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专题03 函数及其性质
考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律
考点01 函数的概念及其表示（求值、定义域、值域、图像与解析式） 2026上海卷、2025北京卷 2024年新高考卷Ⅰ、2024上海卷 2023北京卷、2023上海卷 2022北京卷、2022浙江卷 以基本初等函数为载体，考查函数的定义域与值域等内容
考点02 幂指对函数的运算与应用 2026北京卷、2026天津卷、2026上海卷 2025年全国一卷、2025北京卷、 2025上海卷 2024年全国甲卷（理）、2024北京卷、2024天津卷、2024上海卷、 2023年新高考卷Ⅰ、2023年全国甲卷、2023北京卷、2023天津卷、 2023上海卷 2022年全国甲卷、2022北京卷、 2022天津卷、2022上海卷、2022浙江卷 考查指数和对数函数的单调性（比较大小等）、根据分段函数的单调性求参数、指对数的运算性质等
考点03 函数的性质及其应用（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 2026新课标全国Ⅰ卷、2026新课标全国Ⅱ卷2026北京卷、2026天津卷、2026上海卷 2025年全国一卷、2025北京卷 2025天津卷、2025上海卷 2024年新高考卷Ⅰ、2024年全国甲卷2024天津卷、2024上海卷、 2023年新高考卷Ⅰ、2023年新高考卷Ⅱ、2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023北京卷、2023天津卷、2023上海卷 2022年新高考卷Ⅰ、2022年新高考卷Ⅱ、2022年全国甲卷、2022年全国乙卷2022北京卷、2022天津卷、 2022上海卷、2022浙江卷 以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性
考点04 函数的零点与方程的根 2026新课标全国Ⅱ卷 2025天津卷、2025上海卷、 2024年新高考卷Ⅱ、2024年全国甲卷（理）、2024天津卷、2024上海卷 2023年新高考卷Ⅰ、2023天津卷、2023上海卷 2022北京卷、2022天津卷、2022上海卷 一般会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义和数形结合思路
考点01 函数的概念及其表示（求值、定义域、值域、图像与解析式）
1．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先作出两函数在区间上的图象，根据平移对称法，分别算出和时，两函数的函数值，求得对应线段的中点的纵坐标，从而得出需要将两函数图象上下平移的长度，根据平移后对应点的坐标结合各选项逐一判断即得；也可以通过计算两函数的函数值差值等分量，根据该函数的类型结合选项确定答案.
【详解】方法一：依题意，作出函数与在上的图象.
按照平移对称法，当时，，线段中点纵坐标为，
则应将此时的线段沿方向向下平移，的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故排除B项；
当时，，线段中点纵坐标为，则应将此时的线段沿方向向下平移，
的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故可排除C，D两项，A项符合题意.
方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数和函数在上的函数值差值等分在轴上下两侧，
等分量为，故在上线性变化，结合选项知，只有选项A符合题意.
故选：A.

2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
4．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论：
①存在在上单调递增的函数使得恒成立；
②存在在上单调递减的函数使得恒成立；
③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；
④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是________．
【答案】②③
【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.
【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足，则，即，
故时，，故，故即，矛盾，故①错误；
对于②，取，该函数为上的减函数且，故该函数符合，故②正确；
对于③，取，此时，由可得有无穷多个，故③正确；
对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾，
故满足的函数不存在，故④错误.
故答案为：②③
5．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.
【答案】
【分析】分与两段求解二次不等式可得.
【详解】根据题意知.
当时，,即，解得，则有；
当时，,即，，即时，不等式都成立.
综上所述，的的取值范围为.
故答案为：.
6．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.
【答案】
【分析】由对数函数性质即可得.
【详解】由题意可得，即的定义域为.故答案为：.
7．（2024·上海·高考真题）已知则______．
【答案】
【分析】利用分段函数的形式可求.
【详解】因为故，故答案为：.
8．（2023·北京·高考真题）已知函数，则____________．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.故答案为：1
9．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是______；
【答案】
【分析】分段讨论的范围即可.
【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知，当 时, .
综上: 的值域为 .
故答案为：.
