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2025-2026学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
2.记为等差数列的前项和若，则( )
A. B. C. D.
3.圆与圆的公切线条数为( )
A. B. C. D.
4.在三棱柱中，是的中点，，则( )
A. B.
C. D.
5.已知在一个二面角的棱上有两个点，，线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，则这个二面角的大小为( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.已知，是抛物线上不同两点，点是抛物线的焦点，且为坐标原点的重心恰为，若，则( )
A. B. C. D.
8.记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”若，数列为牛顿数列，且，，数列的前项和为，则满足的所有的和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若与共线，与共线，则与共线
B. 若是四面体的底面的重心，则
C. 若，则，，，四点共面
D. 若向量其中，，是三个不共面的向量，，，，则称在基底下的坐标为若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
10.已知函数，则( )
A. 有两个极值点
B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 过点且与曲线相切的直线恰有两条
11.如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线，下部分曲线构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于，两点，是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过
B. 曲线的方程为
C. 直线与曲线有个交点，则的取值范围为
D. 面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列的通项公式为，其前项和为，则 ．
13.设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ．
14.已知双曲线的一条渐近线的斜率为，左右顶点分别为，，右焦点为，且，是双曲线位于第一象限的两点，，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆内有一点，为过点的弦．
当时，求直线的方程；
求弦中点的轨迹方程．
16.本小题分
已知数列的前项和为，，
求的通项公式；
记，数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，点在以为直径的半圆的圆周上，，且平面，，．
求证：平面平面；
当直线与平面夹角的正弦值为时，求的值．
18.本小题分
已知椭圆过点，离心率为．
求椭圆的标准方程；
若直线与椭圆交于，两点．
当线段的中点坐标为时，求直线的方程；
当直线斜率为，且不过原点，直线与轴交于点，是关于轴的对称点记直线与轴交于点，求周长的最小值．
19.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围；
若，且不等式在上恒成立，求的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】
17.【答案】平面，平面．
又为直径，点在圆上，，
又平面，平面，，平面，
又平面，平面平面
18.【答案】 ；
19.【答案】当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减
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