致图像，问题转化为证明与仅有一个交点，数形结合求解即可；
（III）由（II）知，此时，令，问题等价于存在，使得，即，求导，利用导数判断函数的单调性，求的最小值即可.
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