10．（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【答案】 /
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】由已知，，所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，所以的最大值为.
故答案为：，.
11．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，故函数的定义域为；
故答案为：
考点02 幂指对函数的运算与应用
1．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，则.
2．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】由题意可得，因为函数在上单调递增，所以，
又因函数在上单调递增，则，所以，
因，且在上单调递增，所以，即.
故.
3．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
【答案】B
【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,
由题意，，，
，
因为，所以，
所以，
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
4．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项.
【详解】∵，∴，当时，定义域上严格单调递减，
此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；
当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.
故选：D
5．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出；法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
6．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A.
【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误；
对于A，若，则，当时，，
所以幂函数过点，故A错误；
对于B，若，则，当时，，
所以幂函数过点，故B正确.
故选：B.
7．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误，
故选：B.
8．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【详解】由题意得，则，即，所以.故选：D.
9．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为在上递增，且，所以，
所以，即，
因为在上递增，且，所以，即，所以，
故选：D
10．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
11．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
12．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.
所以.
故选：D
13．（2022·上海·高考真题）下列函数定义域为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．
【解答】，定义域为，，定义域为，
，定义域为，，定义域为．故选：C．
14．（2022·天津·高考真题）化简（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式，故选：C
15．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故. 故选：D.
16．（2022·浙江·高考真题）已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．故选：C.
17．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
18．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据与的关系图可得正确的选项.
【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
19．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
20．（多选题）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
21．（2026·北京·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________．
【答案】
【详解】由题意，则，解得，
所以f的取值范围为.
22．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.
【答案】
【分析】由对数函数性质即可得.
【详解】由题意可得，即的定义域为.
故答案为：.
23．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______．
【答案】64
【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.
【详解】由题，整理得，
或，又，
所以，故
故答案为：64.
24．（2023·北京·高考真题）已知函数，则____________．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
25．（2023·上海·高考真题）已知函数，且，则方程的解为______________．
【答案】
【分析】分类讨论和，解方程的解，即可得出答案.
【详解】当时，，解得：，
当时，，解得：（舍去），
所以方程的解为.
故答案为：.
26．（2022·上海·高考真题）已知函数的反函数为，则________
【答案】
【分析】求出函数的反函数的解析式，进而可求得结果.
【详解】由可得，故，因此，.
故答案为：.
27．（2024·上海·高考真题）已知函数．
(1)若函数的图象经过点，求解不等式；
(2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集；
（2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可.
【详解】（1），则，
，，，
，定义域为，
要解不等式，则，．
又在定义域内是严格增函数，
由，则，解得．
综上所述，不等式的解集为．
（2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列，
则在方程中，应满足，
由，解得，问题转化为时，方程有实数解．
又，则，
即．
为严格单调函数，
，
，两边同除以得，．
令，由，则，
在有解．
又在上是严格增函数，
，即，
又，则.
28．（2022·上海·高考真题）
(1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值.
(2)若且，求解不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案；
（2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可.
【详解】（1）解：函数的定义域满足，即，
所以，要使函数的定义域非空，则，即.
若将函数图像向下移后得到的解析式为：
，.
所以在函数的图像上，即，
解得：，
所以，
（2）解：由题知，
,
,
因为函数在上单调递增，
所以等价于，展开整理得：，
所以，不等式的解集为的解，
所以，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为.
综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.
考点03 函数的性质及其应用（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误；
B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误；
方法一：
C，在中，，则，
，函数单调递减，故错误；
D，在中，，解得，
，则为奇函数，
，即函数在定义域上单调递增，故正确.
法二：
C，在中，，则，为奇函数，
∵和是减函数，
∴函数单调递减，故错误；
D，在中，，解得，
，为奇函数，
∵和是增函数，则为增函数，
∴函数单调递增，故正确.
2．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得.
【详解】，则，
，即的周期为，
结合奇偶性，周期性，故，
在上满足，说明的对称轴为，
则，解得，
又根据知，而，
则，于是，
即，解得
3．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.
【详解】由题意，
由题意及图得，函数为奇函数，且当时，，
对A选项，当时，，与图象不符，故A错误；
对B选项，当时，，与图象不符，故B错误；
对D选项，当时，，与图象不符，故D错误；
对C选项，在中，
，即该函数为奇函数，
，与图象相符，故C正确.
4．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ）
A．若和都有最小值，则有最低点；
B．若有最低点，则和都有最小值；
C．若或有最小值，则有最低点；
D．若有最低点，则或有最小值.
【答案】D
【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可.
【详解】对于A项，取，，取，，
则，；而无最低点，故A错误；
对于B项，取，，取，，
则无最小值，；而有最低点，故B错误；
对于C项，取，，取，，
则无最小值，；
因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误；
对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且，
所以或，
若，则且对任意的，总有，即；
若，同理可知；
所以若有最低点，则或有最小值，故D正确.
故选：D.
5．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
【答案】A
【分析】由，根据平移法则即可解出．
【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，
故选：A.
6．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；
又当时，此时，
由图可知当时，，故C不符合，D符合.
故选：D
7．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解.
【详解】设曲线上一点为，则，则，
，方程为：，即，
根据点到直线的距离公式，到的距离为：，
设，
由于，显然关于单调递减，，无最小值，
即中，边上的高有最大值，无最小值，
又一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
8．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.
【详解】由题知对一切成立，
于是.
故选：A
9．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值
【答案】B
【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾.
【详解】对于A选项：时，，
当时，， 任意的，恒成立，
若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误；
对于B选项：若函数图像如下：
当时，，时，，当，，
∴存在在处取最大值，故B选项正确；
对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是，
而是全体定义域，故C选项错误；
对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误.
故选：B
10．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.
【详解】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故选：B.
11．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，，
，则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，
因为，且不恒为0，
则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，此时；
当时，可知，此时；
可知若，符合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
综上所述：，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.
13．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
14．（2023·上海·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接运用常见函数的奇偶性判断即可.
【详解】根据所学知识，知道为奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数.
故选：B.
15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
16．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
18．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
19．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
20．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，CD选项错误；
又当时，，B选项错误.
故选：A.
21．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
22．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
23．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
24．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
25．（多选题）（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
26．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________．
【答案】
【分析】根据偶函数的性质求解.
【详解】因为函数是偶函数，当时，，
所以，解得.
27．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______
【答案】
【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【详解】设，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的，，
不妨代入，得，得，
当时，原不等式可化为，
即，
观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，
故的最小值为.
故答案为：
28．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______.
【答案】0
【分析】根据奇函数的定义求解．
【详解】是奇函数，则恒成立，
所以，解得
故答案为：0．
29．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】②③
【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，
当时，且接近于处，的距离最小，
此时；故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
30．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
31．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 .
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1
32．（2022·上海·高考真题）若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．
【答案】1
【分析】根据奇函数的定义可求参数的值.
【详解】当时，，
当时，，故，
而，故即，
故答案为：1.
33．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
34．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”.
(1)判断函数是否具有“性质”；
(2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解；
(3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”.
【答案】(1)没有，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可；
（2）根据一次函数的单调性，结合“性质”的特性进行求解即可；
（3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质”的特性进行运算证明即可.
【详解】（1）函数不具有“性质”，理由如下：
例如当时，显然成立，
，根据指数函数的单调性可知，
所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”；
（2）因为函数具有“性质”，所以取，有，
于是有，
当时，由，
当时，由，
若，若，则有，
取，
此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意，
故，此时，
若时，则，
由，
若时，则，
由，
因此，
综上所述：当且仅当时，满足条件；
（3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数.
若存在，，不妨设，
记，即，
因为函数的值域为，
所以，
若，则有，
若，则有，
故对任意，，这与的值域为矛盾，
所以不成立，则有，因此函数是偶函数；
必要性：若是偶函数，则具有“性质”.
当时，因为在上是严格增函数，
所以，
又因为函数是偶函数，
所以由，因此具有“性质”.
所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”.
35．（2026·上海·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为．
(1)已知，，，，判断是否为排列；
(2)对，，，满足条件的，求的取值范围；
(3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，．
【答案】(1)是排列；
(2)；
(3)首先证明第1个结论，
观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立，
那么排列都将是排列，此时至少为4．
当时，即，
因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数，
则恒成立，
又因为函数在上单调递增，
则在区间上，，.
若恒成立，则，
则只需，即，因为对任意的，，
则，则，则解得，
当时，即，
因为严格递减，所以且，
，
只要，就有，
则可取即可满足题意．
即存在，使得.
再证明第2个结论.
假设对于任意的，都有，
因为（2）中①排列始终满足条件，
则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列．
首先，我们证明不可能恒成立：
假设对于某个，在上恒有．
即，
即，
取．由于严格递增，
令，
则，
于是对任意正整数：
，
当时，，这与矛盾！
因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列．
接下来只剩②排列，其需满足，
⑤排列，其需满足，
⑥排列，其需满足，
下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真．
（i）若对任意，都有，即都有，
对于任意和，
则，
当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到，
所以恒成立，
则对所有的恒成立.
则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立，
则，与假设矛盾！
（ii）并非对于所有都有，即，
则必定存在，使得，
设，
因为是严格单调递增的连续函数，
则对于已知的，总可以找到，使得，
即，即，
同时，因为严格递增且，必有．
即，
即，即，
则可取充分小的使得，即存在，使得，
所以＂恒成立＂这个命题是假的．
既然为假，那么＂恒成立＂必须为真．
即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足，
则对于，在时都有：
，
即，
取，则对于任意：
，
因为严格递增，则．
则
又因为，
则
即，对任意都成立．
取，因为，则，
则对于内的任意，都满足，
因为，故有，
但是，之前我们得到，
即，则，
则有：， 这与我们的假设相矛盾．
综上，原命题成立，必然存在，使得．
【分析】（1）根据排列的定义判断即可；
（2）分析得，，的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可；
（3）第一个结论分和讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明.
【详解】（1）由题意得，
则当，，
则恒成立，
，
则恒成立，
故是为排列.
（2）若，则1，2，3的全排列均满足题意，
①，则有：，此时两个不等式显然成立．
②，则有：，即.
③，则有：，即.
④，则有：，即.
⑤，则有：．
⑥，则有：，即.
则上述不等式均要成立，取它们的交集有，
即，即对恒成立，
分离参数得，因为当时，，
所以.
（3）略.
36．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合．
(1)若当时，，求；
(2)若是奇函数，，且，证明：；
(3)设满足：①若，则；②当时，．
（i）证明：；
（ii）证明：在区间单调递增．
【答案】(1)
(2)由题意证明如下：
在中，是奇函数，当时，．
∴，当时，，
∴
在集合中，
当时，，
当时，，
当时，，
∴，
∵，
∴且，即，，
∵，
∴①当时，解得，
，，
此时，
②当时，解得，
，，
此时，
③当时，解得，
，，
此时，
综上，.
(3)（i）由题意证明如下，
法一：
若，则存在，使得，
条件①：若，则，
∴，则，
取，则，此时，
∵，则，即，
但，相矛盾，
∴
法二：
假设，则存在，使得，
从而，这导致，
但，
∵根据条件又有，矛盾，
∴假设不成立，.
（ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下，
在集合中，
要证在上单调递增，
即需证，，都有，
即需证，，都有，
①先证明：当时，，
假设，使得，
∵当时，，
∴，使得，
∴，
而当时，，
否则，使得，，与矛盾，
∴，
∴，
∴，
由（3）（i）得，，
则，
由条件②：当时，，
则，
否则时，与矛盾，
∴若，使得，则，，（*）
∴，使得，
则，
令，，
此时，则，则，
∴，
∵，
∴易取，满足，使得，
根据（*）可得，此时，与矛盾，
∴当时，，
②证明：对，，都有，
∵，，都有，
∴，
对任意给定的，取，则，
∴对，，都有，
∴在上单调递增.
【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出；
（2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论；
（3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论；
法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论；
（ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增.
【详解】（1）由题意，
在中，，，
在中，
，
∴，
当时，，，解得，
当时，，解得，
∴，
∴.
（2）略
（3）（i）略
（ii）略
37．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合．
(1)，求；
(2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；
(3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解；
（2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性；
（3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解.
【详解】（1）由定义得，.
（2）证明：
必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，，
对任意，若，即，则，
所以，所以对任意，是对称集.
充分性：若对任意，是对称集，
因为对任意，，所以，即①，
又，所以，即②.
由①②得，对任意，，
所以函数是偶函数.
综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证.
（3）因为对于任意，都有，
所以若，则，即若，则，
所以，所以在上单调不减，
所以对任意，恒成立.
当时，显然成立，；
当时，恒成立，令，，
所以在单调递减，单调递增，所以；
当时，恒成立，此时
因为在上单调递减，当时，，
时，，
所以；
综上，.
【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立.
38．（2023·全国甲卷·高考真题）设，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）分和讨论即可;
（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.
【详解】（1）若,则,
即,解得,即,
若,则,
解得,即,
综上,不等式的解集为.
（2）.
画出的草图,则与轴围成,
的高为,所以,
所以,解得.
考点04 函数的零点与方程的根
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
3．（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题.
方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题.
【详解】令，得，即，
方法一：
令，则，即，,
则一元二次方程有两个正根，
那么，
所以，的取值范围是.
方法二：
设，那么设，则，
由于在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，且，
根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是.
4．（2025·上海·高考真题）关于x的方程的解集为__________．
【答案】
【分析】根据的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可.
【详解】.
当时，令得；
当时，恒成立；
当时，令得.
综上所述，方程的解集为.
故答案为：.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令，即，
由题可得，
当时，，有，则，不符合要求，舍去；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，或（正值舍去），
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
令，即，
故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，
由的渐近线方程为，
即部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递增，故有，解得，故符合要求；
当时，则，即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，（负值舍去）或，
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递减，故有，解得，故符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
7．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】（1）当时，，即，
若时，，此时成立；若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，即，
若时，，显然不成立；若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；当时，零点为，；当时，只有一个零点；
当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；
当时，零点为．所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
9．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
10．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴∴；
故答案为：1，
11．（2022·上海·高考真题）已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则________
【答案】2
【分析】根据题意可得函数是以4为周期的周期函数，作出函数的图像，结合图像可知的几何意义为函数两条渐近线之间的距离，从而可得出答案.
【详解】解：因为为奇函数，所以，且，
又关于直线对称，所以，所以，
则，所以函数是以4为周期的周期函数，
作出函数和的图像如图所示：
由的正数解依次为、、、、、，
则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2，所以.
故答案为：2.
12．（2024·上海·高考真题）已知，
(1)设，求解:的值域;
(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.
【答案】(1);；(2)
【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可.
（2）利用三角函数的性质求解参数即可.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以令，
由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
（2）由题意得，所以，可得，
当时，，，即，，
当时，，不符合题意，当时，，符合题意，
当时，，符合题意，当时，，符合题意，
所以，即，故.
13．（2023·上海·高考真题）函数
(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；
(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)不存在；(2)且
【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断；
（2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围.
【详解】（1）当时，，定义域为，
假设为奇函数，则，
而，则，此时无实数满足条件，
所以不存在实数，使得函数为奇函数；
（2）图像经过点，则代入得，解得，
所以，定义域为，
令，则的图像与轴负半轴有两个交点，
所以，即，解得，
若，即是方程的解，
则代入可得，解得或.
由题意得，所以实数的取值范围是且.
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专题03 函数及其性质
考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律
考点01 函数的概念及其表示（求值、定义域、值域、图像与解析式） 2026上海卷、2025北京卷 2024年新高考卷Ⅰ、2024上海卷 2023北京卷、2023上海卷 2022北京卷、2022浙江卷 以基本初等函数为载体，考查函数的定义域与值域等内容
考点02 幂指对函数的运算与应用 2026北京卷、2026天津卷、2026上海卷 2025年全国一卷、2025北京卷、 2025上海卷 2024年全国甲卷（理）、2024北京卷、2024天津卷、2024上海卷、 2023年新高考卷Ⅰ、2023年全国甲卷、2023北京卷、2023天津卷、 2023上海卷 2022年全国甲卷、2022北京卷、 2022天津卷、2022上海卷、2022浙江卷 考查指数和对数函数的单调性（比较大小等）、根据分段函数的单调性求参数、指对数的运算性质等
考点03 函数的性质及其应用（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 2026新课标全国Ⅰ卷、2026新课标全国Ⅱ卷2026北京卷、2026天津卷、2026上海卷 2025年全国一卷、2025北京卷 2025天津卷、2025上海卷 2024年新高考卷Ⅰ、2024年全国甲卷2024天津卷、2024上海卷、 2023年新高考卷Ⅰ、2023年新高考卷Ⅱ、2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023北京卷、2023天津卷、2023上海卷 2022年新高考卷Ⅰ、2022年新高考卷Ⅱ、2022年全国甲卷、2022年全国乙卷2022北京卷、2022天津卷、 2022上海卷、2022浙江卷 以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性
考点04 函数的零点与方程的根 2026新课标全国Ⅱ卷 2025天津卷、2025上海卷、 2024年新高考卷Ⅱ、2024年全国甲卷（理）、2024天津卷、2024上海卷 2023年新高考卷Ⅰ、2023天津卷、2023上海卷 2022北京卷、2022天津卷、2022上海卷 一般会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义和数形结合思路
考点01 函数的概念及其表示（求值、定义域、值域、图像与解析式）
1．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论：
①存在在上单调递增的函数使得恒成立；
②存在在上单调递减的函数使得恒成立；
③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；
④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是________．
5．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.
6．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.
7．（2024·上海·高考真题）已知则______．
8．（2023·北京·高考真题）已知函数，则____________．
9．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是______；
10．（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
11．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．
考点02 幂指对函数的运算与应用
1．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
4．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
5．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）．
A． B． C． D．3
7．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·上海·高考真题）下列函数定义域为的是（　　）
A． B． C． D．
14．（2022·天津·高考真题）化简（ ）
A．1 B． C．2 D．
15．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·浙江·高考真题）已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
17．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
19．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
20．（多选题）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B． C． D．
21．（2026·北京·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________．
22．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.
23．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______．
24．（2023·北京·高考真题）已知函数，则____________．
25．（2023·上海·高考真题）已知函数，且，则方程的解为______________．
26．（2022·上海·高考真题）已知函数的反函数为，则________
27．（2024·上海·高考真题）已知函数．
(1)若函数的图象经过点，求解不等式；
(2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．
28．（2022·上海·高考真题）
(1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值.
(2)若且，求解不等式.
考点03 函数的性质及其应用（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ）
A．若和都有最小值，则有最低点；
B．若有最低点，则和都有最小值；
C．若或有最小值，则有最低点；
D．若有最低点，则或有最小值.
5．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
6．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
8．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值
10．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
13．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·上海·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）.
A． B． C． D．
15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
16．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B． C． D．
17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
19．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
22．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
25．（多选题）（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
26．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________．
27．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______
28．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______.
29．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是____________．
30．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________．
31．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
32．（2022·上海·高考真题）若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．
33．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则_____，______．
34．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”.
(1)判断函数是否具有“性质”；
(2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解；
(3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”.
35．（2026·上海·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为．
(1)已知，，，，判断是否为排列；
(2)对，，，满足条件的，求的取值范围；
(3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，．
36．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合．
(1)若当时，，求；
(2)若是奇函数，，且，证明：；
(3)设满足：①若，则；②当时，．
（i）证明：；
（ii）证明：在区间单调递增．
37．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合．
(1)，求；
(2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；
(3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．
38．（2023·全国甲卷·高考真题）设，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．
考点04 函数的零点与方程的根
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________．
4．（2025·上海·高考真题）关于x的方程的解集为__________．
5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．
6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______．
7．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________．
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
9．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______.
10．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
11．（2022·上海·高考真题）已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则________
12．（2024·上海·高考真题）已知，
(1)设，求解:的值域;
(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.
13．（2023·上海·高考真题）函数
(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；
(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
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